16. Законы распределения отказов и их основные характеристики

Рассмотрим законы распределения случайной величины Т, где Т - время безотказной работы изделия до первого отказа (время наработки на отказ).

1. Экспоненциальный закон надёжности

При экспоненциальном законе распределения времени безотказной Т интенсивность отказов является постоянной, т.е.

.

Выпишем формулы по которым определяются количественные характеристики надёжности.

Экспоненциальный закон надёжности справедлив для описания внезапных отказов, когда изделие не успевает ещё износиться, т.е. не стареет.

Для экспоненциального закона вероятность безотказной работы на каком-то интервале времени не зависит от прошедшего времени, а зависит от.

.

Здесь - вероятность безотказной работы изделия на интервале временипри условии, что на интервале времени (0,t) изделие работало безотказно.

2. Нормальный закон распределения

Он характеризует вероятность отказа при длительном изменении характеристик изделия (старение, износ). Нормальный закон распределения характеризует распределение времени безотказной работы изделия при возникновении отказов из-за износа и старения.

Плотность распределения времени безотказной работы Т изделия равна:

,

где ,- параметры закона распределения.

- среднее значение случайной величины Т;

- дисперсия случайной величины Т;

Имеем

; ;;

Для нормального закона распределения q(t) примет вид

.

Введём новую переменную:

; ;.

Если , то.

Следовательно

.

Введём в рассмотрение нормированную функцию Лапласа

, ,

.

Свойства функции Лапласа

1. 

2. 

3. 

Запишем q(t) в виде

;

; .

Определим вероятность безотказной работы изделия в интервале времени

Определим интенсивность отказов . Имеем

Определим - время безотказной работы изделия на интервале временипри условии, что на интервале времениизделие работало безотказно. Имеем

;

4. Закон распределения Вейбулла

Для распределения Вейбулла плотность распределения времени безотказной работы Т изделия имеет вид

;

здесь а и k - параметры закона распределения Вейбулла.

Определим q(t). Имеем

Введём новую переменную x вида

;

Определим P(t). Имеем

;

Определим . Получим

Определим среднее время безотказной работы. Имеем

Введём новую переменную u вида

;

если t = 0, то u = 0.

если t = , то u = .

- гамма - функция

Определим дисперсию времени безотказной работы Т.

Имеем

Введём новую переменную u вида

если t = 0, то u = 0. ;

если t = , то u = .

Известно следующее соотношение для гамма - функции.

Следовательно .

Тогда

Рассмотрим случай, когда k = 1; a = .

В этом случае имеем .

Т.е. в этом случае имеем экспоненциальный закон надёжности.

Пусть k = 2. В этом случае имеем закон Рэлея. Закон Вейбулла лучше описывает время безотказной работы изделия, чем экспоненциальный закон, т.к. в этом случае имеется два параметра: a и k. Пусть k = 2; Тогда имеем;

- закон распределения Рэлея.

;

;

;

;