Теоретические вопросы

1. Определение графа, орграфа, неорграфа. Матрицы смежности и инциденций. Приведите примеры.

2. Мультиграф. Мультиграфическое число. Матрицы смежности и инциденций. Приведите примеры.

3. Конечный граф, нульграф, полный граф. Локальная степень вершины, регулярный граф. Приведите примеры.

4. Подграф, суграф, дополнение до полного. Приведите примеры.

5. Объединение, пересечение графов, матрицы смежности, инциденций. Приведите примеры.

6. Маршрут, цепь, цикл. Нахождение маршрутов заданной длины. Связность. Приведите примеры.

7. Эйлеров граф. Гамильтонов цикл. Условия существования, теоремы. Приведите примеры.

8. Деревья, лес. Свойства. Приведите примеры.

9. Цикломатическое число. Метод Краскала. Приведите примеры.

10. Метрика графа. Аксиомы Фреше. Матрица расстояний. Диаметр графа. Приведите примеры.

11. Координатная решетка. Матрица геометрии. Суммарная длина ребер. Приведите примеры.

12. Раскраска графов. Хроматическое число. Приведите примеры.

13. Граф Кенига. Полный двудольный граф. Внутренняя устойчивость. Приведите примеры.

14. Изоморфизм графов. Плоские и планарные графы. Приведите примеры.

15. Орграф. Матрица инциденций и смежности. Маршрут, путь, контур. Приведите примеры.

Практические задания

1. Задан граф. Построить R, I, список смежности.

2. Задан граф списком смежности. Построить граф.

3. Дана матрица R. Построить по ней матрицу I. Нарисовать граф.

4. Дана матрица I. Построить по ней матрицу R. Нарисовать граф.

5. Нарисовать пример мультиграфа. Подсчитать мощность каждого множества. Построить матрицу смежности.

6. Приведите примеры подграфа, суграфа, полного графа, нульграфа, дополнения до полного для заданного графа G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5}, U={(x1,x2), (x1,x3), (x1,x4), (x2,x4), (x2,x5), (x3,x4), (x4,x5)}

7. Задан граф: G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5}, U={(x1,x2), (x1,x3), (x2,x4), (x2,x5), (x3,x4), (x4,x5)}. Нарисовать двойственный ему граф.

8. Заданы два графа. Построить их объединение и пересечение.

9. Задана матрица R1, R2. Найти объединение и пересечение R1 и R2.

10. Задан граф: G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5,x6}, U={(x1,x2), (x1,x3), (x1,x5), (x1,x6), (x2,x3), (x2,x4), (x3,x4), (x3,x5), (x3,x6), (x4,x5), (x5,x6)}. Построить маршрут, цепь, цикл.

11. Задан граф. Найти все простые цепи, соединяющие вершины x1 и x7.

12. Задан граф: G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5}, U={(x1,x2), (x1,x3), (x2,x3), (x2,x4), (x3,x4), (x3,x5)}. Будет ли он Эйлеровым? Построить цикл максимальной длины.

13. Задан граф. Построить гамильтонов цикл. Возможно ли построить эйлеров или полуэйлеров цикл?

14. Задан полный граф K₄. Длины ребер 120, 180, 140, 100, 70, 110 соответственно. Решить задачу о коммивояжере (найти гамильтонов цикл с наименьшим весом).

15. Задан граф: G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7}, U={(x1,x3), (x1,x4), (x1,x5), (x1,x6), (x2,x3), (x2,x6), (x2,x7), (x3,x4), (x3,x7), (x4,x5), (x4,x6), (x6,x7)}. «Вес» (мера) ребер: 2, 5, 3, 3, 2, 4, 1, 5, 2, 7, 8, 9 соответственно. Найти минимальное покрывающее его дерево.

16. Построить матрицу расстояний для графа заданного матрицей смежности. Определить диаметр графа.

17. Для решетчатого графа найти расстояние между вершинами x5 и x27 при p=6, q=5.

18. Задан решетчатый граф. G=(X,U), X={x3, x12, x15, x23}, U={(x3,x15), (x3,x23), (x12,x23), (x15,x23)}, p=q=5. Построить матрицу геометрии. Найти сумму длин всех его проводников.

19. Задан граф. Построить плоский и планарный.

20. Раскрасить граф.

21. Задан орграф. G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5,x6}, U={<x1,x3>, <x1,x5>, <x2,x3>, <x2,x6>, <x2,x1>, <x3,x2>, <x3,x5>, <x4,x3>, <x4,x5>, <x5,x2>, <x5,x4>, <x6,x4>}. Построить матрицу инциденций и смежности.

22. Задан орграф. G=(X,U), X={x1,x2,x3,x4,x5,x6}, U={<x1,x3>, <x1,x5>, <x2,x3>, <x2,x6>, <x2,x1>, <x3,x2>, <x3,x5>, <x4,x3>, <x4,x5>, <x5,x2>, <x5,x4>, <x6,x4>}. Найти все простые цепи идущие из вершины x2.

23. Найти максимальную пропускную способность транспортной сети заданной орграфом.

Практические задания