Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TR_Kuvnecov.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

1.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4339 40 41 42 43 > Следующая >>>

X. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Теоретические вопросы

1.Линейное пространство. Базис. Координаты.

2.Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

3.Линейный оператор. Матрица оператора.

4.Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.

5.Действия над линейными операторами.

6.Собственные векторы и собственные значения.

7.Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского.

8.Сопряженные и самосопряженные операторы. Их матрицы.

9.Ортогональное преобразование; свойства; матрица.

10.Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду помощью ортогонального преобразования.

Теоретические упражнения

1. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L пространства R3

если L задано уравнением x1 − 2x2 + x3 = 0.

2. Доказать, что все симметрические матрицы третьего порядка образуют линейно подпространство всех квадратных матриц третьего порядка. Найти базис и размерност этого подпространства.

3.	Найти координаты многочлена			P	(x) = a		+ a x + a x2		+ a x3	в базис
				3		0	1	2	3
1, (x -1), (x -1)2 , (x -1)3 .
4.	Линейный оператор A в базисе (e1,			e2 ,		e3 ) имеет матрицу
	ì-1		0		1	ü
	ï	2	1			ï
	í	2	1	-2ý
	ï	1	1		2	ï
	î	1	1		2	þ
Найти матрицу этого же оператора в базисе			(e1,		e1 + e2 ,		e1 + e2 + e3 ).

5. Найти ядро и область значений оператора дифференцирования в пространстве многочленов, степени которых меньше или равны трем.

244

α × a .

α × a.

6. Пусть x и y — собственные векторы оператора A, относящиеся к различным собственным значениям. Доказать, что вектор z = αx + β y, α ¹ 0, β ¹ 0 не является собственным вектором оператора A.

7. Пусть x = { x1, x2 , x3} , Ax = {α1x1, α2 x2 , α3x3} . Будет ли оператор A самосопряженным?

8. Доказать, что если матрица оператора A — симметрическая в некотором базисе, то она является симметрической в любом базисе (базисы — ортонормированные).

Расчетные задания Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором

определены сумма любых двух элементов a и b и произведение любого элемента a на любое число α ?

1.1. Множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых – целы числа;

сумма a + b, произведение

1.2. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;

сумма a + b, произведение

1.3. Множество всех векторов на плоскости, каждый из которых лежит на одной из

осей;

сумма a + b, произведение

1.4. Множество всех векторов трехмерного пространства;

сумма a + b, произведение

1.5. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;

сумма a + b, произведение

1.6. Множество всех векторов, являющихся линейными комбинациями векторов x ,

y , z ;

сумма a + b, произведение α × a.

1.7. Множество всех функций a = f (t), b = g (t), принимающих положительные значения;

сумма f (t )× g (t ), произведение f α (t ).

245

1.8. Множество всех непрерывных функций a = f (t), b = g (t), заданных на

[0, 1];

сумма f (t ) + g (t ), произведение α × f (t).
1.9. Множество всех четных функций a = f (t), b = g (t), заданных на [-1,										+1];
сумма f (t ) × g (t ) , произведение				f α (t ) .
1.10. Множество всех нечетных функций a = f (t), b = g (t), заданных на
[-1, +1];
сумма f (t ) + g (t ), произведение α × f (t).
1.11. Множество всех линейных функций a = f (x1,						x2 ) , b = g (x1,			x2 ) ;
сумма f (x1,	x2 ) + g (x1,		x2 ), произведение α × f (x1, x2 ) .
1.12. Множество всех многочленов третьей степени от переменной x ;
сумма a + b, произведение α × a.
1.13. Множество всех многочленов степени, меньшей или равной трем от
переменных x , y ;
сумма a + b, произведение α × a.
1.14. Множество всех упорядоченных наборов из n чисел
a = { x1,		x2 ,	...,	xn} ,	b = { y1,	y2 ,	...,	yn} ;
сумма{ x1 + y1, x2 + y2 ,			..., xn + yn} , произведение {α x1,					α x2 , ...,		α xn} .
1.15. Множество всех упорядоченных наборов из n чисел
a = { x1,		x2 ,	...,	xn} ,	b = { y1,	y2 ,	...,	yn} ;
сумма{ x1 y1,	x2 y2 ,	...,	xn yn}	, произведение {α x1,			α x2 ,	...,	α xn} .