21 Теорема о стягивающейся системе сегментов.

Пусть дана последовательность сегментов [a₁ , b₁], [a₂ , b₂], … , [a_n , b_n], … - такая, что каждый следующий сегмент содержится в предыдущем.

(здесь рисунок)

 n: a_n  a_n+1<b_n+1b_n, (1)

и пусть длина n-го сегмента b_n - a_n 0 при n  . Такую последовательность сегментов назовем стягивающейся системой сегментов.

Теорема 6.1. Существует, и притом только одна, точка, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы.

Доказательство: Из неравенств (1) следует: {a_n} - неубывающая последовательность, {b_n} - невозрастающая. Кроме того, обе эти последовательности ограничены, так как все их члены лежат на сегменте [a,b]. Следовательно, эти последовательности сходятся. Так как b_n - a_n 0 при n  , эти последовательности имеют один и тот же предел. lim a_n = lim b_n = c. Так как {a_n} - неубывающая последовательность, a_n<c (n). n: a_n  c  b_n , то есть c  [a_n , b_n] n. Существование точки, принадлежащей всем сегментам стягивающейся системы, доказано. Докажем теперь, что такая точка только одна. Предположим, существует другая точка d  [a_n , b_n] n. Пусть для определенности d > c.

(здесь рисунок)

Но в этом случае b_n - a_n  d - c > 0, lim (b_n - a_n) = d - c > 0, что противоречит условию lim (b_n - a_n) = 0. Итак, точка с - единственная, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы.

Теорема доказана.

Эта теорема выражает свойство, которое называется непрерывностью множества вещественных чисел. Множество рациональных чисел этим свойством не обладает.

Предельные точки последовательности.

Определение 1. Число a называется предельной точкой последовательности {x_n}, если из последовательности {x_n} можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к a.

Определение 2. Число a называется предельной точкой последовательности {x_n}, если в любой -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {x_n}.

Утверждение. Определения 1 и 2 эквивалентны.

В самом деле, пусть a - предельная точка последовательности {x_n} по первому определению, тогда существует подпоследовательность  a, и в любой -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {x_n}, а это и означает, что точка a является предельной точкой последовательности по определению 2.

Пусть {x_n} - числовая последовательность, и пусть k₁ , k₂ , … , k_n , … - возрастающая последовательность, элементами которой являются натуральные числа. Выберем из последовательности {x_n} элементы с номерами k₁ , k₂ , … , k_n , … , получим вот такую последовательность: , она называется подпоследовательностью последовательности { x_n}. Отметим, что k_n  n. Примеры подпоследовательностей:

1. {x_2n} = x₂ , x₄ , … , x_2n , …

2. = x₁ , x₃ , x₇ , x₁₃ , …

3. {x_n} - сама последовательность.

Лемма 1. Если lim x_n = a, то и любая подпоследовательность этой последовательности сходится к точке a: lim =a.

Доказательство: Так как lim x_n = a, то   > 0 все члены последовательности с номерами k_n  N лежат в -окрестности точки a, а это и означает, что lim =a. Может случиться так, что сама последовательность расходится, то есть не имеет предела, но у нее есть сходящаяся подпоследовательность.

Пример.

{x_n} = 1, , 1, , 1, , … , 1, , …

Очевидно, что эта последовательность расходится, но при этом

{x_2n-1} = 1, 1, 1, 1, …  1. {x_2n} = , , , … ,, …  0.

Теорема 6.2. (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: Пусть {x_n} - ограниченная последовательность, то есть все ее элементы лежат на некотором сегменте [a , b].

a  x_n  b (n).

(здесь рисунок)

Разделим сегмент [a , b] пополам. По крайней мере на одной из половин сегмента [a , b] лежит бесконечно много членов последовательности {x_n}, обозначим эту половину через [a₁ , b₁]. Возьмем какой-нибудь : a₁  b₁. Далее разделим сегмент [a₁ , b₁] пополам и обозначим через [a₂ , b₂] ту половину, на которой находится бесконечно много членов последовательности {x_n}. Выберем  [a₂ , b₂], k₂ > k₁. a₂  b₂. Затем разделим сегмент [a₂ , b₂] пополам, и так далее. Продолжая этот процесс, получим стягивающуюся систему сегментов [a₁ , b₁], [a₂ , b₂], … , [a_n , b_n], … (так как b_n-a_n =  0 при n  ), и последовательность , которая является подпоследовательностью последовательности {x_n}.

 n: a_n  b_n. (1)

По теореме 6.1  точка с: lim a_n = lim b_n = c. Отсюда и из неравенства (1) следует, что  c при n  . Таким образом, мы выделили из последовательности {x_n} сходящуюся подпоследовательность.

Теорема доказана.

Определение. Последовательность {x_n} называется неограниченной, если  A > 0  n: x_n > A.

//Замечание: Для неограниченных последовательностей теорема Больцано-Вейерштрасса неверна.

Примеры.

1. {n} = 1, 2, 3, …, n, …

Из {n} нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.

2. {x_n} = 1, 0, 2, 0, 3, 0, … , n, 0, …

{x_n} - неограниченная подпоследовательность.

{x_2n}  0.

Определение: Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если  A > 0  N,  n > N: x_n > A.

Отметим, что бесконечно большая последовательность является неограниченной, а неограниченная последовательность может не быть бесконечно большой.

Задача 11. (для самостоятельного решения) Доказать 2 => 1. Поставим вопрос: сколько предельных точек может иметь последовательность? Из теоремы 6.2 следует, что ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.

{x_n} = 1, , 1, , 1, , … , 1, , …

Эта последовательность имеет две предельные точки: a₁=1, a₂=0. Оказывается, ограниченная последовательность может иметь сколько угодно много предельных точек, даже счетное множество.

Верхний и нижний пределы последовательности.

Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.

Определение. Наибольшая (наименьшая) из предельных точек ограниченной последовательности {x_n} наз. ёе верхним (нижним) пределом и обозначается: .

Если последовательность {x_n} сходится, то она имеет ровно одну предельную точку (ее предел), и в этом случае ==.

Если ограниченная последовательность имеет конечное число предельных точек, то среди них, очевидно, есть наибольшая и наименьшая, то есть в этом случае последовательность имеет верхний и нижний пределы. Если же число предельных точек бесконечно, то существование верхнего и нижнего пределов не является очевидным.

Теорема 6.3. Любая ограниченная последовательность имеет верхний и нижний пределы.

Доказательство: Пусть {x_n} - ограниченная поледовательность. Обозначим через {a} множество всех предельных точек этой последовательности. Так как это множество ограничено и непусто, то оно имеет точные грани. Обозначим = Sup {a}, = inf {a}.

Достаточно доказать, что  {a},  {a}. Проведем доказательство для .

(здесь рисунок)

Рассмотрим произвольную -окрестность точки и, кроме того, рассмотрим -окрестность точки .

(здесь рисунок)

По определению точной верхней грани, существует точка a  {a}: a  {-окрестности точки a}, а по определению 2 предельной точки в -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {x_n}. Но {-окрестность точки a}  {-окрестности точки }, тем самым, в -окрестности точки содержится бесконечно много членов последовательности {x_n}, а это и означает, что - предельная точка последовательности {x_n}, то есть  {a}.