3. 5.2 Метод рунге—кутта

Если же в вышеприведенном очевидном равенстве (1) интеграл вычислить по формуле прямоугольников, взяв средину отрезка разбиения [x_k, x_k+1], что фактически соответствует уменьшению интервала разбиения вдвое (а, значит, и уточнению вычисления интеграла), то получим:

Если теперь

вычислить по формуле Эйлера, взяв шаг h/2, то

Это и есть формуламетода Рунге-Кутта (2-го порядка). Отметим, что погрешность имеет тот же порядок h², но, вообще говоря, меньше, поскольку фактически при вычислении интеграла интервал разбиения уменьшили вдвое.

4. 5.3 Метод прогноза и коррекции

Если же интеграл в правой части (1) записать по формуле трапеций, то получим:

Поскольку y_k+1 входит в обе части этого неравенства и, вообще говоря, явно не выражается, то воспользуемся для разрешения его относительно y_k+1 методом простой итерации (см. методы решения нелинейных уравнений):

Если же y⁽⁰⁾_k+1 вычислить по методу Эйлера, т.е.

то получим пару формул, олицетворяющих так называемый метод прогноза и коррекции:

— прогноз

• коррекция

Поскольку коррекция — процесс итерационный, то, вообще говоря, итерируя, можно достичь любой точности. На практике ограничиваются 1—2 итерациями. Хотя при этом следует заметить, что поскольку в основе этого метода лежит метод трапеций вычисления интеграла, то порядок точности по h не будет возрастать, а будет просто уменьшаться главный член погрешности. Иначе говоря, погрешность метода останется, но будет чуть-чуть уменьшаться.

6. Лекция 6. Методы оптимизации

Что такое оптимизация — понятно. Процесс выбора наилучшего варианта. Практически это может означать, например, поиск значений аргументов функции, делающих ее минимальной (или максимальной).

Оптимизация бывает двух типов: 1) безусловная, 2) условная.

Безусловная: Отыскивается максимум или минимум некоторой функции (и значения аргументов, делающих ее такой) на всей области ее определения. Обычно рассматривается минимум, а максимум — достаточно сменить знак функции.

Условная: Это задача с ограничениями. Они могут быть заданы в виде некоторых равенств и неравенств.

Пример. Требуется спроектировать контейнер в форме прямоугольного параллелепипеда объемом V=1 м³, причем желательно израсходовать как можно меньше материала.

Если считать, что толщина стенок одинакова, то фактически следует обеспечить минимальной площадь полной поверхности контейнера:

S = 2(x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃),

где x₁,x₂,x₃ — длины ребер контейнера. Функция—ограничение: V=1,

V= x₁x₂x₃ = 1, откуда x₃ = 1/(x₁x₂), следовательно

S = 2(x₁x₂ + 1/x₁ + 1/x₂).

Итак, задача с контейнером — пример задачи минимизации функции двух переменных, на которые, очевидно, следует наложить дополнительные ограничения в виде неравенств: x₁  0, x₂ 0.

Рассмотрим конкретные методы. И сначала для функции одной переменной.

1. 6.1 Метод катящегося шарика

Будем предполагать, что минимизируемая функция одной переменной f(x) на исследуемом отрезке [a,b] имеет один минимум.

Суть данного метода состоит в следующем:

1. Отрезок [a,b] последовательно разбивают на n подотрезков длиной h=(b-a)/n.

2. Вычисляют f(x) в точках x_i=x_i–1+h, где i=1,2,…,n, x₀=a, x_n=b.

3. Если f(x_i+1) < f(x_i), то минимум "переносят" в точку x_i+1,

4. Если же нет, то интервал от x_i+1 до x_i делят пополам и вновь вычисляют f(x) во вновь полученных точках x_i+1/2 и x_i

5. Вновь сравнивают f(x_i+1/2) и f(x_i),

6. И т.д.

y

x

a x₁ … x _i-1 x_i x_i+1 … b

На рис. схематично изображены значения некоторой функции в точках a, x₁ , x_i-1, x_i, x_i+1, b.