Заметим, что функции f и g на рис. будут "близкими" в пространстве L2
и "далекими" в пространстве С, т.е. норма С более «сильная»:
f 
L2 
f 
C
02.07.19 |
21 |
Унитарное пространство
это такое линейное пространство E, в котором для каждой пары элементов x, y вводится скалярное произведение (x,y) с помощью следующих аксиом.
Оно является естественным обобщением евклидова пространства,
• 1) ( x, y) ( y, x)* это число (знак * означает
комплексное сопряжение).
(x y, z) (x, z) ( y, z)
•2)
•3)
(a x, y) a (x, y) |
( x, a y) |
a* ( x, y) |
(x, x) 0, x |
|
|
•4)
•Унитарное пространствоx ( x, x) является нормированным с нормой
02.07.19 |
|
( x, y) |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
Неравенство Шварца |
Скалярное произведение в L2[a,b]
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
2L2 |
( f , q) f (x) g(x)dx, |
( f , f ) |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Ортогональными называются две функции из L2, если (f, g)=0.
•Скалярное произведение часто интерпретируется как проекция
одной функции на другую (по аналогии с векторами)
02.07.19 |
23 |
Например
L2[0,1]
f (x) cos(2 x) g(x) sin(2 x)
1
f g |
1 |
|
cos(2 x)sin(2 x)dx |
|
|
|
0 |
|
1
0.5 sin(4 x)dx 0
0
1
02.07.19 |
24 |
Ортогональные системы и базисы
•Множество (конечное или бесконечное) элементов
{…, j,…} Е называется ортогональной системой (или ортогональным базисом), если все элементы попарно ортогональны:
0 |
j k |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( j , k ) |
|
|
|
j |
|
|
|
2 |
j k |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Множество (конечное или бесконечное) элементов
{…,еj,…} Е называется ортонормальной системой,
если они ортогональны и норма = 1: |
|
|
|
|
j |
||||||
|
0 |
j k |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
e j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e j ,ek ) jk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j k |
|
|
|
|
j |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
02.07.19 |
1 |
|
|
|
|
|
|
25 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обобщенный Ряд Фурье
В пространстве L2 любой элемент u L2 может быть
представлен в виде линейной комбинации элементов выбранного ортогоального базиса {…, j,…}
следующим образом.
u ak k
k
В этом случае такое представление называется рядом Фурье для элемента u.
Коэффициенты ak называются коэффициентами
Фурье и вычисляются через скалярное
произведение по формуле |
ak u, k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При этом выполняется равенство Бесселя |
|
(u,u) |
|
ak |
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
26 |
|
|
|||
02.07.19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пространство Соболева |
W2s[a,b] |
• |
Множество функций, имеющих интегрируемые с квадратом |
||||||||||||||
|
производные до s порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b d m f |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
• |
Норма определяется как |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
s |
|
||||
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
W2S |
|
m |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 0 a dx |
|
|
|
• |
Расстояние |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
b d m ( f g) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
W22S |
|
dx |
m |
dx |
|
|
|||||||
|
|
m 0 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
•В этом пространстве близость между функциями характеризует также близость их производных.
•Функции f и h на рис. 1.1 будут «близкими» по норме 
W20 и «далекими» по норме 
W21 , причем 
W20 
L2
02.07.19 |
27 |
Виды погрешностей
• Абсолютная погрешность X между точным X и
приближенным X значениями некоторого элемента определяется через норму разности X 
X X%
•Относительная погрешность X определяется как отношение абсолютной погрешности к норме
элемента X X / 
X%
02.07.19 |
28 |
Пример
f
f var
f const
z
02.07.19 |
29 |
Откуда возникают погрешности расчетов?
•Есть четыре источника погрешности результата, о которых следует помнить при выполнении расчетов
•1. Неточность математической модели
•2. Погрешность исходных данных
•3. Погрешность метода
•4. Ошибки округлений
02.07.19 |
30 |