физика
.pdf3.3. Примеры решения задач
Пример 3.1. В опыте Юнга два когерентных источника S1 и S2 (две
параллельных узких щели в непрозрачном экране) испускают свет с длиной волны 600 нм. На каком расстоянии x от нулевого максимума располагается максимум первого порядка, если расстояние между источниками d 0,7 мм , а расстояние от каждого источника до экрана l 1,5 м .
Дано:
6 10 7 м k 1
d 0,7 10 3 м
l1,5 м x ?
C S1
r1
Решение. Рассмотрим прямоугольные треугольники
S1MC и S2 MC (рис. 3.1):
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
d 2 |
|
|||
|
|
r1 |
l |
|
|
|
x |
|
|
|
, |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
d 2 |
|
|||||
|
|
r1 |
l |
|
|
|
x |
|
|
. |
(2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
S2 |
Вычтем (1) из (2): |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
r2 |
r2 2xd или |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
(r2 r1)(r2 r1) 2xd . |
(3) |
|||||||
|
Интерференционная картина |
||||||||||||
|
l |
|
|||||||||||
|
будет |
четкой, |
|
|
если расстояние |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
S1S2 d |
|
|
между источниками неве- |
x |
|
M |
|
d 2 |
d 2 |
Экран |
|
лико по сравнению с расстоянием |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
их от экрана |
MC l , т. |
е. когда |
|||||||
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
d « l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
k 1 |
k 0 |
|
|
|
|
|
|
r1 r2 2l , и |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае |
||||||||||||
|
|
|
|
|
Рис. 3.1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
2xd |
|
|
r |
xd |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поэтому r |
|
или |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
2l |
|
|
l |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x rl . |
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно условию интерференционного максимума |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r k , |
k 0, 1, 2,... |
|
|
|
|
(5) |
|||||||
|
|
|
Тогда положение k -го интерференционного максимума, т. е. (4) с уче- |
||||||||||||||||||
|
том (5), определяется формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
k l |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведем вычисления для k 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 6 10 7 1,5 |
|
м 1,285 10 3 м . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,7 10 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: x1 1,285 10 3 м .
81
Пример 3.2. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается
монохроматических светом с длиной волны 7 10 7 м . Найти разностьr между радиусами светлых колец с порядковыми номерами k1 5 и k2 6 .
Радиус кривизны линзы R 5 м . Наблюдение ведется в отраженном свете.
Дано: |
Решение. Радиусы светлых колец Ньютона с поряд- |
||||
7 10 7 м |
ковыми номерами k1 и k2 в отраженном свете опре- |
||||
k1 5 |
деляются условиями |
|
|
||
k2 6 |
r5 (2k1 1)R / 2 , |
||||
R 5 м |
|
|
|
|
|
r6 (2k2 1)R / 2 . |
|||||
|
|||||
r ? |
|||||
Тогда разность r между 5-м и 6-м светлыми |
|||||
|
|||||
|
кольцами равна разности радиусов этих колец: |
r r6 r5 (2k2 1)R / 2 (2k1 1)R / 2 R / 2((2k2 1) (2k1 1)) .
Произведем вычисления:
|
|
5 7 10 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1,75 10 8 ( |
11 9) 0,42 10 3 м. |
||||||||||
r |
|
|
( 2 6 1 |
2 5 1) |
||||||||||||
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: r 0,42 10 3м. |
Пример 3.3. Точечный источник света с длиной волны 0,5 мкм расположен на расстоянии a 100 cм перед диафрагмой с круглым отверстием радиусом r0 1 мм . Найти расстояние b от диафрагмы до точки наблюдения P , для которой число зон Френеля в отверстии составляет m 3 . Светлое или темное пятно будет в точке наблюдения на экране?
Дано: |
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,5 мкм = 5 10 7 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 100 cм = 1 м |
|
S |
r0 |
|
|
P |
|
|
|
|
|
||
r0 1 мм = 10-3м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
m 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
||||
b ? |
|
|
||||
|
|
|
Экран |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Рис. 3.2 |
Сферическая волна от источника S доходит до отверстия радиусом r0 .
В задаче сказано, что число зон Френеля, укладывающиеся в отверстие, равно m 3. На экране будет наблюдаться система чередующихся темных и светлых колец с общим центром в точке P , лежащих напротив центра отвер-
82
стия. Если в отверстие укладывается четное число зон Френеля, то в точке P будет темное пятно, если в отверстие укладывается нечетное число зон Френеля, то в точке будет светлое пятно. В нашей задаче m 3, следовательно, в центре будет светлое пятно.
Формула, связывающая радиус отверстия r0 |
с a, b, и m : |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
abm |
. |
|
|
(1) |
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
a b |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Из (1) найдем b : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
(a |
b) abm ; |
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2a abm r2b b(am r2 ) , |
||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
||||
|
|
|
b |
0 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
am r0 |
|
|||||
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
10 3 1 |
м = 2 м. |
|||||||
1 3 5 10 7 10 6 |
|
|||||||||
|
Ответ: b 2 м, в центре будет светлое пятно. |
Пример 3.4. Каков период решетки d , если при нормальном падении на нее света с длиной волны 0,75 мкм на экране, отстоящем от решетки на
расстоянии L 1 м , максимумы первого порядка отстоят друг от друга на x 30,3 см ? Каково число штрихов N на l 1 см решетки? Какое количество максимумов дает эта дифракционная решетка? Каков максимальный уголmax , определяющий положение последнего дифракционного максимума?
Дано:
0,75 мкм =7,5 10 7 м
L 1 м
k1
x30,3 см 30,3 10 2 м
l1 см 10 2 м
d? , N ? , m ?,
max ?
Решение. Условие максимума на дифракционной решетке:
d sin k , |
(1) |
где k 1, так как в условии говорится о максимумах первого порядка, – угол, под которым наблюдается максимум первого порядка.
Так как по условию x во много раз мень-
2
ше L , то sin tg .
Из рис. 3.3 следует, что
tg |
x |
. |
(2) |
|
|||
|
2L |
|
83
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
k 2 k 1 |
|
|
Экран |
k 0 |
k 1 |
k 2 |
|
|
x |
|
|
|
Рис. 3.3 |
|
|
фракционных максимумов |
|
d |
|
|
|
|
2 L |
. |
(3) |
sin |
tg |
|
|||||
|
|
|
x |
|
Зная d , можно найти, сколько периодов (а значит, и сколько штрихов) укладывается на длине l решетки, т. е.
N |
l |
. |
(4) |
|
|||
|
d |
|
|
Для определения |
по- |
рядка последнего максимума
надо учесть, |
что |
|
sin |
|
1. |
|
|
||||
Наибольший |
порядок ди- |
d |
|
||
kmax |
|
|
, |
|
|||
|
|
|
где квадратные скобки обозначают целую часть числа.
Общее число максимумов, даваемых дифракционной решеткой,
m 2kmax 1.
Тогда (6) с учетом (5):
m 2 d 1.
(5)
(6)
(7)
(Такой результат получается, если учесть центральный максимум и то, что слева и справа от него расположены по kmax максимумов).
Максимальный угол max , соответствующий последнему дифракционному максимуму, определяется из соотношения
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
k |
max |
|
|
||
|
|
|
|
sin max |
|
|
max |
|
, max arcsin |
|
|
. |
(8) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
d |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
d |
2 7,5 10 7 |
1 |
м |
4,95 10 6 м |
4,95 10 4 cм ; |
|
|||||||||||||
|
0,303 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
1 |
м 1 |
|
2,02 105 |
м 1 |
2,02 103 cм 1 . |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
l |
4,95 10 6 |
|
||||||||||||||||
Из (5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,95 10 6 |
6,6 6 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
kmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7,5 10 7 |
|
|
|
|
|
|
|
Из (6)
m 2 6 1 13.
84
Произведем вычисления:
|
6 7,5 10 7 |
|
|
|
max arcsin |
|
|
65 . |
|
4,95 10 6 |
||||
|
|
|
Ответ: d 4,95 10 6 см ; N 2,02 103 см 1 ; m 13; max 65o .
Пример 3.5. Естественный свет падает на систему из двух последовательно расположенных одинаковых поляризаторов. Плоскость пропускания
второго поляризатора составляет угол 30o с плоскостью пропускания первого. Коэффициент поглощения каждого составляет 20 %. Во сколько раз
уменьшится интенсивность света после прохождения этой системы?
Дано: |
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
||
30o |
Ie |
|
|
|
|
I |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
20 % 0,2 |
|
|
|
|
0 |
I |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ie |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
Рис.3.4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Интенсивность естественного света Ie , прошедшего через первый по- |
||||||||
ляризатор, будет определяться по формуле |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
I |
0 |
kI |
e |
|
cos2 , |
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где – угол между колебаниями вектора E в естественной световой волне и |
плоскостью пропускания поляризатора. Для естественного света все значе-
ния равновероятны, поэтому |
cos2 |
1 |
, тогда |
|
|||
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I0 |
|
Ie |
|
k , |
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
(1 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
где k – коэффициент пропускания поляризатора. Нам задан коэффициент поглощения , значит,
|
|
I |
0 |
|
Ie |
(1 ) . |
|
|
|
|
(2) |
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из второго поляризатора по закону Малюса выйдет свет интенсивно- |
|||||||||||||
стью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I kI |
0 |
cos2 (1 )I |
0 |
cos2 |
|
Ie |
(1 )2 cos2 |
, |
(3) |
||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
здесь – угол между плоскостями пропускания первого и второго поляризаторов. Отсюда
85
|
|
|
|
|
Ie |
|
2 |
|
|
|
. |
(4) |
|
|
|
|
|
I |
(1 )2 cos2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ie |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
8 |
|
4,2 раза . |
|
|
|
0,2)2 cos2 30o |
|
|
|
||||||
|
I |
(1 |
1,92 |
|
Ответ: в 4,2 раза.
Пример 3.6. Свет переходит из жидкости в стекло с абсолютным показателем преломления n2 1,5 . Отраженный от стекла луч образует угол 94o с падающим лучом. Определить абсолютный показатель преломления жидкости n1 , если отраженный свет полностью поляризован.
Дано:
94o n2 1,5
n1 ?
Решение. Согласно закону Брюстера свет, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относительному показателю преломления второй среды относительно первой:
.n1 ....Бр ...Жидкость..
n2 |
Стекло |
Рис. 3.5
Произведем вычисления:
1,5 n1 tg47o
|
|
|
tg |
Бр |
|
n2 |
n . |
|
(1) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
21 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как угол отражения ра- |
||||||||||||
|
вен углу падения, то Бр |
|
и, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
tg 2 |
|
|
|
, откуда |
|
|
||||||
|
n1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
n |
n2 |
. |
|
|
(2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
tg |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1,5 |
1,4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1,0724 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: n1 nжид 1, 4 .
Пример 3.7. Излучение Солнца по своему спектральному составу близко к излучению абсолютно черного тела, для которого максимум испускательной способности приходится на длину волны 0,48 мкм. Найти массу, теряемую Солнцем ежесекундно за счет этого излучения. Оценить время, за
86
которое масса |
Солнца уменьшится на |
|
|
1 %. Масса |
Солнца |
|||||||||
M |
C |
1,97 1030 |
кг |
, радиус Солнца r |
6,59 108 |
м . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
|
Решение. Согласно формуле Эйнштейна |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
max |
4,8 10 7 |
м |
|
|
E mc2 , |
(1) |
|||||||
|
|
|
|
где E – |
энергия, |
|
излучаемая Солнцем (для |
|||||||
r |
|
6,59 108 м |
|
|
|
|||||||||
C |
|
|
|
|
нашего случая) за какое-то время; m – масса, те- |
|||||||||
MC 1,97 1030 кг |
|
|||||||||||||
|
ряемая Солнцем за счет излучения за то же вре- |
|||||||||||||
b = 2,9 10-3 м К |
|
|
мя. Тогда, теряемая масса за время t |
|
||||||||||
σ = 5,67 10-8 Вт/(м2 |
К4 ) |
|
|
|
|
m |
|
E |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
t |
c2t |
. |
(2) |
|||
|
|
? , t1% ? |
|
|
|
|
|
|||||||
m |
|
|
С другой стороны, энергию излучения АЧТ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
можно представить, как |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
E t , |
|
|
|
|
|
|
(3) |
где – поток лучистой энергии, испускаемый АЧТ (в нашем случае Солнцем) во все стороны.
Тогда формула (2) с учетом (3) запишется так:
|
|
|
|
|
|
c2 . |
|
|
|||
m |
|
(4) |
|||
Представим поток лучистой энергии как |
|
|
|||
RS R4 r2 |
, |
(5) |
|||
|
|
c |
|
|
|
где R – энергетическая светимость; S – площадь поверхности излучаемого тела. |
|||||
Так как излучение Солнца близко по своему составу |
к излучению |
||||
АЧТ, то R R* . |
|
|
|
|
|
По закону Стефана – Больцмана энергетическая светимость АЧТ равна
|
|
R* T 4 , |
|
|
(6) |
|||||
где – постоянная Стефана – Больцмана; T – абсолютная температура тела. |
||||||||||
Тогда (4) с учетом (5) и (6): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R* 4 r2 |
|
|
T 4 4 r2 |
|
|
|||
|
|
c |
|
|
|
|
c |
. |
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m |
c2 |
|
|
|
|
c2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Температуру T можно найти из закона смещения Вина: |
|
|||||||||
|
|
T |
|
b |
|
, |
|
|
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
max |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где b – постоянная Вина; max – длина волны, соответствующая максимуму
испускательной способности АЧТ. Тогда (7) с учетом (8):
m |
b4 |
4 r |
2 |
. |
|
|
|
c |
|||
|
|
|
|
||
|
4 |
|
c2 |
|
|
|
max |
|
|
|
87
Произведем вычисления:
m 5,67 10 8 (2,9 10 3)4 4 3,14 (6,95 108 )2 кг c 5 109 кг c . (4,8 10 7 )4 9 1016
Найдем массу 1 % от массы Солнца m1% 100M 1,97 1028 кг . Тогда время, за которое Солнце потеряет 1 % своей массы, можно найти, разделив массу 1 % Солнца на массу m (массу, теряемую Солнцем за 1 с излучения):
|
m |
|
1,97 |
1028 |
|
4 1018 c 1,27 1011 |
|
|||||
t |
1% |
|
|
|
|
|
|
c |
лет . |
|||
|
|
|
|
9 |
|
|||||||
1% |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
5 |
9 |
кг c ; t1% |
18 |
11 |
|||
|
Ответ: m |
|
10 |
4 10 c |
1,27 10 лет . |
Пример 3.8. На цинковую пластину падает монохроматический пучок света. Фототок прекращается при задерживающем напряжении между като-
дом и анодом U3 1,5 B. Определить длину волны |
|
света, падающего на |
|||||||||||||
пластину, и максимальную скорость max фотоэлектронов. |
|
||||||||||||||
Дано: |
|
|
|
Решение. Из формулы Эйнштейна для фотоэффекта |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
U3 1,5 B |
|
|
|
|
|
h A |
|
m 2 |
|
||||||
h 6,62 10 34 |
|
|
|
|
|
e max |
, |
(1) |
|||||||
Дж с |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
вых |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
c 3 108 м / с |
|
|
т. к. |
c |
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AZn 4 эВ 6,4 10 19 Дж |
|
|
|
|
|
|
m 2 |
|
|||||||
me 9,1 10 |
31 |
кг |
|
|
|
c |
A |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
h |
|
|
e max |
. |
(2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
e 1,6 10 19 Кл |
|
|
|
|
вых |
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
? , max ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Электроны вылетают из катода с различными скоростями. Приложив к электродам задерживающее напряжение U 3 , при котором фототок станет
равным нулю, можно определить максимальное значение скорости фотоэлектронов по формуле
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
max |
eU |
3 |
. |
(3) |
||
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из (3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
max |
|
|
2eU3 |
. |
(4) |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
|
me |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведем вычисления:
88
|
|
|
|
2 1,6 10 19 |
1,5 |
|
м c |
|
4,8 |
10 19 |
|
м c = |
|
4,8 |
10 19 |
|
м c |
|
max |
9,1 |
10 31 |
|
9,1 |
10 31 |
|
9,1 |
10 31 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,527 1012 мc 0,726 106 мc.
Сучетом (3) перепишем (2): hc Aвых eU3 , откуда
|
|
|
|
|
|
hc |
|
. |
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
A |
eU |
3 |
||||
|
|
|
|
|
вых |
|
|
|
|
|
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6,62 10 34 |
3 108 |
м |
19,86 10 26 |
м |
2,25 10 7 м . |
||||
6,4 10 19 |
2,4 10 19 |
|
8,8 10 19 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Ответ: max 7,26 105 мc , 2,25 10 7 м .
Пример 3.9. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода и соответствую-
щее эффективное rýô |
расстояние его от ядра. |
|
|
|
|
|
|
||||
Дано: |
|
|
Решение. В модели Бора полная энергия электрона в |
||||||||
|
|
||||||||||
m, e, |
|
|
атоме водорода |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
E |
m 2 |
|
ke2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(1) |
|||
rэф ?, |
Emin ? |
|
|
|
2 |
r |
|||||
|
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|
ke2 |
||
|
|
|
где |
|
– кинетическая энергия электрона; |
|
– |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
r |
потенциальная энергия электрона в поле неподвижного ядра, состоящего из протона.
Соотношение неопределенностей для нашего случая
|
r p . |
|
|
|
(2) |
|||||
Поскольку p ~ p и r ~ r , подставим p и r |
в (2). Получим rp . |
|||||||||
Импульс нерелятивистской частицы |
|
p m . Тогда rm и, следова- |
||||||||
тельно, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
. |
|
|
|
(3) |
|||
mr |
|
|
|
|||||||
Подставим (3) в формулу кинетической энергии: |
|
|
||||||||
|
m 2 |
|
m 2 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
2 |
2m2r2 |
2mr2 |
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
Подставим (4) в (1): |
|
|
|
|
|
|
|
89
E
Исследуем функцию f r
гумента r найдем из условия |
df |
||||||
|
|
||||||
ý |
|
|
|
|
dr |
||
|
|
|
|
|
|
||
Поскольку |
d 2 f |
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|||||
dr2 |
|
|
mr4 |
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
r rэ |
|
|
э |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ke2 |
f r . |
(5) |
|
2mr2 |
r |
||||
|
|
|
на экстремум. Экстремальное значение ар-
0 .
r rэ
|
2ke2 |
|
3m3k 4e8 |
0 , то |
f r |
f |
|
, |
|
|
min |
||||||
|
r3 |
3 |
|
э |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ke2 |
|
0, |
|
|
ke2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
df |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
dr |
|
r r |
|
mrэ3 |
|
|
rэ2 |
|
|
|
|
|
|
|
rэ2 |
|
|
|
|
|
|
mrэ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rэ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mke2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставим (6) в (5), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
fmin |
|
|
2 |
|
|
ke2 |
|
|
mk 2e2 |
. |
|
|
|
|
(7) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2mrэ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rэ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Поскольку |
соотношение (5) |
должно |
выполняться |
|
|
для |
всех r , то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
E fmin . Следовательно, Emin fmin , а эффективный радиус rэф rэ . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: r |
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
E |
|
|
|
mk 2e2 |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эф |
|
|
|
mke2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 3.10. Электрон разогнали из состояния покоя в электрическом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поле при напряжении U 100 B. Чему равна длина волны де Бройля Б |
это- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
го электрона? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
|
Решение. Длина волны де Бройля определяется ра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 0 |
|
|
венством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
U 100 B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
h |
|
|
|
|
h |
|
, |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||||||
m 9,1 10 31 кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
p |
me |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
e |
|
|
где – скорость электрона, разогнанного электри- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e 1,6 10 19 Кл |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
h 6,62 10 34 Дж с |
|
ческим полем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Кинетическая энергия такого электрона |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Á ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
me |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eк |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку работа сил электростатического поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A eU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
90