I семестр / Математический Анализ - ответы - 21-31 билеты / вопрос 25

25 Теорема 7.1. (о локальной ограниченности непрерывной функции)

Если f(x) непрерывна в точке a, то существует окрестность точки a, в которой f(x) ограничена.

Доказательство. Зададим какое-нибудь  > 0, например,  = 1. По определению непрерывности,   > 0: f(x) - f(a)<  при x - a< , или < f(x) < в -окрестности точки a. Это и означает, что f(x) ограничена в -окрестности точки a.Т.док.

Пусть f(x) непрерывна на промежутке X, то есть непрерывна в каждой точке этого промежутка. Тогда по теореме 7.1 f(x) ограничена в некоторой окрестности каждой точки промежутка X. Следует ли из этого, что f(x) ограничена на промежутке X? Ответ отрицательный.

Пример.

f(x) = на 0 < x < 1.

Эта функция непрерывна в каждой точке данного интервала, и вместе с тем не является ограниченной на этом интервале. Особую роль играет промежуток, являющийся сегментом.

Теорема 7.2. (первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на сегменте функция ограничена на этом сегменте.

Доказательство. (здесь рисунок)

Допустим, что f(x) не ограничена на этом сегменте, то есть  натурального n  x_n  [a, b]:

 f(x_n) > n. (1)

Рассмотрим последовательность {x_n}. Она ограничена и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пусть  c. Так как все  [a, b], то и c  [a, b], значит, f(x) непрерывна в точке c (по условию), поэтому  f(с). С другой стороны, в силу (1) > k_n , и значит, последовательность - бесконечно большая, то есть, эта последовательность расходится. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, f(x) ограничена на [a, b]. Теорема доказана.

//Замечание. Для интервала теорема 7.2 неверна.

Например, f(x) = на интервале 0 < x < 1 непрерывна, но не является ограниченной на этом интервале. Вопрос: в каком месте не пройдет доказательство теоремы 7.2, если рассматривать интервал, а не сегмент.

Пусть f(x) огр. на множестве X. Тогда она имеет на этом множестве точные грани:

f(x) = M, f(x) = m.

Если в каких-то точках f(x) принимает значения M и m, то говорят, что функция достигает на множестве X своих точных граней.

Пример. y = , X = {0 < x  1}. (здесь рисунок)

f(x) = 1, f(x) = 0, но f(x) не достигает своей точной нижней грани. Пусть теперь f(x) непрерывна на [a, b], тогда по теореме 7.2 она ограничена на этом сегменте и, следовательно, имеет точные грани.

f(x) = M, f(x) = m.

Теорема 7.3. (вторая теорема Вейерштрасса) Непрерывная на сегменте функция достигает на этом сегменте своих точных граней.

Доказательство. Проведем доказательство для точной верхней грани. Допустим, что f(x), непрерывная на сегменте [a, b], не принимает ни в одной точке значения

M = f(x), тогда  x  [a, b]: f(x) < M.

Введем функцию: F(x) => 0 и непрерывна на [a, b]. По теореме 7.2,  A > 0,  x[a,b] : F(x) = A.  x  [a, b]: f(x)  M - < M.

Но это противоречит тому, что M – наименьшая из верхних граней функции на [a, b]. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, функция достигает на сегменте [a, b] своей точной верхней грани.

Теорема доказана.

//Замечание 1. Для интервала или полусегмента теорема неверна (см. пример перед теоремой).

//Замечание 2. Если f(x) достигает на множестве X своей точной верхней грани, то она имеет на этом множестве максимальное значение, то есть f(x) = f(x), в противном случае функция не имеет на множестве X максимального значения. То же самое отн. к min и inf. Из теоремы 7.3 следует, что если f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то она имеет на этом сегменте максимальное и минимальное значения. Ограниченная, но разрывная на сегменте функция может не иметь на этом сегменте минимального и максимального значения.

Пример. (здесь рисунок)

f(x) =. f(x) =1, минимального значения нет.