1. 3.2 Интерполяция по лагранжу

Пусть известны значения некоторой искомой f(x) в некоторых n+1 точке:

y₀=f(x₀), y₁=f(x₁), …, y_n=f(x_n).

Построим многочлен L_n(x) такой, что

L_n(x_i) = y_i, i=0,1,…,n (1)

точки x_i — узлы интерполяции.

(Ясно, что в промежуточных точках x L_n(x) f(x) ).

Рассмотрим n=1. Для этого случая полином запишем в виде:

Е

(2)

сли подставитьx=x₁ , то

Т.е. действительно такой полином обеспечивает равенство (1).

Заметим, кстати, что L₁(x) — не что иное, как линейная интерполяция. Действительно, возьмем прямую, проходящую через (x₀,y₀), (x₁,y₁)

Преобразуем:

Перенесемy₀ в левую часть:

Приведем к общему знаменателю в скобках и получим:

Что, как видно, полностью совпадает с выражением (2) для полинома Лагранжа.

Рассмотрим n=2.

Если подставитьx=x₂, то нетрудно убедиться, что L₂(x₂)=y₂. Здесь также можно убедиться, что L₂(x) — та же квадратичная интерполяция.

Обобщая, можно записать:

Этот интерполяционный многочленL_n(x) и есть приближение для f(x).

Построение L_n(x) фактически сводится к построению его коэффициентов.

2. 3.3 Апроксимация многочленом по методу наименьших квадратов

Пусть в ходе измерения зависимости некоторой величины Y от величины X (например, зависимости плотности некоторого вещества от температуры) получен набор значений: x₁, x₂, ... , x_n

и соответствующие им значения y₁=y(x₁), y₂=y(x₂), ... y_n=y(x_n).

И пусть мы хотим получить значения этой зависимости в некоторых промежуточных точках x_i < x < x_i+1, где i=1,2, ..., n.

Для этого применяют аппроксимацию этой зависимости некоторой приближенной функцией f(x) , причем такой, что она обеспечивает минимум суммы квадратов отклонений ее от полученных значений y_i по всем известным точкам:

Такого рода аппроксимация и называетсяаппроксимацией по методу наименьших квадратов. Сразу поясним, почему берут квадраты отклонений. Дело в том, что отклонения по знаку могут быть как положительными, так и отрицательными, поэтому имеет смысл рассматривать отклонения без учета знака. Во–вторых, если какая–либо точка сильно выпадает (т.е. отклонение в этой точке будет большим), то это отклонение и следует учитывать в "увеличенном" виде – за счет возведения в квадрат.

Если подобрать такую функцию f(x) (т.е. получить ее аналитический вид), то в дальнейшем, просто подставляя требуемое значение х, можно получить приближенное значение в этой точке для исследуемой зависимости.

Для простоты возьмем в качестве аппроксимирующей функции f(x) квадратичную функцию:

f(x) = a₁x² + a₂x + a₃

В этом случае говорят, что аппроксимируем параболой. Тогда сумма квадратов отклонений запишется в виде:

Как известно, в точке минимума некоторой функции ее производная обращается в нуль. Если мы будем рассматриватьS поочередно как функцию переменной а₁, затем а₂ и потом а₃, соответственно вычислять ее производные и приравнивать их к нулю, то получим:

В результате получаем систему линейных уравнений на коэффициенты а₁, а₂, а₃ аппроксимирующей функции:

A₁₁ a₁ + A₁₂ a₂ + A₁₃ a₃ = B₁

A₂₁ a₁ + A₂₂ a₂ + A₂₃ a₃ = B₂

A₃₁ a₁ + A₃₂ a₂ + A₃₃ a₃ = B₃

где

Решив такую систему (например, рассмотренным в предыдущем параграфе методом Гаусса–Зейделя), найдем а₁, а₂, а₃ – такие значения коэффициентов приближенной функции, которые обеспечивают минимальное отклонение от известных значений исследуемой зависимости. Эти значения позволяют вычислить f(x) в любой точке x такой, что

x_i < x < x _i+1 , i =1,2, ... n.

Итак, аппроксимация по методу наименьших квадратов означает:

1. Найти коэффициенты системы A_km и B_k (т.е. вычислить их по известным x_i, y_i).

2. Решить систему линейных уравнений.

3. С помощью найденных коэффициентов аппроксимирующей функции рассчитать приближенные значения зависимости в любой заданной точке.