физика
.pdfИмпульс материальной точки
|
|
|
|
|
|
|
p m . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Импульс системы n материальных точек |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
P pi |
mi i . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Закон изменения импульса системы материальных точек: |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dP |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Fiвнеш . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если Fi |
внеш 0 , то выполняется закон сохранения импульса системы |
|||||||||||||||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
материальных точек: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Pi mi i const . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Элементарная работа силы F на бесконечно малом перемещении dr |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
A (F,dr ) |
F |
|
dr |
cos , |
|
||||||||||||
где – угол между направлением силы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
F |
и направлением перемещения dr . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Работа силы |
F на участке траектории 1 – 2: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
A12 A |
( F ,dr ) |
|
Fx dx Fy dy Fz dz , |
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
||||
где dr dxi dyj |
dzk – бесконечно малое перемещение точки. |
|
||||||||||||||||||
Мощность силы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
N A |
|
(F, dr ) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
(F, ) |
F |
|
|
cos , |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где – угол между направлением силы F |
и направлением скорости . |
|
||||||||||||||||||
Закон изменения полной механической энергии системы материальных |
||||||||||||||||||||
точек: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E E E Aвнутр |
Aвнеш , |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
нкс |
|
|
|
нкс |
|
||||||
где Aнксвнутр |
– работа всех внутренних неконсервативных сил; Aнксвнеш – работа |
|||||||||||||||||||
всех внешних неконсервативных сил, действующих на систему. |
|
|||||||||||||||||||
Если Aвнеш Авнутр 0 , то выполняется закон сохранения полной |
меха- |
|||||||||||||||||||
|
нкс |
|
нкс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нической энергии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
E T Uвз +Uвнеш = const , |
|
||||||||||||||||
где E – |
полная |
механическая энергия |
системы |
материальных точек; |
T – |
суммарная кинетическая энергия системы; U вз – потенциальная энергия взаимодействия системы материальных точек между собой; Uвнеш – потенциальная энергия точек системы во внешнем силовом поле.
11
Момент инерции тела относительно некоторой оси
I R2dV ,
(V )
где – плотность тела; dV – элементарный объем; R – расстояние от dV до выбранной оси.
Момент инерции сплошного однородного диска (цилиндра) относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости:
I mR2 , 2
где m – масса диска; R – радиус диска (цилиндра).
Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через центр шара:
I 25 mR2 ,
где m – масса шара; R – радиус шара.
Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через центр стержня перпендикулярно к нему:
I ml 2 , 12
где m – масса стержня; l – длина стержня.
Модуль момента силы M r , F равен
M rFsin lF ,
где r – модуль радиуса-вектора точки приложения силы; F – модуль силы;– угол между направлением силы и направлением радиуса-вектора точки; l r sin – плечо силы.
Модуль момента импульса L r , p равен
L rpsin lp ,
где p – импульс тела; l r sin – плечо импульса.
Основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси вращения z :
N
I z Mizвнеш , i 1
где I – момент инерции тела; z – проекция углового ускорения тела на ось z ;
N
Mizвнеш – сумма моментов всех внешних сил, действующих на тело, относи-
i 1
тельно оси z .
N
Если M izвнеш 0, то выполняется закон сохранения момента импульса
i 1
тела относительно оси z :
12
|
Lz Iωz |
const , |
|||
где z |
– проекция угловой скорости тела на ось z ; I – момент инерции тела от- |
||||
носительно оси z . |
|
|
|
||
Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении |
|||||
|
T |
m c2 |
|
Ic 2 |
, |
|
|
|
|||
где c |
2 |
2 |
|
||
– скорость центра масс твердого тела; Ic – момент инерции твердого те- |
ла относительно оси, проходящей через его центр масс.
1.2. Механические колебания
Кинематический закон гармонических колебаний материальной точки: x(t) Acos( 0t 0 ) ,
где x – смещение точки от положения равновесия; A – амплитуда колебаний; ( 0t 0 ) – фаза колебаний; 0 – начальная фаза колебаний.
Квазиупругая сила
Fx kx .
Собственная циклическая частота гармонических колебаний под действием квазиупругой силы
0 mk ,
где k – коэффициент квазиупругой силы; m – масса колеблющейся точки. Период гармонических колебаний
T2 .0
Частота колебаний
T1 .
Скорость точки при гармонических колебаниях
x x A 0 sin( 0t 0 ) A 0 cos( 0t 0 2 ) .
Ускорение точки при гармонических колебаниях
ax x x A 02 cos( 0t 0 ) A 02 cos( 0t 0 ) .
Полная механическая энергия материальной точки при гармонических колебаниях
E E |
E |
|
m |
2 |
|
kx2 |
|
x |
|
|
, |
||||
|
|
|
|||||
k |
n |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
где Ek – кинетическая энергия точки; En |
– потенциальная энергия точки. |
Период малых колебаний математического маятника
13
T 2 gl ,
где l – длина математического маятника; g – ускорение свободного падения.
1.3. Молекулярная физика и термодинамика
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов:
p 13 nm0 кв2 23 n пост ,
где p – давление газа; n – концентрация молекул; m0 – масса одной молекулы;
кв – среднеквадратичная скорость молекул газа; |
пост |
|
m |
кв |
2 |
|
||||||||
0 |
|
– средняя |
||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы. |
|
|
||||||||||||
Среднеквадратичная скорость молекулы газа |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кв |
3kT |
|
|
3RT |
|
, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
m0 |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
где k 1,38 10 23 ДжК – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура;
R 8,3 |
Дж |
– универсальная газовая постоянная; M – молярная масса газа. |
моль К |
Средняя кинетическая энергия жесткой молекулы газа, имеющей i степеней свободы,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
iвр |
|
||
|
k |
|
|
пост |
|
|
вр |
|
|
kT |
пост |
kT |
|
kT , |
|
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где i – число степеней свободы жесткой молекулы; iпост – число поступательных степеней свободы; iвр – число вращательных степеней свободы.
Для одноатомной молекулы
i iпост 3
Для двухатомной жесткой молекулы
i iпост iвр 3 2 5.
Для трехатомной жесткой молекулы
i iпост iвр 3 3 6.
Кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа массой m
|
N |
|
|
Nm |
2 |
|
m |
2 |
|
E |
пост |
0 кв |
|
|
кв |
. |
|||
|
|
|
|
||||||
пост |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Внутренняя энергия идеального газа массой m
U Mm 2i RT 2i RT 2i kN AT 2i pV ,
14
где |
m |
|
N |
– число молей газа (количество вещества); N – число молекул, |
||
M |
N A |
|||||
|
|
|
|
|||
содержащихся в газе массой m ; NA 6,02 1023 |
моль 1 – число Авагадро. |
Уравнение состояния идеального газа:
pV Mm RT ,
где p – давление; V – объем; T – температура газа.
Работа сил давления газа при изменении его объема:
V2
A12 pdV ,
V1
где V1 – начальный объем газа; V2 – конечный объем газа; p – давление газа.
Первое начало термодинамики:
Q U A,
где Q – количество теплоты, полученное системой (газом); U – изменение внутренней энергии системы; А – работа, совершенная силами давления системы.
Молярная теплоемкость газа при V = const:
CV 2i R .
Молярная теплоемкость газа при p = const:
C i 2 R .
p 2
Уравнение Майера:
Cp СV R .
Уравнение адиабатического процесса:
pV const ,
где Cp i 2 – показатель адиабаты.
CV i
Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины:
|
A |
|
Q1 Q2 |
1 |
|
|
Q2 |
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Q1 |
|
Q1 |
|
Q1 |
|
|
|
где А – работа, совершенная газом за цикл A 0 ; Q1 – количество теплоты,
полученное рабочим веществом (газом, паром) тепловой машины от нагревателя Q1 0 ; Q2 – количество теплоты, переданное рабочим веществом холо-
дильнику (окружающей среде) Q2 0 .
Коэффициент полезного действия (КПД) цикла Карно:
Q1 Q2 T1 T2 ,
Q2 T1
где T1 – температура нагревателя; T2 – температура холодильника.
15
1.4. Примеры решения задач
Пример 1.1. Радиус-вектор точки A относительно начала координат меняется по закону r t ti bt2 j , где , b – постоянные, i , j – орты осей x и y . Найти: а) уравнение траектории точки y x ; изобразить ее гра-
фик; б) зависимость от времени вектора , ускорения a и модулей этих величин; в) зависимость от времени угла между векторами a и .
Дано:
r t ti bt2 j
, const 0
y x ?, t ?, a t ? , t ? ,
a t ?, t ?
Решение. В задаче задан закон движения материальной точки
|
r t ti bt2 j , |
(1) |
||
где t x t ; |
bt2 y t . Найдем t из |
x t , |
||
t x . Подставим его в y t bt2 , получим |
|
|||
|
y x |
b |
x2 . |
(2) |
|
|
|||
|
|
2 |
|
Это есть уравнение параболы.
y
a
y
A x
x
Рис.1.1
Нарисуем ее график. Точка A движется по параболе. Вектор скорости точки A направлен по касательной к траектории. Разложим его на составляющие x
и y :
|
|
|
|
xi |
y j . |
|
|
|
|
||||
Найдем |
t |
|
и |
t , |
используя |
||||||||
уравнение (1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
dr t |
|
dx |
i |
dy |
j |
|
i |
|
j |
|
||
|
|
|
x |
y |
(3) |
||||||||
|
dt |
dt |
dt |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 2btj,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t x2 |
2y |
|
|
2 |
4b2t2 . |
(4) |
|||||||
Найдем |
a t и a t , используя уравнение (3): |
|
||||||||||||
|
a t |
d t |
|
d x |
i |
d y |
j 2bj . |
(5) |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
dt |
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
||||
|
|
|
a |
t 2b . |
|
|
(6) |
|||||||
Как видно из (5), a t направлено по оси y . Из рис. 1.1 видно, что угол |
||||||||||||||
между и |
a можно найти через x |
и y : |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
tg |
|
|
|
. |
|
|
|
(7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
y |
2bt |
|
|
|
|
|
16
Отсюда t arctg 2bt .
Ответ: y x b2 x2 ; t i 2btj ; t 2 4b2t2 ;
a t 2bj ; |
a t 2b ; |
t arctg |
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
2bt |
||
Пример 1.2. Частица движется в положительном направлении оси |
X |
так, что ее скорость меняется по закону x , где – положительная постоянная. В момент времени t 0 частица находится в точке x 0 . Найти: а) зависимость от времени скорости и ускорения частицы; б) среднюю скорость частицы за время, в течение которого она пройдет первые s метров пути.
Дано:
x , s
При t 0 x 0
const 0
t ? , a t ?,
?
Решение. Модуль скорости частицы, движущейся вдоль оси x, есть первая производная от координаты по времени:
|
dx |
. |
(1) |
|
|||
|
dt |
|
По условию задачи скорость частицы меняется по закону
|
|
|
|
x . |
(2) |
Приравняем (1) и (2), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x . |
|
(3) |
|||||||||||
|
|
|
dt |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Разделим переменные в (3) и, проинтегрировав |
|
||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dx |
|
dt, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
получим 2 x = t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x t |
2t2 . |
(4) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
Скорость частицы как функцию t |
найдем по формуле (2): |
|
|||||||||||||||
|
|
t |
2t |
. |
(5) |
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ускорение частицы есть первая производная от скорости по времени и |
|||||||||||||||||
с учетом (5): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
a(t) |
d (t) |
|
|
2 . |
(6) |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
2 |
|
17
Как видно из (6), a const .
Средняя скорость частицы определяется по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t)dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||||||||||||
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нашей задачи t 0 , а |
t |
2 |
|
|
|
это время, |
за которое частица пройдет |
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
первые s метров пути. Определим это время из (4): t |
|
4x |
|
, заменив в фор- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
муле x s , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
4s |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
С учетом (5) |
найдем среднюю скорость частицы |
: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
2t |
|
|
|
|
|
1 2t2 |
|
2t |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
t |
2 |
|
t |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или с учетом (8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4s |
|
|
s |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Ответ: |
(t) |
2t |
; a(t) 2 ; |
|
s . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||
Пример 1.3. |
Колесо |
радиусом |
|
|
|
R 0,1 |
|
м |
вращается |
по |
закону |
|||||||||||||||||||||||
t a bt ct 3, |
где b 3 |
рад/с и c 2 рад/с 3 . Для точек, лежащих на обо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
де колеса, найти через 3 с |
после |
|
начала |
|
движения |
|
следующие |
величины: |
1) угловую скорость, 2) угловое ускорение, 3) линейную скорость, 4) тангенциальное ускорение, 5) нормальное ускорение.
Дано:
R 0,1 м
t a bt ct 3
b3 рад/с
c2 рад/с 3
t3 с
t0 0 с
? , ? t ? , a t ? , an t ?
Решение. Задан кинематический закон движения любой точки на ободе колеса (угловой путь, проходимый точкой за время t ):
t a bt ct 3. |
(1) |
Угловая скорость вращения колеса есть первая производная от углового пути по времени:
(t) |
d (t) |
b 3ct 2 . |
(2) |
|
dt |
||||
|
|
|
18
Угловое ускорение колеса есть первая производная от угловой скорости по времени:
t |
d t |
6ct . |
(3) |
|
dt |
||||
|
|
|
Связь между линейной скоростью точек, лежащих на ободе колеса, и угловой скоростью колеса определяется формулой
ωR R(b 3ct2 ). |
(4) |
Тангенциальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса:
a |
d |
R |
d |
|
R 6Rct . |
(5) |
|
dt |
dt |
||||||
|
|
|
|
Нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса:
|
2 |
R 2 (b 3ct 2 )2 |
|
|
an |
|
|
R(b 3ct 2 )2 . |
(6) |
|
||||
|
R |
R |
|
Мы нашли все искомые величины как функции времени. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо в уравнения (2) – (6) подставить t 3 c:
t |
|
t 3 c |
b 3c 32 (3 3 2 9) |
рад |
|
57 |
|
рад |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
c |
|
|
c |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
t |
|
t 3 c |
6c 3 6 2 3 |
рад |
|
36 |
рад |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t |
|
t |
3 c |
|
R b 3c 32 0,1 57 5,7 |
|
м |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a |
|
|
t |
|
t 3 c |
6Rct 6 0,1 2 3 3,6 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
an t |
|
t |
3 c |
|
R b 3ct 2 2 0,1 57 2 324,9 |
|
м |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
рад |
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответ: 57 |
|
|
|
|
рад |
; 36 |
; 5, 7 |
|
; a |
3,6 |
|
|
м |
; a |
324,9 |
м |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
с |
22 |
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
n |
|
c2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 1.4. Частица движется вдоль оси |
x |
по закону x(t) t2 bt3 , |
где и b – положительные постоянные. В момент t 0 сила, действующая на частицу, равна F0 . Найти значение силы Fx в точке поворота и в момент, когда частица опять окажется в точке x 0 .
19
Дано:
x(t) t2 bt3
, b const
при t 0 , Fx F0
Fx x 0 ?
Fx x 0 ?
Решение. Запишем уравнение движения (2-й закон Ньютона) для частицы, движущейся вдоль оси x :
|
|
|
max Fx . |
|
(1) |
|
Проекция скорости на ось x |
частицы есть |
|||||
первая производная от координаты |
x |
по времени, |
||||
найдем ее, используя условие задачи |
|
|
||||
|
|
|
dx t |
2 t 3bt2 |
. |
(2) |
x |
|
|||||
|
|
dt |
|
|
||
|
|
|
|
|
Проекция ускорения на ось x частицы есть первая
производная от проекции |
скорости на ось |
x по |
|||||||
времени: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
d |
x |
|
d 2 x |
2 6bt . |
(3) |
|
x |
dt |
dt2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
Подставим ax из (3) в уравнение (1): |
|
||||||||
m 2 6bt Fx . |
|
|
|
|
(4) |
В уравнении (4) неизвестна масса частицы m , найдем ее из начальных условий. Известно, что в начальный момент при t 0 Fx F0 , подставим
это условие в (4), получим
m2 F0 ,
откуда
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
F0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
(5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставив (5) в (4), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
F |
|
F0 |
2 6bt . |
|
(6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В точке поворота частицы ее скорость x 0 . Положим в (2) x 0 , получим |
|||||||||||||||||||
0 2 t |
3bt2 , где |
t – время, когда частица окажется в точке поворота. По- |
|||||||||||||||||
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скольку t1 0 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
2 |
. |
|
|
|
(7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3b |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставим (7) в (6) и найдем значение силы Fx в точке поворота: |
|||||||||||||||||||
|
F |
|
|
F0 |
2 6bt |
|
F0 |
|
2 6b |
2 |
|
F0 |
2 F . |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1x |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3b |
|
Теперь найдем время t2 , когда частица опять окажется в точке |
x 0 . |
||||
Для этого в законе движения x(t) t2 bt3 |
приравняем x t |
0, получим |
|||
|
|
|
2 |
|
|
0 t2 |
bt3 , или t |
. |
|
(8) |
|
2 |
2 |
2 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
20