15.5.2. Основные алгоритмы работы с бинарным деревом
В общем случае при работе с такими структурами необходимо уметь:
– построить (создать) дерево;
– вставить новый элемент;
– обойти все элементы дерева, например, для просмотра или выполнения некоторой операции;
– выполнить поиск элемента с указанным значением в узле;
– удалить заданный элемент.
Обычно бинарное дерево строится сразу упорядоченным, т.е. узел левого сына имеет значение меньшее, чем значение родителя, а узел правого сына – большее.
15.5.3. Формирование дерева
Например, имеется последовательность ключей 17, 18, 6, 5, 9, 23, 12, 7, 8, тогда построенное по ним дерево будет выглядеть следующим образом:
15.5.4. Вставка нового элемента
Для того чтобы вставить новый элемент в дерево, необходимо найти для него место. Для этого, начиная с корня, сравниваем значения узлов (Tree->info)со значением нового элемента (b). Еслиb < info, то идем по левой ветви, в противном случае – по правой ветви. Когда дойдем до узла, из которого не выходит нужная ветвь для дальнейшего поиска, это означает, что место под новый элемент найдено.
Путь поиска места в построенном дереве для числа 11:
Функция создания дерева, ключами которого являются целые положительные числа, может иметь следующий вид:
Tree*Make(Tree*Root) {
Tree*Prev, *t; //Prevродитель (предыдущий) текущего элемента
intb,find;
if(Root==NULL) { // Если дерево не создано
printf("\n Input Root : ");
scanf(“%d”, &b);
Root=List(b); // Установили указатель на корень
}
//================ Добавление элементов =================
while(1) {
printf("\nInputInfo: ");scanf(“%d”, &b);
if(b<0)break; // Признак выхода число < 0
t=Root; // Текущий указатель на корень
find = 0; // Признак поиска
while ( t && ! find) {
Prev = t;
if(b==t->info)
find= 1; // Ключи должны быть уникальны
else
if ( b < t -> info ) t = t -> Left;
else t = t -> Right;
}
if (!find) { // Нашли место с адресом Prev
t=List(b); // Создаем новый узел
if(b<Prev->info) // и присоединяем его, либо
Prev->Left=t; // на левую ветвь,
elsePrev->Right=t; // либо на правую ветвь
}
} // Конец цикла
returnRoot;
}
Функция List предназначена для создания нового элемента – листа:
Tree* List(int i) {
Tree *t = (Tree*) malloc (sizeof(Tree));
t -> info = i;
t -> Left = t -> Right = NULL;
returnt;
}
Участок кода с обращением к функции Createбудет иметь следующий вид:
struct Tree { // Декларация шаблона
int info;
Tree *Left, *Right;
};
void main()
{
Tree *Root = NULL; // Указатель корня
Root = Make(Root);
15.5.5. Удаление узла
При удалении узла из дерева возможны три ситуации в зависимости от того, сколько сыновей (потомков) имеет удаляемый узел.
1. Удаляемый узел является листом – просто удаляем ссылку на него. Приведем пример схемы удаления листа с ключомkey:
2. Удаляемый узел имеет только одного потомка, т.е. из удаляемого узла выходит ровно одна ветвь. Пример схемы удаления узлаkey, имеющего одного сына:
3. Удаление узла, имеющего двух сыновей, значительно сложнее рассмотренных выше. Еслиkey– удаляемый узел, то его следует заменить узломw, который содержит либо наибольший ключ (самый правый, у которого указательRightравенNULL) в левом поддереве, либо наименьший ключ (самый левый, у которого указательLeftравенNULL) в правом поддереве.
Используя первое условие, находим узел w, который является самым правым узлом поддереваkey, у него имеется только левый сын:
В построенном ранее дереве удалим узел key (6). Используем второе условие, т.е. ищем самый левый узел в правом поддереве – это узел w (указательLeftравенNULL):
Функция удаления узла по заданному ключу key может иметь вид
Tree* Del(Tree *Root, int key) {
Tree *Del, *Prev_Del, *R, *Prev_R;
// Del,Prev_Del–удаляемый элемент и его предыдущий (родитель);
// R,Prev_R–элемент, на который заменяется удаленный, и его родитель;
Del = Root;
Prev_Del = NULL;
// ===== Поиск удаляемого элемента и его родителя по ключу key=====
while (Del != NULL && Del -> info != key) {
Prev_Del = Del;
if (Del->info > key) Del = Del->Left;
else Del = Del->Right;
}
if (Del == NULL) { // Элемент не найден
puts("\n NO Key!");
return Root;
}
// ============ Поиск элемента Rдля замены =================
if (Del -> Right == NULL) R = Del->Left;
else
if (Del -> Left == NULL) R = Del->Right;
else{
// Ищем самый правый узел в левом поддереве
Prev_R = Del;
R = Del->Left;
while (R->Right != NULL) {
Prev_R = R;
R=R->Right;
}
// Нашли элемент для замены Rи его родителяPrev_R
if( Prev_R == Del)
R->Right = Del->Right;
else {
R->Right = Del->Right;
Prev_R->Right = R->Left;
R->Left = Prev_R;
}
}
if (Del== Root) Root = R; // Удаляя корень, заменяем его на R
else
// Поддерево Rприсоединяем к родителю удаляемого узла
if (Del->info < Prev_Del->info) Prev_Del->Left = R; // на левую ветвь
else Prev_Del->Right = R; // на правую ветвь
printf("\n Delete element %d \n", Del->info);
free(Del);
returnRoot;
}
Участок программы с обращением к данной функции будет иметь вид
printf("\n Input Del Info : ");
scanf(“%d”, &key);
Root = Del(Root, key);