Примечание. *) - в квадратные скобки заключена необязательная часть конструкции.

5.2.2. Вещественные типы

Значениями вещественных типов являются числа с плавающей точкой (ПТ), представленные в виде мантиссы и порядка.

Например,

0,125 = 0,125 100 = 1,25 10−1 = 125 10−3 = 0,00125 102 .

В общем случае числа с ПТ представляются неточно, операции над ними выполняются по правилам действий над приближенными числами.

Поэтому множества значений вещественных типов в Паскале не обладают свойством упорядоченности (перенумерованности).

Вещественные константы.

Вещественные константы в программе могут быть записаны в форме числа с ФТ или числа с ПТ.

В форме с ФТ запись константы состоит из целой и дробной частей, разделенных точкой. Знак необязателен.

Примеры записи вещественных чисел в форме с ФТ:

0.25−2.48 +31.0

Наличие точки в вещественной константе обязательно.

112

В форме с ПТ константа задается в виде десятичной мантиссы m и десятичного порядка p с необязательными знаками, между которыми помещается символ E (или e):

mEp или mep

Мантисса m представляется целой или вещественной константой с ФТ. Порядок – целое десятичное число, определяющее истинное положение запятой в константе:

m 10 p .

Примеры записи вещественных констант в форме с ПТ иллюстрирует таблица 5.7.

Таблица 5.7 – Запись вещественных чисел

Вещественные типы и их представление в компьютере.

Существует пять вещественных типов для представления переменных:

•Real (вещественный);

•Single (с одинарной точностью);

•Double (с двойной точностью);

•Extended (с повышенной (расширенной) точностью);

•Comp (сложный тип).

Тип Extended еще называется временным, т.к. при вычислениях в сопроцессоре математических операций все остальные типы преобразуются к нему.

Данные типы различаются диапазоном и точностью представления связанных с ними значений (таблица 5.8).

113

Таблица 5.8 – Диапазоны и точности представления вещественных данных

Примечание. *) – включая скрытый (неявный) бит F0 (старший бит мантиссы, который при передачах чисел и хранении их в памяти отсутствует, т.к. его значение в нормализованных числах равно 1 – для всех чисел, кроме числа нуль). В значениях типа Extended F0 хранится явно.

Нормализованным числом называется число, мантисса которого попадает в диапазон

( 1 / q ) ≤ m < 1 ,

где q – основание системы счисления. Для 2СС

( 1 / 2 ) ≤ m < 1,

то есть нормализованная мантисса представляет собой правильную дробь с единицей в старшем двоичном разряде. Например, нормализованные мантиссы могут принимать значения

Представление вещественных чисел в памяти компьютера иллюстрирует рисунок 5.9.

114

Рисунок 5.9 − Представление вещественных чисел в памяти компьютера

Значение числа равно

mдв 2 p .

Здесь mдв – значение двоичного кода мантиссы, р – значение двоичного кода порядка.

В различных микропроцессорах поля мантиссы и порядка могут меняться местами. Однако для дальнейшего изложения материала это не имеет значения.

Вещественные типы различаются разрядностью поля мантиссы (nm) и поля порядка (np).

Мантисса, независимо от знака, хранится в прямом двоичном коде. Порядок хранится в виде характеристики – это двоичный код порядка, представленный с избытком (смещением):

2n p −1 − 1.

Например, для типа Single смещение равно 127, для типа Double – 1023,

для типа Extended – 16383.

Характеристика определяется выражением:

Характеристика = порядок + смещение.

Таким образом, формат вещественного числа в битах (занимаемая им область памяти) определяется выражением:

Sn + np + nm .

115

Пример 5.6.

Представление числа Х = –0,375 типа Single в памяти машины.

X = −0,37510 = −0.0112 .

Представление числа Х в виде мантиссы и порядка:

X = −0.011 20 .

Таким образом, m = –0.011, p = 0.

Порядок представляется в виде характеристики: 0 + 127 = 127. Представление числа Х в виде мантиссы и характеристики:

X = −0.011 2127 .

После нормализации мантиссы:

X = −0.11 2126 .

Таким образом, с учетом представления характеристики в двоичном коде, а так же скрытого бита мантиссы число –0,375 типа Single в памяти машины будет представлено так, как иллюстрирует рисунок 5.10.

Формат (4 байта)

Рисунок 5.10 – Внутреннее представление числа −0,375

Пятый вещественный тип – сложный тип Comp по существу является не вещественным типом с ПТ, а длинным целым типом двойной точности. В памяти машины он занимает формат 8 байт (64 бита) и обеспечивает диапазон представления чисел

− 263 ÷ 263 − 1 ≈ −9,2 1018 ÷ 9,2 1018 ≈ ±1019 .

116

Тип Comp отнесен к вещественным типам по следующим соображениям. Использование вещественных типов Single, Double, Extended, Comp (т.е.

всех типов, кроме Real) возможно только при наличии сопроцессора при включенной опции компилятора {$N+} (сопроцессор математических вычислений; глобальная опция) или при включенной опции {$E+} (полная программная эмуляция работы сопроцессора в случае его отсутствия; локальная опция). Последний режим очень медленный, поэтому его использование без необходимости нежелательно.

По умолчанию установлены состояния {$N–} и {$E–}.

Если сопроцессор отсутствует, все вычисления с вещественными числами выполняются программно. Поэтому из-за соображений скорости допускаются только действия над переменными типа Real.

Объявление переменных вещественных типов.

Переменные вещественных типов объявляются в разделе описаний переменных программы.

Например,

Var

a, b, c: real; d, e: single;

Операции над вещественными данными.

Для значений вещественных типов определены следующие операции.

1)Арифметические операции:

а) одноместные

+(сохранение знака);

–(изменение знака); б) двухместные

+(сложение);

– (вычитание);

*(умножение); / (деление).

Все арифметические операции дают тип результата Real (при отсутствии сопроцессора), Extended (при наличии сопроцессора).

2)Операции сравнения:

=(равно);

<> (не равно); >= (больше или равно);

>(больше);

117