2. Лекция №2 решение систем линейных алгебраических уравнений

Методы их решения разбиваются на две группы:

— точные (прямые), позволяющие получить решение системы в точном виде за конечное число арифметических операций. В их числе: Правило Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы.

— приближенные (итерационные). В них задаются начальные значения и с помощью некоторого алгоритма проводится цикл уточняющих корни вычислений (итерация). Пример: Метод Гаусса – Зайделя.

Постановка задачи. Дана система линейных уравнений.

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

……………………………………

a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n = b_n

Используя понятия матрицы:

ивектор столбца:

систему уравнений можно переписать в виде:

AX = B

1. 2.1 Правило Крамера

Оно состоит в вычислении главного определителя матрицы А:

ипобочных определителей:

И тогда вычисление корней :

x₁ = D₁/D, x₂ = D₂/D, … x_n = D_n/D

Правило Крамера неэффективно для больших систем, поскольку велико число требуемых для вычисления определителей операций:

N  n(n! + 1)

2. 2.2 Метод обратной матрицы.

Отталкиваясь от АХ=В,

умножим обе части на обратную матрицу A^—1 :

Х= A^—1 В

Таким образом, решение системы сводится к вычислению A^—1 , но её вычисление также трудоемко.

3. 2.3 Метод Гаусса

Рассмотрим на примере системы трех уравнений:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b₂

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ = b₃

ПРЯМОЙ ХОД метода Гаусса состоит в следующем:

Умножим первое уравнение на –a₂₁/a₁₁ и сложим со вторым:

—a₂₁x₁ — a₂₁a₁₂ /a₁₁x₂ — a₂₁a₃₁ /a₁₁ x₃ = — a₂₁b₁/a₁₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b₂

______________________________

(a₂₂ — a₂₁a₁₂/a₁₁)x₂ + (a₂₃ — a₂₁a₁₃/a₁₁)x₃ = b₂ — a₂₁b₁/a₁₁

Если обозначить первую скобку за a'₂₂ , а вторую за a'₂₃ и полученную правую часть за b'₂ , то получим:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = b₁

a'₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b'₂

Ясно, что при этом второе уравнение осталось уравнением, (к обеим частям добавили равные части — первое уравнение ведь тоже уравнение).

Аналогично: умножим первое уравнение на —a₃₁/a₁₁ и сложим с третьим уравнением:

—a₃₁x₁ — a₃₁a₁₂/a₁₁x₂ — a₃₁a₁₃/ a₁₁x₃ = — a₃₁b₁/a₁₁

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ = b₃

______________________________

(a₃₂ — a₃₁a₁₂/a₁₁)x₂ + (a₃₃ — a₃₁a₁₃/a₁₁)x₃ = b₃ — a₃₁b₁/a₁₁

Обозначим полученное уравнение так:

a'₃₂x₂ + a’₃₃x₃ = b'₃

Таким образом, мы исключили x₁ из 2-го и 3-го уравнений. Запишем, кстати, обобщенные формулы для "штриховых" коэффициентов.

Исключим теперь x₂ из 3-го уравнения. Умножим второе на —a'₃₂/a'₂₂ и прибавим к третьему.

—a'₃₂x₂ — a'₃₂a'₂₃/a'₂₂x₃ = — a'₃₂b'₂/a₂₂

a'₃₂x₂ + a'₃₃x₃ = b'₃

_{—————————————————————————————————}

(a'₃₃ — a'₃₂a'₂₃/a'₂₂)x₃ = b'₃ — a'₃₂b'₂/a'₂₂

Скобку при x₃ обозначим за a''₃₃ , а правую часть за b''₃

Таким образом, система свелась к виду:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = b₁

a'₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b'₂

a''₃₃x₃ = b''₃

Для "дважды штриховых" коэффициентов общие формулы имеют вид:

ОБРАТНЫЙ ХОД метода Гаусса состоит в следующем.

Находим x₃ из 3-го уравнения: x₃ = b’’₃/a’’₃₃

Потом находим x₂ = (b'₂ — a'₂₃x₃)/a'₂₂ , x₁ = (b₁ — a₁₂x₂ — a₁₃ x₃)/a₁₁

Аналогично строится процесс метода Гаусса для системы из N уравнений. Обобщим, обобщив формулы "штриховых" коэффициентов .

Пример. Методом Гаусса решить систему:

10x₁ — 7x₂ = 7

-3x₁ — 2x₂ + 6x₃ = 4

5x 1 — x₂ + 5x₃ = 6

Исключим x₁ . Умножим 1-е уравнение на 3/10 и сложим со 2-м, а затем умножим 1-е на —0,5 и сложим с 3-м уравнением:

10x₁ — 7x₂ = 7

0,1x₂ + 6x₃ = 6,1

2,5x₂ + 5x₃ = 2,5

Умножим 2-е уравнение на 2,5/0,1=25 и сложим с 3-м :

155 x₃ = 155

Обратный ход дает x₃ = 1.

Подставим во 2-е уравнение и получим: x₂ = (6x₃ — 6,1)/0,1 = —1 ,

подставим в 1-е: x₁ = (7+7x₂ )/10 = 0

Подстановкой этих значений (0, —1, 1) в систему можно убедится в правильности решения:

10 • 0 — 7 • (–1) = 7 правильно

–3•0 + 2•(–1)+6•1 = –2+6 = 4 правильно

5 • 0 + 1 + 5 • 1 = 6 правильно

Приведем блок-схему алгоритма метода Гаусса для системы из трех уравнений.