ГЛАВА 6. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Линейные однородные системы

Системой линейных однородных дифференциальных уравнений называется система следующего вида:

Решением системы (1.2) называется непрерывно дифференцируемая векторфункция y(t), которая при подстановке в систему обращает все уравнения в

произвольные постоянные, вновь является решением системы (1.2).

Если требуется найти решение системы (1.2), удовлетворяющее условию y(t0 ) y0 , то говорят, что для системы (1.2) поставлена задача Коши и

Замечание. Из общей теоремы Коши о существовании и единственности решения нормальной системы дифференциальных уравнений сразу следует, что, если элементы матрицы A(t) – функции aik (t) непрерывны на отрезке

T [t0,t*], то на нем существует единственное решение задачи Коши (1.3). Теорема Коши не только дает условия существования и единственности

единственности, т.е. задача Коши может иметь единственное решение и при невыполнении какого-либо из требований к элементам матрицы

73

координаты вектора k (t) , называется определителем Вронского, либо

вронскианом векторов 1(t),..., n(t) .

Теорема 1. Если определитель Вронского решений y1(x), , yn(x) системы

(1.2) тождественно равен нулю на интервале T , тогда эти решения линейно зависимы на T . Если определитель Вронского решений y1(x), , yn(x)

уравнения (1.2) не равен нулю ни в одной точке интервала T , тогда эти решения линейно независимы на T .

Замечание. Если 1(t),..., n(t) – произвольные векторы, то из равенства нулю их определителя Вронского, вообще говоря, не следует их линейная

Несмотря на это, определитель Вронского рассматриваемых векторов имеет нулевую строку и поэтому тождественно равен нулю. Предположив, что эти векторы являются решениями некоторой системы второго порядка. Получаем противоречие с результатом теоремы.

Часто бывает полезен другой критерий линейной независимости

74

Определение. Матрица W(t), столбцами которой являются координаты векторов, образующих фундаментальную систему решений, называется фундаментальной матрицей системы (1.2).

Определитель матрицы W(t) – это определитель Вронского системы n линейно независимых решений системы (1.2). Определитель не равен нулю,

одноименный столбец матрицы W(t) . Уравнение (1.4) называется матричным уравнением, сопоставленным векторному уравнению (1.2).

Очевидно, что фундаментальная матрица W(t) есть решение матричного уравнения (1.4).

Теорема 3. Линейная однородная система всегда имеет фундаментальную систему решений, а значит, и фундаментальную матрицу. По заданной системе n линейно независимых векторов y1(t),...,yn (t) можно найти единственную систему (1.2), для которой эти векторы образуют фундаментальную систему решений.

Замечание. Множество решений линейной однородной дифференциальной системы образует линейное пространство функций. Любая фундаментальная система решений является базисом этого пространства. Существует бесконечно

75

много фундаментальных систем решений однородной системы, переходящих одна в другую с помощью невырожденного линейного преобразования.

Общее решение линейной однородной системы (1.2) будет иметь вид

вектор. Правую часть (1.5) удобно представлять как скалярное произведение строки (y1(t),...,yn(t)) векторов, столбцы координат которых образуют матрицу

W t , на столбец C : y(t) C1y1(t) Cn yn (t). Получается линейная комбинация векторов фундаментальной системы, коэффициентами которой служат координаты вектора C . По аналогии строилось общее решение линейного однородного уравнения n-го порядка.

1.2. Матрицант. Матрица Коши. Пусть фундаментальная матрица W(t)

удовлетворяет условию W (t0 ) E , т.е. векторы фундаментальной системы имеют единичную матрицу начальных значений. Тогда фундаментальная матрица W (t) называется матрицантом системы (1.2). Матрицант – аналог нормальной фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения n-го порядка. Матрицант, очевидно, является решением следующей однородной дифференциальной системы:

зависящая от двух аргументов t и t0 , также является матрицантом системы

(1.2). Действительно, матрица K(t,t0 ) удовлетворяет следующей системе:

Поскольку K'(t,t0) (W(t) W 1(t0))' W'(t)W 1(t0) A(t)W(t)W 1(t0) A(t)K(t,t0) и

при t t0 , выполнено начальное условие K (t0 ,t0 ) W(t0 )W 1(t0 ) E.

Принято также другое название матрицы, определяемой формулой (1.7), – матрица Коши системы (1.2).

Замечание. Матрица Коши K(t,t0 ) определяется по формуле (1.7)

единственным образом, несмотря на то, что матрица W (t) – произвольная фундаментальная матрица. Это следует из того, что матричное уравнение (1.2) с единичной матрицей начальных значений имеет единственное решение.

76

Если известна матрица Коши, то решение однородной задачи Коши

y' A(t)y , y(t0 ) y0 имеет следующий вид: y K(t,t0 )y0 . Справедливо и обратное. Если для произвольного вектора начальных значений y0 решение однородной задачи Коши y' A(t)y , y(t0 ) y0 может быть записано в форме

y K(t,t0 )y0 , то входящая в нее матрица является матрицей Коши. Замечание. Полученное представление является аналогом формулы, выражающей решение задачи Коши для линейного однородного уравнения n-го порядка через нормальную фундаментальную систему решений.

Поясним физический смысл матрицы Коши. Для этого рассмотрим следующую однородную дифференциальную систему:

составленную из векторов Ki(t, ) как из столбцов, где i принимает значения от 1 до n.

Функция K(t, ) однозначно определена для любого значения аргумента t. Эта функция абсолютно непрерывна и удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений:

времени t однородной системы (1.9), которую возмутили в момент времени t0

единичным вектором y0 ei . Поэтому функции Коши часто называют еще функциями точечного источника (функциями Грина).

1.3. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами.

Построение ФСР линейной однородной системы с постоянными коэффициентами сводится к решению характеристического уравнения для матрицы системы и построению соответствующих собственных векторов.

77

найдем векторы ФСР. Общее решение считается через собственные числа и соответствующие им векторы матрицы A. Получаем: A x x ; Ax Ex 0;

Выписываем общее решение однородной дифференциальной системы в виде

78

характеристического уравнения кратностью m, то этому корню соответствует

79

подставляем в нашу систему дифференциальных уравнений. После сокращения на e4t получаем два тождества

a1 4(a1t a2 ) 5(a1t a2 ) (b1t b2 ); b1 4(b1t b2 ) a1t a2 3(b1t b2 ).

Замечание. Систему можно решить методом исключения. Действительно,

80