GED / semestr5 / 20140120083045

При конструировании схем к их топологическому чертежу предъявляются требования получения плоского изображения схем.

Граф G=(X, U) называется плоским, если он расположен на плоскости таким образом, что ребра имеют общие точки лишь в вершинах. Граф, изоморфный плоскому расположенный на плоскости и имеющий пересечения ребер, называется планарным.

Область плоскости, ограниченная ребрами плоского графа внутри которой нет ни вершин, ни ребер, называется гранью.

х5

а б Рисунок 30. Планарный граф (а) и изоморфный ему плоский граф (б)

Ребра грани образуют простой цикл. Плоский граф имеет всегда одну бесконечную грань, не ограниченную ребрами. Существует формула Эйлера, позволяющая установить связь между числом вершин и числом ребер плоского графа:

n – m + f = 2 , где f – число граней плоского графа.

Определить планарность можно с помощью различных критериев. Пусть задан граф G=(X, U). Подразбиением ребра uk = (xi, xj) называ-

ют замену его двумя ребрами uр1 = (xi, xр) и uр2 = (xр, xj) с введением новой вершины xр . Два графа называют гомеоморфными, если они обладают изоморфными подразбиениями.

Теорема (Понтрягина-Куратовского). Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных полному графу К5 и полному двудольному графу К3,3.

Граф планарен тогда и только тогда, когда планарны все его связные компоненты.

Распространенная методика определения планарности заключается в нахождении в графе G максимального цикла С, лучше Гамильтонова и размещение его на плоскости в виде замкнутой самопересекающейся кривой. Далее в оставшейся части определяют пересекающиеся по ребрам пути и предпринимают попытки разместить каждый из путей либо внутри С, либо полностью вне С. если таким образом размещается весь граф, следовательно, он планарен, в противном случае – не планарен.

Заметим, что если граф связный и плоский, то и двойственный ему граф Gs также будет плоским и связным.

Так как rij ¹rji, то матрица не симметрична относительно главной диа-

Из матрицы R(D) (рис.31) видно, что суммы элементов по строкам равны полустепеням исхода вершин D, а сумма элементов по столбцам – полустепеням захода.

Элементы матрицы инциденций принимают значения 0, +1, -1. Элемент равен нулю, если вершина не инцидентна дуге, -1, если дуга ориентирована от вершины, +1, если дуга ориентирована к вершине.

Для графа D на рис.31 матрица инциденций имеет вид:

Маршрутом графа D считается чередующаяся последовательность вершин и дуг (х0, u1, x1, u2,…,u n, xn) в котором каждая дуга uj есть кортеж uj = <xi, xj>. Маршрут, в котором все вершины различны, называется путем. Замкнутый маршрут, у которого все вершины различны, за исключением первой и последней, называется контуром.

Если существует путь из вершины xi в вершину xj, то говорят, что xj достижима из xi. Граф D называют сильносвязным, если любые две его вершины взаимнодостижимы.

Граф G, полученный из графа D заменой каждой дуги ui = <xk, xj> на соответствующее ребро ui = (xk, xj), т.е. устранением стрелок, называется

основанием D.

Два орграфа называются изоморфными, если можно установить изоморфизм между их основаниями при сохранении порядка стрелок на каждой дуге.

Неорграф G называется ориентируемым, если каждое его ребро можно ориентировать так, что полученный граф будет сильно связным. Такой процесс называется заданием ориентации графа G. Очевидно, что произвольный эйлеров граф может быть ориентируемым, так как достаточно пройти по любой эйлеровой цепи, ориентируя ребра в направлении движения.

Граф D называется эйлеровым, если в нем существует замкнутая цепь, содержащая каждую его дугу. Необходимым условием существования эйлерова орграфа является его сильная связность. Связный граф D = (X, U) является эйлеровым, когда xi Х(ς+(xi) = ς-(xi)).

Орграф называется гамильтоновым, если в нем существует контур, содержащий каждую вершину орграфа.

Теорема. Пусть D – сильно связный граф. Если для "xiÎХ(V+(xi) ³ n/2 n V-(xi) ³ n/2), то D – гамильтонов граф.

Метод Мальгранжа разбиения графа D на максимально связные подграфы.

Определим прямое и обратное транзитивные замыкания. Прямым транзитивным замыканием Г+хi называют подмножество вершин X’ÍX,

в которые можно попасть из вершины хi по некоторому пути. Здесь Г+2хi= Г+{Г+хi}, Г+3хi= Г+{Г+{Г+хi }},… Обратным транзитивным замыка-

нием называют подмножество вершин, из которых можно попасть в хi по некоторому пути. Обозначается Г-хi.

х1

х2 х3

х7 х4

х6 х5

Рисунок 32. Разложение графа на максимально связные графы Определим обратное и прямое транзитивное замыкание для вершины

х7.

Г+х7 = {x7,x4,x6}, Г+2x7 = Г+{Г+x7} = Г+{x7,x4,x6} = {x7,x4,x6,x2,x5}, Г+3x7 = Г+{Г+2x7} = {x7,x6,x4,x5,x1,x2,x3};

Г-x7 = {x7, x2}; Г-2x7 = {x7,x2,x4}.

Г+x7={x7}È Г+x7 ÈГ+2x7 ÈГ+3x7={x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7} Г-x7={x7} ÈГ-x7 ÈГ-2x7 = {x2, x4, x7}

Основная идея алгоритма заключается в следующем. Выбирается произвольная вершина xiÎX графа D и для нее определяется Г+xi, Г-xi и С(xi) = Г+ xi ÇГ-; далее выбирается вершина xjÏC(xi), и процесс продолжается аналогично, пока возможно.

В результате работы алгоритма получим разбиение графа (рис.32) на три части (указаны пунктиром).

Сети Петри

Сеть Петри в графическом представлении является двудольным ориентированным мультиграфом.

Математически сеть Петри основывается на понятии комплекта. Комплект, как и множество, это набор элементов из некоторой области

Х и допускающий присутствие одного и того же элемента несколько раз. Например, к числу комплектов можно отнести {a, b, c}; {a, b, c, c}; {a, a, a}, X= {a, b, c, d}.

Вместо отношения включения, являющегося основным понятием теории множеств, в теории комплектов вводится функция числа повторений каждого элементов и обозначается (х, В) (читается «число х в В»). Если ввести ограничения 0 ≤ # (x, B) ≤ 1, для x B, то получим обычное понятие множества элементов.

Приведем теоретико-множественные операции, определенные на комплектах.

1.Операция включения # (x, B) > 0;

2.Операция не включено # (x, B) = 0; 3.Пустое множество # (x, B) = 0, x Х; 4.А В; # (x, А) ≤ # (x, B), x Х; 5.А=В; # (x, А) = # (x, B), x Х;