ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ САУ С АИМ
Понятие решетчатой функции. Разности решетчатых функций и разностные уравнения
Функция, значения которой в дискретные, равноотстоящие друг от друга моменты времени равны значениям какой-либо непрерывной функции , а между этими значениями равны нулю, называется решетчатой
Решетчатую функцию обозначают символом f [nT ] , где Т – период квантования, n – произвольное положительное целое число
|
|
|
f(t) |
f [nT ] |
|
0 |
T |
2T |
3T |
4 |
t |
|
|||||
|
|
|
|
T |
|
Любой непрерывной функции f(t) будет соответствовать |
|||||
единственная решетчатая функция |
|
||||
f [nT ], но одной решетчатой функции может соответствовать множество непрерывных функций
Если в непрерывной функции положить |
, где |
|
t nT t |
, то этой функции будет соответствовать |
|
T t T |
|
решетчатая функция |
f [nT , t] |
Такие решетчатые функции называют смещёнными.
f(t) |
f [nT , T ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
T |
2T |
|
3T |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t
Смещённые решетчатые функции позволяют путём изменения смещения оценить поведение
непрерывной функции внутри периода квантования |
|||||||||
|
|
|
t |
, то |
|||||
Если ввести относительное время t |
|||||||||
|
|||||||||
|
|
) T |
|
|
|
||||
непрерывная функция f (t) f (T t |
или f (t |
) |
|||||||
Ей будет соответствовать решетчатая функция |
f [n] |
|||
Аналогично для относительного смещения |
t |
|||
|
|
|
T |
|
непрерывной функции f (t ) будет |
||||
|
||||
соответствовать смещённая решетчатая функция |
||||
f [n, ] |
|
|||
Скорость изменения решетчатой функции характеризуется ее первой разностью, которая является аналогом первой производной для непрерывных функций
f [n] f [n 1] f [n]
По аналогии можно получить и более высокие разности:
2 f [n] f [n 1] f [n], |
|
3 f [n] 2 f [n 1] 2 f [n], |
|
|
|
..............................................., |
|
|
|
k f [n] f (k 1)[n 1] (k 1) |
|
f [n]. |
Соотношение между решетчатой функцией и ее разностями различных порядков определяет разностное уравнение. Если эти соотношения линейны, то такое разностное уравнение называется
линейным
bk (k) y[n] bk 1 (k 1) y[n] b1 y[n] b0 y[n] f [n]
Вимпульсных системах разностные уравнения выполняют ту же роль, что и дифференциальные уравнения в непрерывных САУ
Дискретное преобразование Лапласа
Дискретное преобразование Лапласа является функциональным преобразованием решетчатых функций и определяется соотношением
|
|
|
|
F *(q) f [n]e qn |
|
|
n 0 |
|
или |
|
|
F *(q, ) f [n, ]e qn |
||
|
||
|
n 0 |
где q j pT – параметр преобразования
Оно является полным аналогом преобразования Лапласа для непрерывных функций:
F(q) L f (t ) f (t )e qt dt
|
0 |
Символьная запись дискретного преобразования |
|
Лапласа |
F *(q, ) D f [n, ] |
F *(q) D f [n] |
|
Дискретное преобразование Лапласа устанавливает |
|
соответствие между решетчатой функцией f [n, ] и |
|
функцией F *(q, ) комплексной переменной q. |
|
При этом f [n, ] |
– оригинал |
F *(q, ) |
– изображение |
Изображения, полученные с помощью дискретного преобразования Лапласа, будут содержать трансцендентный множитель – функцию вида e nq
Если r – любое целое число, то
eq 2 jr eq cos 2 r j sin 2 r eq 1 j0 eq
Следовательно,
F *(q 2 jr) F *(q)
и изображение F *(q) – это периодическая функция вдоль мнимой оси комплексной плоскости q j с периодом 2 и её можно рассматривать в полосе
Im q или
Обратное дискретное преобразование Лапласа |
||||||
|
j |
|
|
|
|
|
|
1 |
F *(q)e |
qn |
dq |
|
|
f [n] 2 j |
|
|
||||
|
j |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
f [n, ] |
1 |
F *(q, )e |
qn |
dq |
||
2 j |
|
|||||
jω |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
c |
σ+j π |
|
|
|
|
0 |
L |
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
||
-π |
|
σ-j π |
|
|
|
|
Если особые точки q изображения F *(q)
расположены правее прямой L, то вычисление интеграла можно произвести через вычеты:
|
1 |
j |
Re s F *(q)eq(n 1) |
|
f [n] |
F *(q)eqndq 2 j |
|||
|
||||
|
2 j |
|
q q |
|
|
|
j |
|
Свойства дискретного преобразования Лапласа аналогичны свойствам преобразования Лапласа для непрерывных функций