02-09-2014_17-38-40 / Trigonometry_Logarithms
.pdf1
Задачи.
Основные свойства функций синус и косинус.
1. Найти множество значений функции |
|
|
|
|
|
|
|
y = sin2(x + ) − 3 sin2(x − ) + sin2 |
(x + |
|
) ; x R |
2 |
Отв.: E(y) = [−2; 1] :
2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
y = 9 sin2 x + 6 cos x; x R
Отв.: max y = 10; min y = −6. 3.Выяснить, для каких p R функция
y = p cos x + (1 − p) sin x; x R
будет четной или нечетной.
Отв.: при p = 1 функция четная, при p = 0 функция нечетная. 4. Исследовать функцию
√
y = cos x cos(x 2); x R
на четность, нечетность и периодичность. Отв.: функция четная, непериодическая.
Преобразование числовых тригонометрических выражений.
1. Формулы для тригонометрических функций одного и того же аргумента
sin2 x + cos2 x = 1;
|
sin x |
|
||||
tan x = |
|
|
|
; (x ̸= =2 + n; n Z); |
||
cos x |
||||||
cot x = |
cos x |
; (x ̸= n; n Z); |
||||
|
|
|||||
sin x |
||||||
|
1 |
|
; (x ̸= =2 + n; n Z); |
|||
1 + tan2 x = |
|
|
||||
cos2 x |
1 + cot2 x = 1 ; (x ≠ n; n Z): sin2 x
2. Формулы двойного аргумента
sin 2x = 2 sin x cos x;
cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x;
2
2 tan x
tan 2x = 1 − tan2 x; (x ̸= =2 + n; n Z; x ≠ =4 + m=2; m Z);
cot 2x = cot2 x − 1; (x ≠ n=2; n Z); 2 cot x
2 tan x
sin 2x = 1 + tan2 x; (x ≠ =2 + n; n Z);
1 − tan2 x
cos 2x = 1 + tan2 x; (x ≠ =2 + n; n Z):
3. Формулы понижения степени
sin2 x = (1 − cos 2x)=2;
cos2 x = (1 + cos 2x)=2:
4. Формулы сложения аргументов
sin( ± ) = sin cos ± cos sin ;
cos( ± ) = cos cos sin sin :
5. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
(разность) |
1 |
|
||||
cos cos = |
(cos( − ) + cos( + )); |
|||||
|
|
|
|
|||
2 |
||||||
sin cos = |
1 |
(sin( − ) + sin( + )); |
||||
|
|
|
||||
2 |
||||||
sin sin = |
1 |
(cos( − ) − cos( + )): |
||||
|
||||||
2 |
6. Преобразование суммы (разности) тригонометрических функций в произ-
ведение |
|
|
|
|
|
|
± |
|
|
|
|
|
|
|
||||
sin |
± |
sin = 2 sin |
|
cos |
|
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
cos + cos = 2 cos |
|
+ |
cos |
|
− |
; |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
cos |
− |
cos = |
− |
2 sin |
+ |
sin |
− |
: |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5. Вычислить
√
Отв.: V = 2. 6. Вычислить
Отв.: V = 1970
√
V = cos 15◦ + 3 sin 15◦:
|
sin3 x + 2 cos2 x sin x |
если cot x = 3: |
|
V = |
|
; |
|
|
|||
|
sin x + 2 cos x |
|
3
7. Упростить выражение
V = 2 cos 40◦ − cos 20◦ : sin 20◦
√
Отв.: V = 3.
8. Найти произведение
P = cos 20◦ cos 40◦ cos 80◦:
Отв.: V = 81 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
V = sin2 |
|
+ 3 cos2 |
3 |
: |
||||
|
|
|
|
|||||||
8 |
|
8 |
|
|
||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв.: V = 2 − 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. Вычислить |
|
√ |
|
|
|
|||||
|
|
V = arccos(cos(2 arctan( 2 − 1))) |
||||||||
Отв.: V = . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
V = cos(2 arcsin |
1 |
) : |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
Отв.: V = 79 .
12.Проверить для x [−1; 1] справедливо равенства cos(arcsin x) =
13.Упростить выражение sin(arctan x).
Отв.: sin(arctan x) = √1+x x2 , x R.
√
1 − x2.
Действие с логарифмами; упрощение сложных произведений в результате логарифмирования.
Свойства логарифмов
1. Если x > 0, то
x = aloga x
(основное логарифмическое тождество). 2. Логарифм основания равен единице:
loga a = 1:
3. Логарифм единицы равен нулю:
loga 1 = 0:
4. Если x1 > 0 и x2 > 0, то
loga(x1x2) = loga x1 + loga x2
4
(формула для логарифма произведения);
x1
loga x2 = loga x1 − loga x2
(формула для логарифма частного).
5. Если x > 0, то
loga xp = p loga x;
где p — любое действительное число (формула для логарифма степени).
6. Если x > 0, то
loga x = logb x logb a
для любого действительного числа b > 0 и b ≠ 1 (формула перехода к новому основанию логарифма).
В частности,
1
loga b = logb a; или loga b · logb a = 1; loga b = logap bp = p logap b (p R; p ≠ 0):
1. Вычислить а)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10002 lg 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
7log7 3+log49 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
log 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5 5 2 + log√ |
|
√ |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
7 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ log 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
7 + |
3 |
|
|
|
10 + 2 |
21 |
|||||||||||||||
г) |
|
|
|
|
log3 135 |
|
|
|
|
|
log3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
log15 3 |
|
log405 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Отв.: а) 9100; б) 6; в) 6; г) 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Упростить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
+ 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2) |
((logb4 a + loga4 b + 2)2 |
− logb a − loga b |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− log |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
loga b |
p |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
b3 |
|
|
: logb |
a3b−12 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
log b4 |
b − log b6 |
b |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв.: 1) 0; 2) loga b.
3.Дано: log14 7 = , log14 5 = . Найти log35 28. Отв.: 2−+ .
4.Дано: = log12 18, = log24 54. Доказать, что + 5( − ) = 1.
5
5. Вычислить десятичный логарифм
A = lg tan 1◦ · lg tan 2◦ · : : : · lg tan 89◦
Отв.: A = 0. 6. Вычислить
A = log2 3 · log3 4 · : : : · log15 16
Отв.: 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = − logp logp √p p : : : |
√p |
|
; где √p берется n раз |
|||||||||
|
p |
||||||||||||
Отв.: n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
Упростить |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
||
|
A = − log2 log2 |
|
√4 |
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
||||||||||
Отв.: 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
Упростить |
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|||
|
A = − log3 log3 |
√3 |
|
|
|||||||||
|
3 |
|
Отв.: 2.
10. Пусть a; b; c — катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника. Доказать:
logc+b a + logc−b a = 2 logc+b a · logc−b a