II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Теоретические вопросы
1.Понятие производной. Производная функции xn .
2.Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к график функции.
3.Понятие дифференцируемости функции и дифференциала. Услови дифференцируемости. Связь дифференциала с производной.
4.Геометрический смысл дифференциала.
5.Непрерывность дифференцируемой функции.
6.Дифференцирование постоянной и суммы, произведения и частного.
7.Производная сложной функции.
8.Инвариантность формы дифференциала.
9.Производная обратной функции.
10.Производные обратных тригонометрических функций.
11.Гиперболические функции, их производные.
12.Производные высших порядков, формула Лейбница.
13.Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность дифференциалов порядк выше первого.
14.Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Теоретические упражнения
1.Исходя из определения производной, доказать, что
a.а) производная периодической дифференцируемой функции есть функци периодическая;
b.б) производная четной дифференцируемой функции есть функция нечетная;
c.в) производная нечетной дифференцируемой функции есть функция четная.
2. Доказать, что если функция f (x) дифференцируема в точке x = 0 и f (0) = 0, т
f ′(0) = lim f (x) .
x→0 x
3. Доказать, что производная f ′(0) не существует, если
29
4. |
f (x) = íìxsin (1 x), x ¹ 0, |
||
|
î0, |
x = 0. |
|
5. Доказать, что производная от функции |
|
|
|
|
ì |
2 |
sin(1 x), x ¹ 0, |
6. |
ïx |
|
|
f (x) = í |
|
x = 0. |
|
|
ï0, |
||
|
î |
|
|
7.разрывна в точке x = 0.
8.Доказать приближенную формулу
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» a + z (2a), a > 0, |
|
z |
|
|
|
|||
|
|
|
|
a. |
a2 + z |
a. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9. |
Что можно сказать о дифференцируемости суммы |
f (x) + g (x) в точке x = x0 если |
||||||||||||||||
в этой точке: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
а) функция f (x) дифференцируема, а функция g (x) не дифференцируема; |
|||||||||||||||||
11. |
б) обе функции |
f (x) |
и g (x) не дифференцируемы. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12. |
Пусть функция |
f (x) |
дифференцируема в точке |
x0 |
и f (x0 ) ¹ 0 , а функция g (x) |
|||||||||||||
не дифференцируема в этой точке. Доказать, что произведение |
f (x)g (x) является |
|||||||||||||||||
недифференцируемым в точке x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
13. |
Что можно сказать о дифференцируемости |
произведения f (x)g (x) в |
||||||||||||||||
предположениях задачи? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a. |
Рассмотреть примеры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
b. а) f (x) = x, g (x) = |
|
x |
|
, x0 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
c. |
f (x) = x, g (x) = |
ìsin(1 x), x ¹ 0, |
x |
= 0; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
í |
|
|
x = 0, |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
î0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
d. б) f (x) = x , g (x) = x , x0 = 0;
e.f (x) = x , g (x) = x +1, x0 = 0.
14.Найти f ′(0), если f (x) = x(x +1)...(x +1234567).
30
15. |
Выразить дифференциал d3 y от сложной функции y éu(x)ù |
через производные о |
||
|
|
ë |
û |
|
функции y(u) и дифференциалы от функции u(x) . |
|
|
||
16. |
Пусть y(x) и |
x( y) дважды дифференцируемые взаимно обратные функции |
||
Выразить x′′ через y′ |
и y′′. |
|
|
|
Расчетные задания
Задача 1. Исходя из определения производной, найти f ′(0) .
ì |
æ |
|
3 |
|
2 |
|
2 |
ö |
|
ïtgç x |
|
+ x |
|
sin |
|
÷ |
, x ¹ 0; |
||
|
|
x |
|||||||
1.1. f (x) = í |
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
ï |
|
x |
= 0. |
|
|
|
|
||
î0, |
|
|
|
|
|
||||
ì |
æ |
2 |
cos |
ïarcsinç x |
|
||
1.2. f (x) = í |
è |
|
|
ï |
x = 0. |
|
|
î0, |
|
||
1 ö |
+ |
2 |
x, x ¹ 0; |
|
|
÷ |
|
||
|
3 |
|||
9x ø |
|
|
||
ì |
æ |
1 ö |
|
|
ïarctgç xcos |
|
÷ |
, x ¹ 0; |
|
|
||||
1.3. f (x) = í |
è |
5x ø |
|
|
ï |
x = 0. |
|
|
|
î0, |
|
|
|
|
ì |
æ |
3 |
ö |
|
|
ïsin ç xsin |
|
÷ |
, |
||
x |
|||||
1.5. f (x) = í |
è |
ø |
|
||
ï |
x = 0. |
|
|
||
î0, |
|
|
|||
ì |
æ |
|
æ |
3 |
|
1 |
öö |
|
ïlnç1 |
- sin |
ç x |
|
sin |
|
÷÷ |
, x ¹ 0; |
|
|
x |
|||||||
1.4. f (x) = í |
è |
|
è |
|
|
øø |
|
|
ï |
x = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
î0, |
|
|
|
|
|
|
||
x ¹ 0;
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
+ x |
2 |
|
1 |
ö |
-1, x ¹ 0; |
|
ï 1+ln |
ç1 |
|
sin |
|
÷ |
||||
|
x |
||||||||
1.6. f (x) = í |
|
è |
|
|
|
ø |
|
||
ï |
|
x = 0. |
|
|
|
|
|
||
î0, |
|
|
|
|
|
||||
ìsin |
5 |
|
|
|
æex2 sin |
|
-1ö |
+ x, x ¹ 0; |
|
x |
||||
ï |
ç |
|
÷ |
|
1.7. f (x) = í |
è |
|
ø |
|
ï |
x = 0. |
|
|
|
î0, |
|
|
||
31
ì |
æ |
3 |
|
ïarctgç x3 - x |
2 |
sin |
|
1.9. f (x) = í |
è |
|
|
ï |
x = 0. |
|
|
î0, |
|
|
|
|
|
ì |
2 |
|
4 |
|
x2 |
|
|
|
1.8. f (x) = íïx |
|
cos |
|
+ |
|
, x ¹ 0; |
|
|
|
3x |
2 |
||||
|
|
ï |
|
x = 0. |
|
|
||
|
|
î0, |
|
|
||||
1 |
ö |
, x ¹ 0; |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3x ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
5 |
|
|
1.10. f (x) = íïsin x ×cos |
|
, x ¹ 0; |
|
x |
|||
ï |
x = 0. |
|
|
î0, |
|
||
ì |
æ |
2 |
sin |
ïx + arcsin |
ç x |
|
|
1.11. f (x) = í |
è |
|
|
ï |
|
|
|
î0, x = 0. |
|
|
|
6 |
ö |
, x ¹ 0; |
|
|
÷ |
||
x |
|||
ø |
|
ì |
|
( |
) |
|
1.12. f (x) = íïtg(2 |
x2 cos 1 8x |
|
-1+ x), x ¹ 0; |
|
|
|
|||
ï |
x = 0. |
|
|
|
î0, |
|
|
||
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
1.13. f (x) = íïarctgx ×sin |
|
, |
x ¹ 0; |
||||||||||
x |
|||||||||||||
ï |
|
x = 0. |
|
|
|
|
|
||||||
î0, |
|
|
|
|
|
||||||||
ì |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
||
1.15. f (x) = íïx2 cos2 |
|
|
|
, |
|
x ¹ 0; |
|||||||
|
|
x |
|
||||||||||
ï |
|
x = 0. |
|
|
|
|
|
||||||
î0, |
|
|
|
|
|
||||||||
ìlncos x |
|
, |
|
x |
¹ 0; |
||||||||
1.17. f (x) = íï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
||||||||
ï |
|
x = 0. |
|
|
|
|
|
||||||
î0, |
|
|
|
|
|
||||||||
ìex2 |
- cos x |
, |
x ¹ 0; |
||||||||||
ï |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
1.19. f (x) = í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ï |
|
x = 0. |
|
|
|
|
|
||||||
î0, |
|
|
|
|
|
||||||||
ì x2 sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ï |
|
|
|
|
-1+ 2x, |
x ¹ 0; |
|||||||
1.21. f (x) = í3 |
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ï0, |
x = 0. |
|
|
|
|
|
|||||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1.14. f (x) = íï2x2 |
+ x2 cos |
|
|
, |
x ¹ 0; |
|||
9x |
||||||||
ï |
x = 0. |
|
|
|
|
|
||
î0, |
|
|
|
|
|
|||
ì |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1.16. f (x) = íï2x2 |
+ x2 cos |
|
, |
|
x ¹ 0; |
|||
x |
|
|||||||
ï |
x = 0. |
|
|
|
|
|
||
î0, |
|
|
|
|
|
|||
ì |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1.18. f (x) = íï6x + xsin |
|
, |
|
x |
¹ 0; |
|||
x |
|
|||||||
ï |
x = 0. |
|
|
|
|
|
||
î0, |
|
|
|
|
|
|||
ì xsin |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
ï |
x |
-1, x |
¹ 0; |
|||||
1.20. f (x) = íe |
|
|||||||
ï0, |
x = 0. |
|
|
|
|
|
||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
32
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
+ 3x |
2 |
|
2 |
ö |
-1, x ¹ 0; |
|
ï 1+ln |
ç1 |
|
cos |
|
÷ |
||||
|
x |
||||||||
1.22. f (x) = í |
|
è |
|
|
|
ø |
|
||
ï |
|
x = 0. |
|
|
|
|
|
||
î0, |
|
|
|
|
|
||||
ì xsin |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ï |
-1, |
x ¹ 0; |
|
|
1.24. |
||||||
1.23. f (x) = íe |
|
|
|
|
|||||||
ï0, |
x = 0. |
|
|
|
|
|
|
||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
æ |
|
3x |
- x |
2 |
|
1 |
ö |
, x ¹ 0; |
||
ïarctgç |
|
|
|
|
sin |
|
÷ |
||||
2 |
|
|
x |
||||||||
1.25. f (x) = í |
è |
|
|
|
|
ø |
|
||||
ï |
x = 0. |
|
|
|
|
|
|
||||
î0, |
|
|
|
|
|
|
|||||
ì |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- 2x3 sin |
5 |
|
-1+ x, x ¹ 0; |
|||
ï3 |
|
||||||
x |
|||||||
1.27. f (x) = í |
|
|
|
|
|
||
ï |
|
|
x = 0. |
|
|
|
|
î0, |
|
|
|
||||
ì |
2tgx - 2sin x |
, x ¹ 0; |
|
f (x) = íï |
|
x2 |
|
ï |
|
x = 0. |
|
î0, |
|
||
ì |
|
æ 3 |
|
2 |
ö |
|
ï |
sinç x2 sin |
|
÷ |
|
||
|
|
|||||
|
ç |
|
x |
÷ |
|
|
|
ç |
|
÷ |
-1+ x2 , x ¹ 0; |
||
1.26. f (x) = íe |
|
è |
|
|
ø |
|
ï |
|
x |
= 0. |
|
||
î0, |
|
|||||
ì |
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
1.28. f (x) = íïx2e |
|
|
|
sin |
|
, x ¹ 0; |
|
|
|
x2 |
|||
ï |
|
x = 0. |
|
|||
î0, |
|
|
||||
ìln(1+ 2x2 + x3 ) |
|
||
ï |
|
|
, x ¹ 0; |
|
x |
||
1.29. f (x) = í |
|
||
ï |
|
x = 0. |
|
î0, |
|
||
ìcos x - cos3x |
, x ¹ 0; |
||
1.30. f (x) = íï |
|
|
|
|
x |
||
ï |
|
x = 0. |
|
î0, |
|
||
ì1- cos |
æ xsin |
|
ï |
|
ç |
1.31. f (x) = í |
|
è |
ï |
x = 0. |
|
î0, |
||
1 |
ö |
, x ¹ 0; |
|
|
÷ |
||
x |
|||
ø |
|
33