Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

02-09-2014_17-38-40 / Trigonometry_Logarithms

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
11.05.2015
Размер:
50.43 Кб
Скачать

1

Задачи.

Основные свойства функций синус и косинус.

1. Найти множество значений функции

 

 

 

 

 

 

y = sin2(x + ) 3 sin2(x − ) + sin2

(x +

 

) ; x R

2

Отв.: E(y) = [2; 1] :

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

y = 9 sin2 x + 6 cos x; x R

Отв.: max y = 10; min y = 6. 3.Выяснить, для каких p R функция

y = p cos x + (1 − p) sin x; x R

будет четной или нечетной.

Отв.: при p = 1 функция четная, при p = 0 функция нечетная. 4. Исследовать функцию

y = cos x cos(x 2); x R

на четность, нечетность и периодичность. Отв.: функция четная, непериодическая.

Преобразование числовых тригонометрических выражений.

1. Формулы для тригонометрических функций одного и того же аргумента

sin2 x + cos2 x = 1;

 

sin x

 

tan x =

 

 

 

; (x ̸= =2 + n; n Z);

cos x

cot x =

cos x

; (x ̸= n; n Z);

 

 

sin x

 

1

 

; (x ̸= =2 + n; n Z);

1 + tan2 x =

 

 

cos2 x

1 + cot2 x = 1 ; (x ≠ n; n Z): sin2 x

2. Формулы двойного аргумента

sin 2x = 2 sin x cos x;

cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 2 sin2 x;

2

2 tan x

tan 2x = 1 tan2 x; (x ̸= =2 + n; n Z; x ≠ =4 + m=2; m Z);

cot 2x = cot2 x − 1; (x ≠ n=2; n Z); 2 cot x

2 tan x

sin 2x = 1 + tan2 x; (x ≠ =2 + n; n Z);

1 tan2 x

cos 2x = 1 + tan2 x; (x ≠ =2 + n; n Z):

3. Формулы понижения степени

sin2 x = (1 cos 2x)=2;

cos2 x = (1 + cos 2x)=2:

4. Формулы сложения аргументов

sin( ± ) = sin cos ± cos sin ;

cos( ± ) = cos cos sin sin :

5. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

(разность)

1

 

cos cos =

(cos( ) + cos( + ));

 

 

 

 

2

sin cos =

1

(sin( ) + sin( + ));

 

 

 

2

sin sin =

1

(cos( ) cos( + )):

 

2

6. Преобразование суммы (разности) тригонометрических функций в произ-

ведение

 

 

 

 

 

 

±

 

 

 

 

 

 

 

sin

±

sin = 2 sin

 

cos

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

cos + cos = 2 cos

 

+

cos

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

cos

cos =

2 sin

+

sin

:

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

5. Вычислить

Отв.: V = 2. 6. Вычислить

Отв.: V = 1970

V = cos 15+ 3 sin 15:

 

sin3 x + 2 cos2 x sin x

если cot x = 3:

V =

 

;

 

 

sin x + 2 cos x

 

3

7. Упростить выражение

V = 2 cos 40cos 20: sin 20

Отв.: V = 3.

8. Найти произведение

P = cos 20cos 40cos 80:

Отв.: V = 81 .

 

 

 

 

 

 

 

9. Вычислить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V = sin2

 

+ 3 cos2

3

:

 

 

 

 

8

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв.: V = 2 2.

 

 

 

 

 

 

 

10. Вычислить

 

 

 

 

 

 

V = arccos(cos(2 arctan( 2 1)))

Отв.: V = .

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V = cos(2 arcsin

1

) :

 

 

 

 

 

 

 

3

 

Отв.: V = 79 .

12.Проверить для x [1; 1] справедливо равенства cos(arcsin x) =

13.Упростить выражение sin(arctan x).

Отв.: sin(arctan x) = 1+x x2 , x R.

1 − x2.

Действие с логарифмами; упрощение сложных произведений в результате логарифмирования.

Свойства логарифмов

1. Если x > 0, то

x = aloga x

(основное логарифмическое тождество). 2. Логарифм основания равен единице:

loga a = 1:

3. Логарифм единицы равен нулю:

loga 1 = 0:

4. Если x1 > 0 и x2 > 0, то

loga(x1x2) = loga x1 + loga x2

4

(формула для логарифма произведения);

x1

loga x2 = loga x1 loga x2

(формула для логарифма частного).

5. Если x > 0, то

loga xp = p loga x;

где p — любое действительное число (формула для логарифма степени).

6. Если x > 0, то

loga x = logb x logb a

для любого действительного числа b > 0 и b ≠ 1 (формула перехода к новому основанию логарифма).

В частности,

1

loga b = logb a; или loga b · logb a = 1; loga b = logap bp = p logap b (p R; p ≠ 0):

1. Вычислить а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10002 lg 3

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

7log7 3+log49 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 5 2 + log

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ log 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 +

3

 

 

 

10 + 2

21

г)

 

 

 

 

log3 135

 

 

 

 

 

log3 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log15 3

 

log405 3

 

 

 

 

 

 

Отв.: а) 9100; б) 6; в) 6; г) 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Упростить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2)2

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

((logb4 a + loga4 b + 2)2

logb a − loga b

 

 

 

 

log

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

loga b

p

 

b

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

: logb

a3b12

 

 

 

 

 

log b4

b − log b6

b

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв.: 1) 0; 2) loga b.

3.Дано: log14 7 = , log14 5 = . Найти log35 28. Отв.: 2+ .

4.Дано: = log12 18, = log24 54. Доказать, что + 5( ) = 1.

5

5. Вычислить десятичный логарифм

A = lg tan 1· lg tan 2· : : : · lg tan 89

Отв.: A = 0. 6. Вычислить

A = log2 3 · log3 4 · : : : · log15 16

Отв.: 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Вычислить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = logp logp p p : : :

p

 

; где p берется n раз

 

p

Отв.: n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Упростить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = log2 log2

 

4

 

 

 

 

 

2

 

 

Отв.: 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

Упростить

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

A = log3 log3

3

 

 

 

3

 

Отв.: 2.

10. Пусть a; b; c — катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника. Доказать:

logc+b a + logc−b a = 2 logc+b a · logc−b a

Соседние файлы в папке 02-09-2014_17-38-40