Задачи для решения

Решить следующие дифференциальные системы:

§2. Линейные неоднородные системы

Системой линейных неоднородных дифференциальных уравнений называется система вида

Решением системы (2.2) называется непрерывно дифференцируемая векторфункция y t , которая при подстановке в систему обращает все уравнения в тождества.

Теорема 4 (принцип суперпозиции). Пусть в системе (2.2) неоднородность

Следствие. Разность двух решений неоднородной системы удовлетворяет однородной системе.

Если требуется найти решение системы (2.2), удовлетворяющее условию y(t0) y0 , то говорят, что для системы (2.2) поставлена задача Коши и

Из общей теоремы Коши о существовании и единственности решения нормальной системы дифференциальных уравнений получаем следующий важный результат:

81

Теорема 5. (Коши). Если функции aik (t) , i,k 1,n и вектор-функция f (t)

непрерывны на интервале T , то решение задачи Коши (2.3) существует и

единственно всюду на T .

Общими методами построения решения неоднородной системы (2.2) и задачи Коши (2.3), основанными на аппарате фундаментальной матрицы, являются метод вариации произвольных постоянных и метод Коши.

2.1. Метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных). Пусть известна фундаментальная матрица W(t) однородной системы y' A(t)y , а значит, и

общее решение однородной системы y W (t)C , где C – произвольный постоянный вектор. Решение неоднородной системы (2.2) будем искать в

где C(t) – n-вектор-функция переменной t, подлежащая определению. Подставляя искомый вид (2.4) решения в систему (2.2), получаем для

вектора уравнение W(t)C (t) f (t). Решая эту алгебраическую относительно координат вектора C (t) систему и интегрируя полученные выражения, находим вектор C(t). Подставляя C(t) в искомый вид решения (2.4), получаем некоторое частное решение неоднородной системы (2.2).

Пример 1. Рассмотрим метод Лагранжа на примере следующей неоднородной системы с постоянными коэффициентами:

вариации произвольных постоянных. Фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы образуют, например, вектор-функции

C1(t)

где C(t) – неизвестная вектор-функция, подлежащая определению.

C2 (t)

Подставляя искомый вид (2.6) в систему (2.5), получаем

82

Так как матрица W(t) есть решение матричного уравнения W AW , то в (2.7)

где C1 и C2 – произвольные постоянные.

Подставляя (2.8) в искомый вид решения (2.6), получаем общее решение неоднородной системы (2.5) в виде

т.е. в виде суммы общего решения однородной системы и частного решения

систему (2.5) к линейному уравнению второго порядка. Продифференцируем первое из уравнений (2.5):

Задачи для решения

Найти частные решения неоднородных систем методом вариации произвольных постоянных и методом сведения к уравнению второго порядка:

83

Отсюда следует, что матрица Коши K(t, ) при каждомзначениипараметра удовлетворяет по переменной t следующей дифференциальной системе:

Систему (2.12) принято называть прямой системой. Она интегрируется слева направо.

Замечание. Полученное разложение матрицы Коши K(t, ) W(t)W 1( ) является конструктивно очень важным. Подсчитав в качестве матрицы W(t) матрицант, который согласно (1.6) является решением однородной системы

W(t0 ) E,

матричную функцию K(t, ) двух переменных, как произведение матриц W(t)

и W 1( ).

2.3. Формула Коши. Поставим своей целью получение формульного представления решения задачи Коши (2.3). Для этого рассмотрим следующую функцию: y(t) y1(t) y2(t), где компоненты y1(t), y2 (t) являются решениями соответственно следующих задач Коши:

84

A(t) (y1(t) y2(t)) f (t) A(t) y f

иначальным условиям: y(t0 ) y1(t0) y2 (t0 ) y0.

t

A(t) K(t, ) f( )d A(t) ~y2(t) f(t).

t0

Очевидно, что ~y2(t0) 0.

Таким образом, функция ~y2(t) удовлетворяет тому же уравнению и тому же начальному условию, что и функция y2 (t). Поэтому в силу единственности решения задачи Коши (2.3) функции ~y2(t) и y2 (t) совпадают.

85

Выписывая представление функций ~y1(t) и ~y2(t) в выражение y(t) y1(t) y2(t), получаем формулу Коши для аналитического представления решения задачи Коши (2.3) через матрицу влияния Коши K(t,t0 ):

Пример. Рассмотрим следующую систему ОДУ в матричном виде:

решение, соответствующей однородной системе уравнений – найдем векторы ФСР.

Общее решение считается через собственные числа и соответствующие

собственный вектор x1 , соответствующий собственному значению 1. Для этого

Выписываем общее решение соответствующей однородной дифференциальной

86

%Решение по формуле Коши, исходные данные заданы в файле Input.m 1. syms t tau F1 F

2. [ n, A, X0, t0, f ] = Input();% Ввод исходных данных

%Lambda - диагональная матрица собственных значений матрицы А

%LVectors - матрица собственных векторов

3.[ LVectors, Lambda ] = eig(A);

% Используя матрицу Lambda, получаем вспомогательную диагональную

%матрицу temp для построения фундаментальной матрицы Ft

%Предусмотрен случай кратных корней характеристического полинома

4. temp = sym(GetE(n)); k = 1;

5. for i = 1 : 1 : n

6. if ((i > 1) && (Lambda(i,i) == Lambda(i-k, i-k))) 7. temp(i,i) = t^k * exp(Lambda(i,i) * t); k = k + 1; 8. else k = 1; temp(i,i) = exp(Lambda(i,i) * t);end; 9. end;

10. Ft = simplify(LVectors * temp); % Ft-фундаментальная матрица F(t) 11. disp('F(t) = '); disp(Ft);

12. F = simplify(Ft * inv(subs(Ft,t,tau)));% F-матрица Коши F(t,tau) 13. disp('F(t,tau) = '); disp(F);

%X - искомое решение системы, зависящее от t

14.X = subs(F, tau, 0) * X0 + int(F * subs(f,t,tau), tau, t0, t); % визуализация решения системы на временном отрезке [t0, t0+2]

15.disp('X = '); disp(X); disp(simplify(X));

16.t = t0 : 0.1 : t0+2; y = subs(X); colors = 'brgck';

17.for i = 1 : 1 : n

18.subplot(1,n,i); colorNumber = mod(i,5);

19.if (colorNumber == 0) colorNumber = 5; end;

20.plot(t, y(i,:),colors(colorNumber)); text = ['X', num2str(i)];

21.title(char(text)); xlabel('t');

22.end;

% файл Input.m - задание исходных данных

87