I семестр / Математический Анализ - ответы - 21-31 билеты / вопрос 26

26 Равномерная непрерывность функции.

Непрерывность f(x) в точке x' означает, что   > 0   > 0,  x'', : < .

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве X, если   > 0   > 0,  x' и x'' X, : < .

//Замечание. Из определения следует, что, во-первых, равномерная непрерывность – свойство функции на множестве, в отличие от обычной непрерывности – свойства функции в точке. И во-вторых, отличие равномерной непрерывности от обычной непрерывности на множестве состоит в том, что при обычной непрерывности функции на множестве X (то есть при непрерывности в каждой точке)  x’ X по заданному  найдется нужное  (то есть такое , что из (1) следует (2)), так что  = (, x’), а при равномерной непрерывности по заданному  найдется нужное , общее для всех x’ X.

Примеры.

1. f(x) = x равномерно непрерывна на (- , ).

В самом деле,   > 0 возьмем  =  (тем самым  зависит только от  и не зависит от x).

Если x''-x' <  = , то f(x'')-f(x')= x''-x'< , а это и означает по определению, что данная функция непрерывна на всей числовой прямой.

2. f(x) = на X = {0 < x  1}.

Эта функция непрерывна на (0, 1), но не является равномерно непрерывной.

(здесь рисунок)

В самом деле, возьмем  = 1 и возьмем x' = , x'' =. Тогда   > 0  N: x' - x'' < , но при этом f(x') - f(x'') = n - (n + 2) = 2 >  = 1. Тем самым, для указанного  не найдется нужного . Это и означает, что данная функция не является равномерно непрерывной на [0, 1].

Геометрическая интерпретация понятия равномерной непрерывности функции.

(здесь рисунок)

С геометрической точки зрения, равномерная непрерывность f(x) на множестве X означает, что   > 0   = () - такое, что прямоугольник со сторонами () и  (см. рисунок) можно так переместить параллельно самому себе вдоль графика функции, что график будет пересекать вертикальные стороны прямоугольника и не будет пересекать его горизонтальных сторон.

Теорема 7.4 (Кантора). Непрерывная на сегменте функция равномерно непрерывна на этом сегменте.

Доказательство.

Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b]. Допустим, что она не является равномерно непрерывной на этом сегменте. Тогда   > 0 - такое, что   > 0  x' и x''  [a, b], x''-x' < , но f(x'') - f(x')  . Возьмем какую-нибудь последовательность {_n}  +0 (_n > 0).

В силу нашего предположения,  _n  x_n' и x_n''  [a, b],

x_n''-x_n' < , (1)

f(x_n'') - f(x_n')  . (2)

Рассмотрим последовательность {x_n'}. Она ограничена и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пусть  с  [a, b]. Потому f(x) непрерывна в точке c. В силу (1) подпоследовательность  с, а так как f(x) непрерывна в точке c, то  f(c) - f(c) = 0. С другой стороны, в силу неравенства (2)   > 0. Полученное доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, f(x) равномерно непрерывна на [a, b].

Теорема доказана.

//Замечание. Для интервала или полусегмента теорема неверна (см. пример выше).