I семестр / Математический Анализ - ответы - 21-31 билеты / вопрос 24
.doc24 Критерий Коши существования предела функции.
Определение: Пусть a - предельная точка области определения f(x). Говорят, что функция f(x) удовл. в точке a условию Коши, если > 0 > 0, x' и x'', 0 <x' - a < , 0 <x''- a < :
f(x') - f(x'') < .
Условие Коши для функции аналогично условию фундаментальности последовательности.
[15] Сформулировать отрицание условия Коши.
Теорема 6.6. (Критерий Коши) Для того, чтобы функция имела предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла в этой точке условию Коши.
Доказательство.
-
Необходимость. Дано:
f(x)
= b.
Требуется доказать: f(x)
удовлетворяет в точке a
условию Коши. Зададим произвольное
> 0. Согласно определению предела
функции по Коши,
>
0,
x'
{0 <x'
- a
< },
f(x')
- b
<
,
и
>
0,
x''
{0 <x''
- a
< },
f(x'')
- b
<
.
Отсюда следует, что x' {0 <x' - a < } и x'' {0 <x'' - a < }: f(x') - f(x'') =
= (
f(x')
- b)
- (f(x'')
- b)
+
< .
А это и означает, что f(x)
удовлетворяет в точке a
условию Коши.
Необходимость доказана.
-
Достаточность. Дано: f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши. Требуется доказать:
f(x).
Согласно определению предела функции
по Гейне, нужно доказать, что
{xn}
a
(xn
a)
{f(xn)}
сход., причем сходится к одному и тому
же числу для всех {xn}
a
(xn
a).
Рассмотрим произвольную последовательность
{xn}
a
(xn
a).
Докажем сначала, что последовательность
{f(xn)}
- фундаментальная. Зададим произвольное
> 0. Согласно условию (1),
> 0,
x'
и x'',
0 <x'
- a
< ,
0 <x''-
a
< :
f(x')
- f(x'')
< .
(2). В свою очередь, так как {xn}
a
и xn
a,
то
N,
n
> N:
0 < xn
- a<
,
m
> N:
0 < xm
- a<
.
(3). Из (2) и (3) следует, что
n
> N
и
m
> N:
f(xn)
- f(xm)
< .
А это и означает по определению, что
последовательность {f(xn)}
- фундаментальная. Следовательно, она
сходится. Итак, мы доказали, что
{xn}
a
(xn
a):
{f(xn)}
сходится. Остается доказать, что для
всех таких последовательностей {xn}:
{f(xn)}
сходится к одному и тому же числу. Пусть
для {xn}
a
(xn
a):
{f(xn)}
b,
а для {xn'}
a
(xn'
a):
{f(xn')}
b'.
Нужно доказать, что b'
= b.
Составим посл. {xn''}
= x1
, x1'
, x2
, x2'
, … , xn
, xn''
, …
{xn''} a (xn'' a).
Согласно доказанному, {f(xn'')} b'', но {f(xn)} и {f(xn')} - подпоследовательности последовательности {f(xn'')}, следовательно, эти поледовательности сходятся к b'', а это и означает, что b = b' = b'', что и требовалось доказать.
Теорема доказана.