Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

02-09-2014_17-38-40 / Rational_Expr+Progressions

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

56.8 Кб

Скачать

☆

Разложение многочленов на множители, упрощение рациональных выражений.

Упрощение рациональных алгебраических выражений основано на знаниях: 1) алгебраических операций сложения, вычитания, умножения и деления

дробей:

ad ± bc

;

± d

, b · d

b · c

b d

2) формул сокращенного умножения:

a2 − b2 = (a + b)(a − b);

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2;

(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3; a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2);

3) разложения квадратного трехчлена на линейные множители: если квадратный трехчлен ax2 + bx + c имеет действительные корни x1 = и x2 = , то имеет место тождество

ax2 + bx + c = a(x − )(x − )

4) разложения на множители целых рациональных выражений, например:

6a2 + 6ab = 6a(a + b);

16x4 + 36x2y2 + 81y4 = 16x4 + 72x2y2 + 81y4 − 36x2y2 = (4x2 + 9y2)2 − (6xy)2 =

=(4x2 + 9y2 − 6xy)(4x2 + 9y2 + 6xy);

5)действий со степенями с целыми показателями:

	am
am·an = am+n ,		= am−n , (am)n = amn , (ab)n = anbn
am·an = am+n ,	an	= am−n , (am)n = amn , (ab)n = anbn
Задачи.			a0 = 1(a ̸= 0):
Задачи.
1. Упростить выражение
		a2	a − m	+	am
		6m(a + m) −(		+
		6m(a + m) −(	2a + 2m a2 − m2 )

		a		n		an
,	(		)		=		, a−n =	1	,
		b				bn		an

a − m

· 3m

Отв.: −6(am+m)

2. Упростить выражение

(	x + 1	1		)		(x − y)2	+ y − x
(	x2 + 2xy + y2	−	x2 − y2	)	·	x2 − 2y − xy		(x + y)2

Отв.: 0 3. Упростить выражение

A =	3(x + 2)	+	2x2 − x − 10	:	5	+	3		3		:
(				) (				−		)
(	2(x3 + x2 + x + 1)		2(x3 − x2 + x − 1)	) (	x2 + 1		2(x + 1)	−	2(x − 1)	)

Отв.: x+22

4.Разложить на множители a4 − ab3 − a2b2 + b4. Отв.: (a − b)(a3 + a2b − b3)

5.Разложить на множители x4 − 10x2 + 9. Отв.: (x − 1)(x + 1)(x − 3)(x + 3)

6.Разложить на множители x4 + x2 + 1. Отв.: (x2 − x + 1)(x2 + x + 1)

7.Разложить на множители a3 + 8a2 + 17a + 10. Отв.: (a + 1)(a + 2)(a + 5)

8.Упростить:

		x				2			·(1 +	x + x2	):
A =				−		2				3
A =	ax	−	2a2	−	x2 + x	2ax	−	2a		3 + x
		−				−	−

Отв.: 1

9. Известно, что a + b + c = √

, bc = 1. Найдите значение выражения

a−1 + (b + c)−1

2bc

−1

·(a0

)

a−1 − (b + c)−1

b2 + c2 − a2

Отв.: 1

10. Найдите значение выражения

x+y

−

xx+−yy

x2y2

x−y

x+y

x−y

(

)

+ (

−

x−y

+ x+y

)

при x = 0; 075 и y = 162 .

Отв.: 3; 2

11. Найдите значение выражения

2√

√

a + b

(√

) : (4√b)

2 √

−

a√

+ b√

√

−√

−

при a = 1 + √

и b = 1 + √

Отв.: 2

Домашнее задание.

1. Упростить, а затем найти численную величину выражения:

A = a + a2

(1 + b2)2 − 4b2

, если

a = 1; b = 2:

√

(b2 + 1)2

Отв.:	8
	5

2. Сократить дробь:

a3(b − c) + b3(c − a) + c3(a − b) a2(b − c) + b2(c − a) + c2(a − b):

Отв.: a + b + c

+ √

3. После упрощения выражение

−

b)2

16a2

, где a < 0 < b, примет

вид:

√

Отв.: b − 5a

4. Результат упрощения выражения

√

− √

(√

− 1)2

√

равен:

( 7 − 1)(

7 + 1)

√

Отв.: −

xy(x + 2y)

−

x2 + xy + y2

x − y

x3 − y3

Отв.: 1

Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Определение 0.1 Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого постоянного для этой последовательности числа d, называется арифметической прогрессией, а число d — ее разностью.

Основное свойство:

№1. Числовая последовательность является арифметической прогрессией (АП) тогда и только тогда, если каждый член ее, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов

an = an−1 + an+1 :

№2. В любой конечной АП a1; a2; a3; : : : ; an−1; an суммы членов, равноудаленных от ее концов, равны между собой и равны сумме крайних членов.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

an = a1 + d(n − 1):

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:

S		=	(a1 + an)n	S		=	2a1 + d(n − 1)	·	n:
	n		2		n		2

Определение 0.2 Числовая последовательность, первый член которой не равен нулю, а каждый член, начиная со второго равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же, не равное нулю чило q, называется геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Основное свойство:

№1. Квадрат каждого члена геометрической прогрессии (ГП), начиная со второго, равен произведению соседних членов, т.е. при k ≥ 2

b2k = bk−1 · bk+1:

№2. b1 · b2 = b2 · bn−1 = : : : = b3 · bn−2. В конечной ГП произведение членов, равноудаленных от ее концов, равны между собой и равно произведению крайних его членов.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

bn = b1 · qn−1:

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии:

Sn = bn · q − b1 q − 1

S	n	=	b1(qn − 1)			(q = 1):
	n		q	−	1	̸
				−

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

|q| < 1 Sn = b1 : q − 1

Задачи.

1. Даны 2 ГП-и с положительными членами a1; a2; a3 и b1; b2; b3. Известно, что числа a1b1; a2b2; a3b3 образуют АП и a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3. Докажите, что a1 + b1 = a3 + b3.

2. Коэффициенты b; a; c квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 именно в указанной очереди являются последовательными членами АП с разностью 4. Корни этого уравнения являются последоваетльными членами ГП со знаменателем 2. Найти числа a; b; c, если известно, что корни уравнения положительны.

Отв.: a = 47 ; b = −247 ; c = 327

3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найти третий член этой последовательности.

Отв.: b3 = 32

4.Найдите число членов АП, у которой отношение суммы первых 13 членов

ксумме последних 13 членов равно 12 , а отношение суммы всех членов без первых трех к сумме всех членов без последних трех равно 43 .

Отв.: 20

5.Сумма третьего и сорок седьмого членов АП равна 11, а разность девятнадцатого и двадцать пятого членов равна 12. Найдите число членов прогрессии, не превосходящих по абсолютной величине 70.

Отв.: 62 6. Сумма трех чисел, образующих АП, равна 30. Если из первого члена

вычесть 5, из второго 4, а третье не менять, то полученные числа составят ГП. Найдите эти числа.

Отв.: 8; 10; 12 или 17; 10; 3

7. Сумма первых 13 членов АП равна 130. Известно, что четвертый, десятый и седьмой члены этой прогрессии, взятые в указанном порядке, представляют собой три последовательных члена ГП. Найдите первый член данной АП.

Отв.: 10 или 70 8. Второй и четвертый члены ГП равны соответственно -16 и -24. Тогда

восьмой член прогрессии равен: Отв.: −54

9. Длины сторон треугольника образуют АП, один из его углов равен 120◦,

√

а радиус вписанной окружности равен 3. Найдите длины сторон этого треугольника.

Отв.: 6; 10; 14

Домашнее задание.

1. Найдите сумму первых семи членов АП, четвертый член которой равен 5. Отв.: 35 2.Три числа составляют ГП. Если из ее третьего члена вычесть 4, то эти чис-

ла составят АП. Если же из второго и третьего членов полученной АП вычесть по 1, то снова получится ГП. Найдите три исходных числа.

Отв.: 1; 3; 9 или 19 ; 79 ; 499

3. В ГП сумма первых пяти членов равна -242, b4 = 27 и bn = −486. Чему

равно n? Отв.: 6

4. Шестой член АП составляет 60% от третьего, а сумма шестого и третьего членов равна 48. Тогда разность прогрессии равна

Отв.: d = −4

Соседние файлы в папке 02-09-2014_17-38-40

#
11.05.201556.8 Кб12Rational_Expr+Progressions.pdf
#
11.05.201550.43 Кб10Trigonometry_Logarithms.pdf