Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

BORZENKOV_MATLAB ОДУ.pdf

Скачиваний:

173

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2017 18 19 20 > Следующая >>>

coskx

Пример 2. Найти периодическое решение уравнения y (x) 4y

k 0

общих

обозначениях

получаем

4 22 , a

k 1,2,3,...; b

k 1,2,3,... .

Для правой части имеет место p

k2 при

k0 2.

При

этом

т.е. правая

часть

содержит

резонансную гармонику cos2x. Следовательно, периодического решения исходного уравнения не существует.

Задачи для решения

Найти периодические решения следующих уравнений в случае их существования:

coskx

y 4y

. 2.

y y

sinx

. 3.

y y

. 4.

y 4y cos2 x.

k 4

sinkx

k 1

coskx sinkx

y y cosx cos2x. 6.

y y

. 7. y 3y 1

k 1

§5. Уравнение Бесселя

5.1. Гамма-функция. При изучении колебательных процессов часто необходимо решать уравнение Бесселя. Его изучению кратко предпошлем некоторые свойства факториальной функции, которая называется Гаммафункцией и обозначается (x) .

Трансцендентная функция (x) распространяет значение факториала x! на случай любого x, действительного или комплексного, x 0, 1, 2,.... Гаммафункция была введена Леонардом Эйлером при помощи бесконечного произведения

n!nx

(x) limn x(x 1)(x 2)...(x n)

lim

	nx				,	(5.1)
		x
				x
x(1 x) 1			... 1

	2			n

из которого Эйлер получил интегральное представление (x) – Эйлеров интеграл второго рода – в виде


(x) tx 1e tdt , Rex 0.	(5.2)

Чаще всего, определяя -функцию, исходят из формулы (1.2). Выясним область сходимости несобственного интеграла (5.2). Имеем

1	x 1 t		x 1 t		x 1		t
(x) t	x 1 t	dt t	x 1 t	dt t	x 1	e	t	dt .	(5.3)
(x) t	e	dt t	e	dt t		e		dt .	(5.3)
0		0		1

106

Оба интеграла в этом равенстве сходятся равномерно по параметру x на любом конечном отрезке [a,b] (0, ) по признаку сравнения Вейерштрасса.

Так как подынтегральная функция tx 1e t непрерывна при t 0, x 0, то оба интеграла в равенстве (5.3) являются непрерывными функциями параметра

x на отрезке [a,b] (0, ). Поэтому (x)

является непрерывной при x

При x 0 функция

(x)

будет и непрерывно дифференцируемой,

причем

x 1

lntdt t

lntdt .

Дифференцирование

под

(x) t

знаком интеграла законно в силу равномерной сходимости (5.2) по параметру x

x 1 t

(n)

(lnt)

dt,

(x) t

x 1

(lnt)

dt,n 1,2,... .

наотрезке [a,b] (0, ): (x) t

Так как (x) 0, то гамма-функция является выпуклой функцией, имеющей положительный единственный минимум.

Пример. По определению найдем (1). Имеем (1) e tdt e t |0 1. Найдем

s,dt 2sds

2se

t 0 s 0

. Получаем

(

)

t s

, так как интеграл Пуассона e x2dx

Приведем некоторые полезные соотношения.

(x 1)

x (x).

(5.4)

Из (1) 1

и (5.5) при целом n 0,1,2... имеем

(n 1) n!

(5.5)

При

n 0 из (5.5) следует

0! (1) 1.

Применяя повторно (5.4)

при x 0,

получаем

(x n) (x n 1)(x n 2)...(x 1)x (x).

(5.6)

Если x (0,1], то (x 1) (1,2]

и т.д. Тогда,

зная (x),x (0,1], можно вычислить

(x),x (1,2] и т.д. В частности, имеем

(1 x) x ( x), x (0,1).

(5.7)

Справедливо следующее тождество:

(x)

	1	1	1
1			...		ln n x

x lim e	2	3		n

		x		x
				n

	1		e

n 1		n

xe x			x		x
					n ,

		1		e		(5.8)

	n 1		n

где n x	elnn	x	e xlnn,		1
				lim(		lnn) – постоянная Эйлера, первые

				n k 1n

цифры которой представляют число 0,577217....

107

Согласно (5.8) имеем

( x)xe

en .

(x) ( x)

n 1

Отсюда и из формулы (5.7) получаем

(5.9)

x 1

(x) (1 x)

n 1

Справедливы соотношения

, 0 x 1;

(x) (1 x)

(5.10)

sin x

cos x

Пример. Найдем .

т.е.	1		1

				!	,
			2
		2

При x	1	из формулы (5.10) имеем		1	2
									,
									,
	2			2
	2			2			sin
							sin	2
								2
поскольку			(x) 0. Положив в формуле			(5.6)		x		1	,
поскольку			(x) 0. Положив в формуле			(5.6)		x			,
								2

получим


		1			1		3		3 1		1	1 3 ... (2n 3)(2n 1)							(5.11)
		1			1		3		3 1		1	1 3 ... (2n 3)(2n 1)
n				n		n		...									.
n				n		n		...					2n				.
			2		2		2 2 2			2			2n
	7										7	5		5		5	5	3
Найдем		. По формуле (5.4) получим											1						1
Найдем	2	. По формуле (5.4) получим											1	2			2		1
	2										2	2		2	2		2	2

	5	3	3	5		3		1					5		3	1		1				1 3 5
	5	3	3	5		3		1					5		3	1		1				1 3 5
									1															. Отсюда, используя (5.11),
									1				2						2				23	. Отсюда, используя (5.11),
	2 2		2	2 2			2						2	2 2					2				23
будем иметь					7							1					1				3		5		1	5 3 1


										3					3				3				3				.
										3	2				3				3	2			3			23	.
					2						2						2			2			2		2	23

5.2. Уравнение Бесселя. Его интегрирование с помощью обобщенного степенного ряда. Следующее линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

x2 y xy (x2 2 )y 0

(5.12)

называется уравнением Бесселя с параметром . Чтобы найти общее решение уравнения (5.12), следует найти два его линейно независимых решения.

Решение уравнения (5.12), вообще говоря, ищется в виде так называемого обобщенного степенного ряда


		y y(x) xp ak xk ak xk p ,			a0 0.	(5.13)
		k 0	k 0
Продифференцировав формально степенной ряд два раза, получим

y y (x) ak (k p)xk p 1,			y y (x)	ak (k p)(k p 1)xk p 2.
Подставив	k 0	в уравнение (5.12), получим		k 0

	y,y ,y

108


ak (k p)(k p 1)xk p ak (k p)xk p ak xk p 2 2 ak xk p 0,
k 0				k 0	k 0	k 0
		x2 2)xk p 0. Приравняв коэффициенты при одинаковых
или ak ((k p)2		x2 2)xk p 0. Приравняв коэффициенты при одинаковых
k 0
степенях x к нулю, получим бесконечную систему
		xp		a0(p2 2) 0,
		xp		a0(p2 2) 0,
		xp 1		a ((p 1)2 2) 0,
		xp 2		1
		xp 2		a2((p 2)2 2) a0 0,
		xp 3		a3((p 3)2 2) a1 0,		(5.14)
		...		......
		xp n		an((p n)2 2) an 2 0,
		...		......
По условию	a0 0. Следовательно,				из первого уравнения	находим p .
Пусть p	0.	Тогда из	равенств		(5.14) следует, что коэффициенты an с

нечетными индексами равны нулю, а для коэффициентов с четными индексами будем иметь соотношения

				a2			a0				a0			a0	,
					(2 )2 2					4(1 )				2( 1)
													1 2
	a4			a2					a2		( 1)2			a0			,
			(4 )2					2 4( 2)
					2							1 2 24( 1)( 2)
a6	a4			( 1)3					a0					( 1)3			a0		.
	(6 )2					2 4 6 23(1 )(2 )(3 )										3!26(	1)(
		2																2)( 3)

По

индукции

получаем, что

( 1)k a0

. Подставив

эти

k!22k ( 1)( 2)...( k)

коэффициенты в ряд (5.13), получим решение уравнения Бесселя в виде

y y(x) ( 1)k

a0x

x2k

k 0

k!22k ( 1)( 2)...( k)

(5.15)

( 1)k

k 0

k!( 1)( 2)...( k) 2

Для решения (5.15) произвольный коэффициент a0

принято выбирать в виде

Так

как

(k 1) ( 1)( 2)...( k) ( 1),

то

2 ! 2 ( 1).

решение (5.15) уравнения Бесселя представится в виде

109

( 1)k x x

y y(x)

k 0k!2 ( 1)( 1)( 2)...( k)

(5.16)

( 1)k

J (x).

(k 1) (k

k 0

1) 2

При p , выбрав коэффициент a0

в виде a0

, функцию

J (x)

2 ( 1)

запишем в форме ряда

( 1)k

J (x)

(5.17)

(k 1) (k 1)

k 0

Функции J (x),J (x), определенные соответственно равенствами (5.16)


и (5.17), называются функциями Бесселя первого рода порядка			и	или
цилиндрическими функциями первого рода.				J (x) и
При	нецелом ряды (5.16) и (5.17), определяющие функции
J (x), по	признаку	Даламбера сходятся при всех x.	Так		как
J (x) 0,J	(x) при	x 0, то функции линейно независимы при			, не

равном целому числу n. В этом случае общее решение уравнения Бесселя записывается в виде

	y y(x) c1J (x) c2J (x),			– нецелое,	(5.18)
где c1 и c2 – произвольные постоянные.
При целом, n, функции Jn(x) и J n (x)				линейно зависимы,	так как
имеет место равенство		J n(x) ( 1)n Jn(x).
		J n(x) ( 1)n Jn(x).			(5.19)
Действительно, так как функция (x) определена при действительных					x при
	( 1)k	x	2k n
x 0, то J n(x)			. Положим k n p. Тогда p=0, 1, 2…,
x 0, то J n(x)			. Положим k n p. Тогда p=0, 1, 2…,
k nk!(n k)! 2

k n p и, значит,

	( 1)n p	x		2p n
J n(x)
			2
p o(n p)!p!

	( 1)p	x		2p n
( 1)n				( 1)n Jn(x),
			2
p o p!(n p)!

что соответствует равенству (5.17).

Таким образом, при n целом функции Jn(x) и J n(x) не образуют фундаментальную систему решений уравнений Бесселя. Второе решение

уравнения Бесселя, линейно независимое с Jn(x),			определяется предельным
соотношением	J (x)cos J (x)
Nn(x) lim		,	– нецелое.	(5.20)

n	sin			функцией
Функция Nn(x), определенная формулой (5.20), называется

Неймана или цилиндрической функцией Бесселя второго рода.

110

Следовательно,

при

целом,

общее решение уравнения Бесселя

имеет вид

y y(x) c1Jn(x) c2Nn(x),

где c1 и c2 – произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение уравнения Бесселя x2 y xy (x2

0,25)y 0,

. Введем замену

. Тогда

2u x

2 x3

3x2

(2u x

u )2

(2u x u)

2 x3

4x2u 4xu 3u

2x3

4x2 x

в наше уравнение Бесселя, получаем

Подставив y,y ,

u 4xu 3u

2u x u

4xu

u u

2u x u

0 или

4 x

2 x

4 x

Отсюда окончательно получаем 4x2u 4x2u 0 u u 0. Общим решением

этого уравнения		является		функция					u u(x) Acosx Bsin x,																		где A и B –
произвольные константы. Учитывая замену															y			u			,		получим общее решение
															y						,		получим общее решение
																			x
																			x
рассматриваемого дифференциального уравнения:
			y y(x)			u			A			cos				x	B			sin		x		.									(5.21)
			y y(x)						A								B							.									(5.21)
								x					x										x
Но, с другой стороны, решениями этого уравнения, согласно (5.16) и
(5.17), служат функции													1																	1
				( 1)k						x	2k		1											( 1)k				x	2k	1
				( 1)k						x	2k		2											( 1)k				x	2k	2
J1 (x)																																,
J1 (x)					1																				3							,
										2																		2
										2																		2
2		k 0 (k 1) k					1										k 0 (k 1) k
2		k 0 (k 1) k			2		1										k 0 (k 1) k								2
					2																				2
													1																	1
				( 1)k						x 2k														( 1)k				x 2k
				( 1)k						x 2k				2										( 1)k				x 2k			2		.
J	1 (x)
J	1 (x)				1																				1
										2																		2
										2																		2
	2	k 0 (k 1) k						1									k 0 (k 1) k
	2	k 0 (k 1) k			2			1									k 0 (k 1) k
					2																					2

Частные решения J1	(x) и	J	1

2			2
2			2

(x) можно получить из общего решения (5.21)

при некоторых значениях констант A и B. Найдем это константы. Имеем

cosx

sin x

( 1)k

(x)

k 0

(k 1) (k

)

2k 1

111

																																								1
																				( 1)k												x				2k
																																									2																										x 0
																																									2
или Acosx Bsin x					x																																						.				Отсюда при																										получаем
или Acosx Bsin x					x																							3															.				Отсюда при																										получаем
							k 0 (k 1) (k																					3				2
																														)
																														)
A 0, т.е. имеем равенство																												2
A 0, т.е. имеем равенство																																																			1
																																																			1
									sin x																				( 1)k													x						2k
									sin x																				( 1)k													x						2k							2																		(5.22)
					B																																																					.
					B																																		3							2												.
														x					k 0 (k																				3							2
																												1) k
																												1) k										2
																																						2							x
Чтобы найти константу B, разложим функцию																																								sin					x					по степеням x:
Чтобы найти константу B, разложим функцию																																																		по степеням x:
																																														x
								1																		1													x2k 1																													2k				1
																																																																				2k
		sin x																																																																x 2
		sin x																																																																x 2
				x 2 sin x x																						2 ( 1)k																									( 1)k																						.
																																					(2k 1)!																											(2k 1)!
			x
			x																								k 0																										k 0
Таким образом, из равенства (5.22) получаем
															2k			1																																	2k						1
												x			2k																																	x			2k
																2																																								2
	B ( 1)k															2									( 1)k																															2													.
	B ( 1)k																								( 1)k																																									1			.
		k 0								(2k 1)!														k 0																																		3					2k			1
		k 0								(2k 1)!														k 0																																		3					2k
																																		(k 1) k																											2				2
																																		(k 1) k																								2			2				2
																																																										2
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, имеем равенства
										B																							1																											.
																																				3																								.
						(2k 1)!																																				k															k
						(2k 1)!																																				k															k
																					(k 1) k																	2											2 2
																					(k 1) k															2		2											2 2
						(2k 1)!																														2											(2k 1)!
Отсюда	B					(2k 1)!																																									(2k 1)!																								.			Однако,
Отсюда	B										3																																k 1														1														.			Однако,
											3								k									k																													1					k								k
		(k 1) k														2					2 2										(k 1)																														2				2 2
		(k 1) k														2					2 2										(k 1)																														2				2 2
													2																																												2
																								(k									1							1 3 5...(2k 1)(2k 1)
																												1)					1							1 3 5...(2k 1)(2k 1)																																		.
согласно формуле (5.12), имеем
согласно формуле (5.12), имеем																																	2																									2k 1
Тогда																																	2																									2k 1
Тогда				(2k 1)!2k 1
																																																				1 2 3 4 5...(2k)(2k 1)
B																																												2								1 2 3 4 5...(2k)(2k 1)


1 3 5...(2k 1)(2k 1)											2k												2 (k 1) 2k																										1 3 5...(2k 1)(2k 1) k!2k
																	2 4 6...(2k)																							2k k!
													2				2 4 6...(2k)																			2				2k k!															2				.
																						k!2k																																					.
																						k!2k													k!2k
Таким образом, в силу равенства (5.22) получаем																																													1
																					( 1)k												x					2k							1
																																																								2
																																														2										2
		J1 (x)																																																											sin x.												(5.23)
		J1 (x)																													3					2																		x							sin x.												(5.23)


	2								k 0 (k 1) k
	2								k 0 (k 1) k																						2
																															2

Аналогично

112

( 1)k

Acosx Bsin x

1 (x)

(5.24)

k 0 (k 1) k

Отсюда

при

x 0

имеем

Проинтегрировав

равенство

( 1)k

x2k 1

(5.24),

получим

Asin x Bcosx

При

x 0

2k 1

k 0 (k 1) k

получаем, что B 0. Таким образом, из равенства (5.24) имеем

( 1)k

1 (x)

cosx.

(5.25)

k 0 (k 1) k

Справедливо

(x) J (x)).

(5.26)

J (x) J 1(x) x J

(x) (или xJ 1(x) xJ

Таким образом,

(или xJ 1

(x)).

(5.27)

J (x) J 1(x) x J (x)

(x) J (x) xJ

Сложив (5.26) и (5.27), получим формулу

а вычтя,

2J (x) J 1(x) J 1(x),

будем иметь равенство J 1(x) J 1

(x) 2

J (x).

Пример. Найти общее решение уравнения x2 y xy ( 2x2

2)y 0. Введем

d2 y

замену

t x.

Тогда

имеем

dx2

dt2 .

Отсюда

из

уравнения

(5.22)

получаем

уравнение

Бесселя

t2 ytt tyt (t2

2)y 0. Это уравнение при

нецелом имеет решение

y y(x) c1J (t) c2J (t) c1J ( x) c2J ( x),

(5.28)

а при

– целом, n, – решение

y y(x) c1Jn( x) c2J n( x).

(5.29)

Используя формулу (5.27), получаем

(x)) x

(x) x

J (x) x

(x)

J (x)

x 1J (x) x

(x) x 1J (x) x

(x).

Таким образом, имеем формулу

(x J (x)) x J 1(x).

(5.30)

113

Отсюда получаем рекуррентную формулу J 1(x) x (x J (x)) .

5.3. Корни бесселевых функций. Интеграл Ломмеля. Пусть даны уравнения

x2u xu ( 2x2 2)u

x2 y xy ( 2x2

2)y 0

решениями которых,

согласно соотношению

(5.28),

являются

функции

u J ( x)

и y J ( x).

Умножив

первое

уравнение

на

второе

–

на

получим

2uy

xu y u y

xuy

xy u y u

xuy

0. Вычитая из первого

равенства второе, будем иметь равенство

)xuy ,

(5.31)

x(u y uy

) (u y uy ) (

которое можно переписать в виде

(

)xuy.

(5.32)

(x(u y

uy ))

Поскольку u

J ( x),y

J ( x), то равенство (5.32) приобретает вид

( x)J

( x)))

(

)xJ

( x)J ( x).

(5.33)

(x( J

( x) J ( x)J

В левую часть этого равенства вместо

подставим

ее значение

(5.33) и

получим

x J ( x)

J ( x)

( x)

J ( x) J

( x)

J ( x)J ( x) x J ( x)J 1( x) J ( x)J ( x) x J ( x)J 1( x)

x J ( x)J 1( x) x J ( x)J 1( x) .

Отсюда с учетом формулы (5.33) следует

xJ ( x)J

( x)

( x)J

( x) J

( x)J

( x) .

Проинтегрировав это равенство от 0 до x, будем иметь формулу

( s)J

( s)ds

( x)J

( x) J

( x)J

( x) ,

(5.34)

которая называется интегралом Ломмеля.

Корни бесселевых функций обладают интересными и важными в приложениях свойствами.

I.Все корни бесселевых функций, кроме x 0, являются простыми.

Всамом деле, допустим, что x0 – корень бесселевой функции имеет кратность

два. Тогда выполняется соотношение J (x0) J (x0) 0. Отсюда следует, что начальная задача Коши для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка при нулевых начальных условиях имеет лишь

114

нулевое решение, т.е.

J (x) 0,

что,

конечно,

неверно.

Следовательно,

функция J (x)

не может иметь кратных корней, т. е. все ее корни простые.

II. Все корни бесселевых функций – действительные числа.

Действительно, предположим, что

z i

является комплексным

корнем

функции J (x), т.е.

J (z) 0.

Так

как

функция

имеет

действительные

коэффициенты,

то и число

i тоже является корнем уравнения J (z) 0.

Положив в интеграле Ломмеля z,

будем иметь sJ (zs)J (

zs)ds

zJ (

zx)J

(zx)

(zx)J

(

zx) .

Отсюда

при

x 1

учетом

2 ds 0, что

J (z) J (

) 0 получаем равенство

sJ (zs)J (

zs)ds s

J (zs)

невозможно, так как s

J (zs)

если 0 s 1. Противоречие показывает,

что у

функции J (x)

не может быть комплексных корней.

III. Корни бесселевых функций J (x)

и J 1(x)

взаимно разделены.

Между двумя последовательными корнями функции

J (x)

находится ровно

один корень функции

J 1(x), и,

наоборот,

между двумя корнями функции

J 1(x)

находится

один корень

функции

J (x).

Действительно, используя

формулу (5.26) получим соотношение (x 1J

(x))

( 1)x J

(x) x 1J

(x)

(x),

т.е.

J 1(x))

( 1)x J

(x) x 1

(x)

(x) x 1J

J (x).

Из этого равенства и равенства (5.32) следует в силу теоремы Ролля, что между двумя последовательными корнями функции J (x) (J 1(x)) имеется корень

функции J 1(x) (J (x)).

IV. Функции J (x) и J 1(x) не имеют общих корней.

Это вытекает из равенства (5.27), так как у функции J (x) все корни простые.

5.4. Ортогональность бесселевых функций. Разложение в ортогональный ряд по бесселевым функциям. Напомним, что система функций { n(x)} называется ортогональной на отрезке [a,b] с весом p(x), если выполнено

условие p(x) i (x) j (x)dx 0,i j. Нормой функции n(x)							с весом p(x) будет
a			1
	b		1
	b			2
число \|\| n \|\| \|\| n(x)\|\|		2			Пусть i	– корни бесселевой функции
число \|\| n \|\| \|\| n(x)\|\|		p(x) n (x)dx	.		Пусть i	– корни бесселевой функции
	a
J (x). Рассмотрим систему функций
		{ J ( i	x)},i 1,2,....				(5.35)

115

Так как J ( i ) 0, то	из	интеграла Ломмеля следует	равенство
1		1
sJ ( is)J ( js)ds 0,i j,	или	xJ ( ix)J ( jx)dx 0,i j, из	которого
0		0

следует, что система бесселевых функций (5.35) ортогональна на отрезке [0,1] с

весом

p(x) x

Норма бесселевой функции

x):

J (

|| J (

ix)||

xJ ( ix)dx

x 1,

Положив

интеграле Ломмеля

получим

xJ ( x)J ( x)dx

J ( x)J 1( x) J ( x)J 1( x)

– корни уравнения J (x) 0,

. Если

2 2

то выражение справа в последнем равенстве есть неопределенность типа

Раскроем ее по правилу Лопиталя. Имеем

J ( )J 1

( ) J ( )J 1( ) J ( )J 1( )

( x)dx

lim

J ( )J 1( ),

так

как

J ( ) J ( ) 0.

Используя

последовательно

формулы

(x) J 1(x) J 1(x)

(x), получим, что

и xJ 1(x) xJ (x) J

( ))

xJ ( x)dx

limJ

( )(J 1( ) 2J

1limJ ( ) J ( ) J ( ) 2J ( ) 1limJ ( )J ( ) 1(J ( ))2.

2 2 2

Положив в равенстве i , где i – корень функции J (x), получим значение

нормы функции J ( i

x): || J ( ix)||

J ( i ),i 1,2,....

Как

выяснено

ранее, последовательность

функций

1, 2,..., n,... – корни уравнения

xJn( 1x),

xJn( 2x),...,

xJn( nx),... , где

Jn(x) 0, представляет собой ортогональную систему функций на (0,1).

Пустьтеперьдана функция f (x), определеннаяна (0,1).

Ее рядФурье–Бесселя

выписывается в виде

f (x) ak Jn( k x), где коэффициенты ak определяются

k 1

по формулам ak

x f (x)Jn( k x)dx.

(Jn

( k ))

116

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2017 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025100.91 Кб1Bilety (1).docx
#
05.08.201985.67 Кб5bilety_OAiP.docx
#
01.03.2025315.9 Кб1Bilet_FFR.doc
#
01.05.20251.27 Mб1biologicheskaya_bezopasnost.doc
#
11.05.201525.5 Кб9Blank_KP 262901 1.doc
#
11.05.20151.91 Mб173BORZENKOV_MATLAB ОДУ.pdf
#
16.03.20161.88 Mб81Builder методичка часть 1.pdf
#
16.03.20161.65 Mб38Builder методичка часть 2.pdf
#
01.05.202511.08 Mб1Bulankovoy_Ya.docx
#
11.05.2015694.66 Кб52C Practice.pdf
#
11.05.2015521.73 Кб31CALC_korrel_1.doc