1. 1.2 Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным.

Всякое уравнение с одним неизвестным может быть записано в виде:

f(х)=0

Предполагаем, что f(х) — непрерывная функция. И задача решения такого уравнения сводится, таким образом, к поиску х, при котором f(х) обращается в нуль.

Нелинейные уравнения условно делятся на:

— алгебраические уравнения (f(х) – алгебраические функции)

• трансцендентные уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.)

Методы решений нелинейных уравнений делят на:

— прямые (когда корни получаются в виде конечной формулы)

— итерационные (методы последовательных приближений)

Об итерационных методах и пойдет речь, (это и есть приближенные – численные – методы решений нелинейных уравнений)

Поиск корня с помощью итерационного метода распадается на три этапа:

1) выбор отрезка [а, b], на котором имеется корень

по теореме Больцано – Коши , если f (а) *f (в) < 0 (т. е. функция на разных концах отрезка имеет разные знаки), то существует с  [a,b] и f(c) =0 (это — отделение корня)

2)выяснение того, что корень единственный

(это будет, если f (х))монотонна на [a,b], т. е. при f ' (х)>0 — монотонно возрастает, при f ' (х)<0 — монотонно убывает)

3) построение процесса, позволяющего сузить границы выделенного

отрезка, то есть позволяющего найти приближенные значения корня с любой заданной точностью (это — уточнение корня)

2. 1. 1.2.1. Отделение корня

Рассмотрим на примере: x³ – x – 1 = 0

f (х) = x³ – x – 1 и f ' (х)= 3x² – 1 — непрерывны.

Определим интегралы монотонности, т. е. найдем точки перегиба (т. е. те точки, где

f ' (х)= 3x² – 1 = 0 )

Эти точки

Таким образом, вся область определения функций (— , + ) разобьётся на три интервала:

(— , — 1/3 ] , (— 1/3, +1/3 ) , [1/3, + ).

Вычислим значения функции на краях этих интервалов:

— не содержит корней (функция на концах имеет одинаковые знаки)

не содержит корней

А этот интервал содержит корни

И поскольку этот интервал является монотонным для f(х), то корень там единственный. Сузим интервал (до конечных точек): [1, 2],

f (1) = 1— 1—1= —1 < 0, f (2) = 8 –2 –1= 5> 0

Итак, на [1, 2] есть корень и единственный.

Отделение корня можно производить и графически.

Для этого уравнение f (х) = 0 сводят к уравнению: ₁ (x) = ₂ (x)

Затем строят графики y₁=₁ (x) и у₂ =₂ (x) и абсцисса точки их пересечения – есть корень. В рассмотренном примере уравнение принимало бы вид:

x³ = x + 1

и строили бы графики кубической параболы (y =x³ ) и прямой ( y=x + 1).

При этом, кстати, может быть обнаружено несколько таких точек пересечения (т.к. уравнение может иметь несколько корней) и, значит, будет отделено несколько отрезков.

Если рассматривать пример уравнения cos(x) =x², то получим график, приведенныq на рис 1.

y=x²

y=cos x

Рис. 1 Графическое отделение корня уравнения cos x = x².

Видно, что данное уравнение имеет два корня: на отрезке [- π/2, 0] и [0,π/2]

Но для отделения корня можно активно использовать компьютер. При этом будем использовать такие очевидные положения:

1) если непрерывная на отрезке [a,b] функцияF(x) принимает на его концах значения разных знаков (т.е.F(a)•F(b)<0), то уравнениеF(x)=0имеет на этом отрезке, по крайней мере, один корень

2) если функция F(x)к тому же еще и строго монотонна, то корень на отрезке[a,b]единственный.

Итак, процедуру отделения корней такова. Пусть, все интересующие нас корни уравнения находятся на отрезке [A,B].Будем вычислять значенияF(x),начиная с точкиx=A,двигаясь вправо с некоторым шагомh. Как только обнаружится пара соседних значенийF(x),имеющих разные знаки, так соответствующие значения аргументаx(предыдущее и последующее) можно считать концами отрезка, содержащего корень. Схема такого алгоритма приведена нарис.2.

начало

ввод a,b,h

x₁ := a

x₂ := x₁ + h

y₁:= f(x₁)

Да Нет

x₂<b

y₂:=f(x₂)

Да Нет

y₁•y₂<0

вывод:

x₁, x₂

x₁ := x₂

x₂ := x₁+h

y₁ := y₂

конец

Рис.2 . Блок–схема алгоритма отделения корней.