ГЛАВА 4. ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРОВ

В приложениях дифференциальных уравнений начальные значения и правые части обычно известны приближенно, поскольку определяются экспериментально. Поэтому правомерен вопрос о том, как изменится решение задачи при небольших изменениях начальных значений и зависит ли решение от этих величин непрерывно.

Аналогичный вопрос можно поставить и для неограниченного временного промежутка. Он составляет содержание теории устойчивости, у истоковкоторой стояли выдающиеся математики А. М. Ляпунов,Е. А. Барбашин, Н. Н. Красовский и которой посвящена специальная гл. 8.

§1. Непрерывная зависимость решений от параметров

Будем рассматривать начальную задачу для нормальной системы дифференциальных уравнений

Здесь ( 1,..., s ) – вектор, описывающий параметры 1,..., s , входящие в правую часть системы.

Исследуем характер зависимости решения этой задачи от y10,...,ym0 и

1,..., s . Отметим, что исследование зависимости решения от начальных значений y1,..., ym и t0 можно свести к задаче об изучении зависимости от параметров в правой части системы. Действительно, сделаем в (1.1) замену:

изучение зависимости от параметра можно рассматривать как некоторый частный вид зависимости решений от начальных значений. В самом деле, поскольку параметры 1,..., s в (1.1) фиксированы и принимают, например, значения k0 (k = 1,…, s), то к уравнениям (1.1) с начальными условиями (1.2)

можно добавить уравнения вида d k = 0 с начальными условиями k (t0 ) = dt

= k0 . Тогда получим новую систему:

50

Теперь вопрос о зависимости yi от k сводится к исследованию зависимости

(1.2) выполняются условия существования и единственности решения и условия применимости алгоритма Эйлера. Ломаные Эйлера в силу

справедливость теоремы о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров.

Теорема 1 (о непрерывной зависимости решения от параметров). Если

если потребовать выполнения условий теоремы 1 в параллелепипеде

51

определяется выражением (1.6), где M – постоянная, ограничивающая | fi ( y,

уравнений, в котором величина является параметром. Решение задачи (1.8), таким образом, зависит не только от t, но и от . Более того, решение зависит как от параметров, так и от t0 и y0 : y(t, ,t0, y0 ). Может быть также несколько входящих в уравнение параметров:

Поэтому можно в задаче (1.8) или (1.9) исследовать лишь зависимость от 1, …, k , считая t0 и y0 фиксированными числами. Рассмотрим задачу (1.8), где t0, y0 – фиксированные числа.

Теорема 2 (о непрерывной зависимости решения от параметра). Пусть f (t, y, ) непрерывна по совокупности аргументов в области G = { |t t0 | a,

y(t, ) непрерывна по совокупности аргументов при | 0 | C, |t t0 | H . Замечание. Как следствие теоремы 2 можно утверждать непрерывную

52

Пример 1. Рассмотрим следующую задачу Коши: y ytgx 1/cosx, y(0) 0.

Выписываем общее решение уравнения y(x) sin x Ccosx. Отсюда следует

начального выберем следующее возмущенное условие: y(0) (у нас0). Оценим по модулю следующую разность:

кривой y(t, ) исходной задачи Коши.

1.syms x1 y1 y C % инициализация символьных переменных

2.y = dsolve('Dy = -y*tan(x)+1/cos(x)','x'); %решаем ДУ

3.pretty(simplify(y)); %выводим на экран решение

4.x1 = 0:0.1:4*pi; %задаем диапазон значений

5.y = subs(y,'x',x1); %подставляем из диапазона в уравнение

6.y1 = subs(y,'C1',0); %подставляем в уравнение С = 0

7.plot(x1,y1,'.-'); %рисуем полученную кривую

8.hold on;

9.plot(x1,y1+0.5,'--');

10.plot(x1,y1-0.5,'--');

11.for C = 0.1:0.1:0.4 %варьируем константу С

12.y1 = subs(y,'C1',C); %подставляем константу в уравнение

13.plot(x1,y1,':'); %рисуем полученную вариацией кривую

14.y1 = subs(y,'C1',-C); %подставляем значение –С в уравнение

15.plot(x1,y1,':'); % выводим кривую на печать

16.end;

% оформляем график

17.legend(' Exact solution','Vicinity of exact solution');

18.text(.55,1.35,'\ity\prime + y * tg(x) = 1/cos(x), y(0) = 0')

19.axis([0.0 10.0 -1.6 1.6]);% задаем интервалы на осях ОХ и ОУ

20.xlabel('X axis');

21.ylabel('Y axis'); % именуем оси ОХ и ОУ

22.set(gca,'XTick',0:pi/2:3*pi); % интервал обозначений на оси ОХ

23.set(gca,'XTickLabel',{'0','pi/2','pi','3/2*pi','2*pi',...

'5/2*pi', '3*pi'}); % оцифровка оси ОХ

53