Предположим, что в задаче (1.11) коэффициент Q(t, ) 0, а P от не зависит: P(t, ) = P(t). Причем P(t) непрерывен при t 0; параметром считается y0 . Докажем, что если P(t) 0, то y(t, y0) непрерывна по y0 равномерно относительно t при t 0. Действительно, из формулы (1.12) имеем

противного. Допустим, что имеет место утверждение, доказанное ранее, т.е. для

Замечание. Данный пример показывает, что теорема 2 не распространяется на бесконечный промежуток изменения t и для ее справедливости нужны еще некоторые дополнительные требования, например, условие на знак P(t).

§2. Дифференцирование по параметрам и начальным значениям

Кратко исследуем возможность дифференцирования решений по параметрам и начальным значениям. Не ограничивая общности, достаточно рассмотреть этот вопрос для какой-либо одной переменной . Запишем систему в виде

Будем считать, что выполнены условия теоремы 1. Тем самым решение начальной задачи для системы (2.1) существует и является непрерывной

55

пользуясь представлением (2.4) и тождеством Адамара, запишем (2.4) в виде

говоря, от нуля, если является одним из k . Начальные условия для функций zi (t, ) также имеют различный вид в зависимости от того, является ли

| | c . Это означает, в частности, что существуют предельные значения

56

0. Поэтому, пользуясь той же теоремой 1, можно сделать заключение о

непрерывной зависимости производных yi от t параметров и начальных

значений.

Замечание. В теореме сформулированы условия существования первых непрерывных производных по параметрам решения задачи Коши. Вопрос о существовании и непрерывности производных высших порядков по параметрам исследуется аналогично. Можно показать, что существование непрерывных частных производных до порядка k функций fi (y,t, ) является достаточным условием существования непрерывных частных производных

Идея разложения решения по малому параметру , от которого правые части зависят регулярно, принадлежит выдающемуся французскому математику Анри Пуанкаре. На формуле (2.9) основаны многие методы асимптотического исследования и численного интегрирования дифференциальных уравнений, а также некоторые методы теории устойчивости.

57

Нетрудно видеть, эта же система может быть получена путем формального дифференцирования исходной задачи (1.1), (1.2) по параметру . Уравнения (3.1) часто называются системой уравнений в вариациях относительно рассматриваемого решения y(t, ).

Переход к уравнениям в вариациях связан с идеей линеаризации уравнений (1.1) в окрестности некоторого выбранного решения. Пусть, например, свойства

которая представляет собой систему в вариациях, так как совпадает с точностью до обозначений с (3.1). Если рассмотрение ведется на конечном

промежутке [t0,T ], то в силу доказанных выше теорем yi и yi близки на всем [t0,T ] (так как их начальные значения или правые части уравнений отличаются

мало) и, зная yi , можно получить приближенное выражение для yi в виде yi yi , где yi определяется из линейных уравнений (3.4).

Если же, зная yi , мы хотим исследовать yi на неограниченном промежутке, то задача становится сложнее и относится к теории устойчивости. Линейные уравнения изучены значительно полнее, чем системы общего вида. Поэтому процесс линеаризации – замена (2.1) уравнениями вида (3.4) – приводит в тех случаях, когда эта операция законна, к серьезному упрощению задачи.

58

Замечание. В теореме 3 рассматривался вопрос о существовании производных решения по параметрам y10,...,ym0 , 1,..., s, входящем в начальные условия и правые части системы (1.1), (1.2). Аналогично может быть исследован вопрос

получающейся дифференцированием системы (1.1) по t0 и является линейной

исходной системы, то мы получим тождества. Дифференцируя тождества по t0,

начальные данные для системы (3.4).

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Красовский Николай Николаевич. Выдающийся математик.

Ученик Е. А. Барбашина, И. Г. Малкина. Родился 7 сентября 1924 г. в Свердловске. В 1949 г. окончил Уральский политехнический институт (УПИ) (Свердловск). Специалист в области математики и механики. Избран членомкорреспондентом по Отделению механики и процессов управления (механика) в 1964 г., академиком по Отделению механики и процессов управления (теория устойчивости и регулирования) в 1968 г. Награжден золотой медалью им. А. М. Ляпунова за цикл статей «Работы по теории устойчивости и по теории оптимального управления» (1992 г.); золотой медалью им. М. В. Ломоносова за выдающиеся достижения в области математической теории управления и теории

дифференциальных игр (1996 г.). Основатель крупной научной школы. В настоящее время является главным научным сотрудником отдела динамических систем Уральского филиала института математики и механики РАН, членом президиума Российской Академии Наук. Среди его учеников академики: президент РАН Ю. С. Осипов, А. Б. Куржанский, А. И. Субботин, члены-корреспонденты РАН А. Г. Ченцов, В. Е. Третьяков и многие другие члены-корреспонденты РАН, доктора и кандидаты наук, инженеры и преподаватели.

59