I семестр / Математический Анализ - ответы - 21-31 билеты / вопрос 29

29 Формула Коши. Правило Лопиталя.

Теорема 7.12 Пусть:

1. f(x) и g(x) определены и непрерывны на сегменте [a, b],

2. f(x) и g(x) дифференцируемы в интервале (a, b),

3. g’(x)  0  x  (a, b).

Тогда:  точка c  (a, b): . (1)

(это формула Коши)

Доказательство.

Прежде всего отметим, что знаменатель в левой части формулы (1) не равен нулю, то есть g(a)  g(b). В самом деле, если допустить, что g(a) = g(b), то функция g(x) будет удовлетворять всем условиям теоремы Ролля, и тогда найдется такая точка на интервале (a, b), в которой g’(x) = 0, что противоречит условию 3) нашей теоремы.

1-й способ.

f(b) – f(a) = f’(c)(b – a),

g(b) – g(a) = g’(c)(b – a).

Разделив эти равенства друг на друга, получим формулу (1). Это доказательство не годится, так как точки c, вообще говоря, разные.

2-й способ.

Введем функцию F(x) = f(x) – f(a) -(g(x) – g(a)).

F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В частности, F(a) = F(b) = 0.

По теореме Ролля,  точка c  (a, b): F’(c) = 0.

f’(c) - g’(c) = 0. .

Теорема доказана.

Формула Лагранжа является частным случаем формулы Коши в случае, когда g(x) = x. В этом случае g’(c) = 1, g(a) = a, g(b) = b.

Правило Лопиталя.

Пусть f(x) = 0, g(x) = 0.

мы называем неопределенностью типа .

Правило Лопиталя позволяет в определенных случаях раскрыть эту неопределенность, то есть вычислить этот предел.

Теорема 7.13. Пусть:

1. f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в проколотой  - окрестности точки a,

2. Пусть f(x) = g(x) = 0,

3. g’(x)  0 в любой точке из указанной проколотой  - окрестности точки a,

4.  . (1)

Тогда:  = .

Доказательство.

Доопределим f(x) и g(x) в точке a по непрерывности, то есть положим f(a) = g(a) = 0. Тогда f(x) и g(x) будут непрерывны в некоторой окрестности точки a.

(здесь рисунок)

Возьмем произ. x  a из этой окрестности и применим формулу коши для сегмента [a, x].

, где c  [a, x]. Отсюда получаем:

. (2)

Перейдем в (2) к пределу при x  a. При этом c  a. В силу условия 4) предел правой части равенства (2) существует, следовательно, существует предел левой части равенства, и он равен пределу правой части, то есть = .

Теорема доказана.

Примеры.

1. == 1.

2. ==a^xln a – ax^a-1 = a^a(ln a – 1).

3. ===.

tg x – x  x³ при x  0. tg x – x - x³ = o(x3) при x  0. tg x = x + x³ + o(x3) при x  0.

//Замечание 1. Если условие 4) теоремы 7.13 заменить условием =  (то есть - бесконечно большая функция при x  a), то = . Это следует из (2).

//Замечание 2. Если условие (2) теоремы 7.13 заменить условием f(x) = , g(x) = , то теорема 7.13 остается в силе.

//Замечание 3. Правило Лопиталя верно также для односторонних пределов и для пределов при x  .

Примеры.

1. Найдем x^x. x^x = e^xlnx. xlnx = ==(-x) = 0. x^x = 1.

2. Найти ( > 0). === 0.

Таким образом, при x  + логарифмическая функция растет медленнее, чем степенная с любым показателем степени. ln x << x^ при x  + ( > 0).

3. Найти (n – натуральное, a > 1). == … == 0. Таким образом, при x  + степенная функция растет медленнее, чем показательная. xⁿ << a^x при x  + (a > 1).

4. Из того, что не существует , не следует, что не существует .

Пример.

Рассмотрим . не существует.

Вместе с тем, ==.