3 Лекции по численным методам

Содержание

ЛЕКЦИЯ № 1 ПОНЯТИЕ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4

1.1ПОНЯТИЕ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ. 4

1.2 РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ. 5

1.2.1. Отделение корня 5

1.2.2. Уточнение корня. 7

1.2.2.1 Метод деления отрезка пополам 8

Пример 1.1 9

1.2.2.2 МЕТОД НЬЮТОНА (метод касательных) 10

1.2.2.3 МЕТОД ИТЕРАЦИЙ (простых) 11

ЛЕКЦИЯ №2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 12

2.1 Правило Крамера 13

2.2 Метод обратной матрицы. 14

2.3 Метод Гаусса 14

2.4 ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД ГАУССА – ЗЕЙДЕЛЯ 16

ЛЕКЦИЯ 3. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ 18

3.2 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПО ЛАГРАНЖУ 20

3.3 АПРОКСИМАЦИЯ МНОГОЧЛЕНОМ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 21

ЛЕКЦИЯ № 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 23

4.1 МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ 23

где 2 — наибольшее значение четвертой производной на отрезке [a, b]. 24

4.2 МЕТОД ТРАПЕЦИЙ 24

4.3 МЕТОД СИМПСОНА 26

Если же подынтегральную функцию f(x) проинтерполировать полиномом Лагранжа 2-ой степени (на отрезке [x0, x2 ] ): 26

4.4 МЕТОД МОНТЕ – КАРЛО 27

ЛЕКЦИЯ 5. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 28

5.1 МЕТОД ЭЙЛЕРА 29

5.2 МЕТОД РУНГЕ—КУТТА 30

5.3 МЕТОД ПРОГНОЗА И КОРРЕКЦИИ 30

ЛЕКЦИЯ 6. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ 31

6.1 МЕТОД КАТЯЩЕГОСЯ ШАРИКА 32

6.2 МЕТОД ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ 32

6.3 МЕТОД ГРАДИЕНТНОГО СПУСКА (уже для нескольких переменных) 33

6.4 ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 34

ЛИТЕРАТУРА: 37

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ. 38

ПЛАН ЛЕКЦИЙ

по численным методам

Лекция 1. Понятие о численных методах. Решение нелинейных уравнений.

Лекция 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Лекция 3. Интерполирование и аппроксимация функций.

Лекция 4. Численное интегрирование.

Лекция 5. Численное решение дифференциальных уравнений.

Лекция 6. Методы оптимизации.

ПЛАН ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

1. Решение нелинейных уравнений;

2. Решение систем линейных уравнений;

3. Численное интегрирование;

4. Численное решение дифференциальных уравнений

1. Лекция № 1 понятие о численных методах. Решение нелинейных уравнений

1. Понятие о численных методах.

На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит не потому, что не умеем это сделать, а потому, что искомое решение обычно не выражается в привычных элементарных или иных известных функциях.

Например, некая физическая задача свелась к решению какого-то трансцендентного уравнения (не алгебраического), для которого нет точных методов решения. Или: для получения результата необходимо вычислить определённый интеграл, который не берется в явном виде. Во всех подобных случаях применяют численные методы (ЧМ), роль которых возрастает в связи с развитием ЭВМ.

Итак, ЧМ – это методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и логическим действиями над числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ

Решение, полученное ЧМ-дом, обычно является приближенным, поскольку существует неустранимая погрешность:

1) может быть несоответствие математической модели получаемому ре­­аль­ному явлению (скажем, аппроксимация полета тела, брошенное вдоль линии горизонта, параболой - грубовато)

2) погрешность исходных данных при расчете с помощью ЧМ-да

А также существуют:

3) погрешность самого метода решения

4) погрешность округлений в арифметических и других действиях над числами.

Подбор математической модели – вопрос сложный. Как правило, делается из эксперимента

Влияние исходных данных – оценивают, варьируя эти данные в пределах их погрешности.

Погрешность метода может быть вследствие того, что ЧМ-д может строиться, например, в виде бесконечного процесса (а реально рассчитать бесконечную сумму или осуществить предельный переход невозможно – поэтому обрывают и получают приближенное).

Погрешность округлений – стандартными методами (но они могут давать завышенные ошибки, поскольку в действительных расчетах взаимно гасятся).

ЧМ–д может считаться удачно выбранным, если:

вычислительная погрешность неустранимая

погрешность << метода << погрешность

(округления) где << — меньше в несколько раз.

Если же неустранимая погрешность отсутствует, то погрешность метода должна быть несколько меньше заданной точности решения.

Применение ЧМ–дов стало весьма эффективным именно с появлением ЭВМ, поскольку очень часто ЧМ сводится к выполнению (многократному) итерационных действий или к суммированию очень больших рядов – а это долго и кто, как ни ЭВМ сделает это быстро и достаточно точно? Не надо думать, что ЧМ - это нечто убогое, поскольку он даёт приближенное решение. Но :

1) ведь в большинстве реальных задач (например, задач физики) и не требуется большой точности:

2) пусть даже вы и получили точное решение, например, в виде 3, что с ним делать? Волей – неволей придется ограничиться несколькими значимыми цифрами, а несколько значимых цифр даст нам и ЧМ.