§1. Линейные однородные уравнения n-го порядка

a

0

(x)y

(n) a (x)y(n 1) ... a

n

(x)y 0, x X , X [x ,x*

]

,

(1.1)

1

0

где функции ai (x)

непрерывны при x X .

Если a0(x0) 0, то точка

x x0 является особой точкой уравнения (1.1),

поскольку в ней меняется порядок

уравнения. Если a0(x0) 0 в

рассматриваемой области переменной, то уравнение (1.1) делением на

a0(x)

приводится к виду

y(n) a (x)y(n 1) ... a

n

(x)y 0, x X

.

(1.2)

1

Далее будем рассматривать именно уравнения вида (1.2). Решением

уравнения (1.2) называется n

раз непрерывно дифференцируемые функции

тождество. Если функции y1(x),...,ym(x)

являются решениями уравнения (1.2),

m

то любая их линейная комбинация

Ci yi (x),

где C1,...,Cm

–

произвольные

i 1

постоянные, снова есть решение уравнения (1.2).

Задача Коши для уравнения (1.1) формулируется следующим образом:

y(n) a (x)y(n 1)

... a

n

(x)y 0,

1

y(x0) y0, y (x0 ) y0, , y(n 1)(x0) y0(n 1) .

(1.3)

Если функции ai (x),

i

, непрерывны на интервале

, то решение

1,n

задачи Коши (1.3) существует и единственно на .

1.1. Определитель Вронского. Пусть функции 1(x),..., n(x)

непрерывны на

интервале со своими производными

до (n 1)-го порядка включительно.

Функциональный определитель вида

1(x)

2(x)

...

n(x)

(x)

[ 1,..., n]

1

2(x)

... n(x)

(1.4)

...

...

...

...

(n 1)

(x)

(n 1)

(x)

...

(n 1)

(x)

1

2

n

называется определителем Вронского (вронскианом)

для системы функций

1(x),..., n(x), x X.

уравнения (1.2) не равен нулю ни в одной точке

интервала X,

тогда эти

решения являются линейно независимыми на X.

Замечание.

Если 1(x),..., n(x) –

произвольные функции, то из равенства

нулю их

определителя Вронского,

вообще

говоря,

не следует их линейная

зависимость.

Рассмотрим, например, две

функции

0,

1 x 0,

1(x)

0 x 1,

x2 ,

2

,

1 x 0, Они линейно независимы на отрезке [-1; 1], так как

2 (x) x

0,

0 x 1.

Общее решение

линейного

однородного

уравнения

(1.2)

имеет

вид

y C1y1(x) Cn yn (x), где

y1(x), , y2(x)

–

фундаментальная система

решений; C1, ,Cn

– произвольные постоянные.

Если функция

yi (x),i

,

фундаментальной системы имеет единичную

1,n

матрицу

начальных

значений

в точке

x x

0

,

т.е.

y( j)(x )

ij

,

где

i

0

1,

i j,

– символ Кронекера, то система

y1(x), , yn (x)

называется

i j 0,

i j,

нормальной фундаментальной системой решений при x x0 .

Теорема 3. Пусть

y1(x), , yn (x)

– нормальная при

x x0

фундаментальная

система решений. Тогда решение задачи Коши

y(n) a (x)y(n 1) a

n

(x)y 0,

(1.5)

1

имеет следующий вид:

y(x0) A1,

y (x0) A2, , y(n 1) (x0) An

y A1y1(x) A2 y2(x) An yn(x).

(1.6)

Если для произвольных функций Ai

решению задачи Коши (1.5)

может

единицу. Например, зная частное решение

y1(x)

линейного

однородного

уравнения,

можно

понизить

порядок

уравнения

с

помощью

замены

y(x) y1(x) u(x)dx или, что то же самое,

u (y y1) . На практике удобнее

положить

y y1(x)z,

где

z z(x) –

новая

неизвестная

функция. Для z(x)

получается линейное уравнение,

содержащее только производные от

z(x), но

не саму функцию z(x). После этого полагают u z и т.д.

Например, для

уравнения

второго

порядка

y a1(x)y a2(x)y 0,

положив

y y1(x)z,

для

функции

z(x)

получаем

уравнение

y1z (2y1 a1(x)y1)z 0.

Полагая

u z и разделив переменные,

находим

C

a1(x)dx

(x)

e a1(x)dx

u

1

e

, откуда y C1y1

dx C2 y1(x).

y2

y2 (x)

1

1

kn a kn 1

a

kn 2 ... a

k a

n

0.

(1.7)

1

2

n

кратные корни.

Общее решение дифференциального уравнения (1.1) строится в

зависимости от вида корней характеристического полинома:

I.

Каждому

действительному

простому

корню

k

в

общем

решении

соответствует слагаемое вида Cekx .

m

II.

Каждому

действительному

корню

кратностью

в

общем

решении

соответствует слагаемое вида (C C

2

x ... C

m

xm 1)ekx.

1

III.

Каждой

паре

простых

комплексных

сопряженных

простых

корней

k(1)

i

и k(2)

i

в общем решении соответствует слагаемое вида

e x (C cos x C

2

sin x).

1

IV.

Каждой

паре

комплексных

сопряженных

корней

k(1) i и

k(2) i

кратностью

m в общем решении соответствует слагаемое вида

e x[(C1 C2x ... Cm 1xm 1)cos x (C1 C2 x ... Cm 1xm 1)sin x].

Пример

1.

Решаем

уравнение

y 7y 6y 0.

Характеристическое

уравнение имеет вид k2 7k 6 0; его корни

k 6, k

2

1. Следовательно,

1

ФСР образуют функции e6x и ex , а общее решение имеет вид y C e6x C

ex .

Пример 2. Решаем уравнение y 2y

1

2

y 0. Характеристическое уравнение

k3 2k2

k 0 имеет корни k

0,

k

2

k

3

1. Здесь 1 является двукратным

1