mathanaliz

Сравнивая площади фигур, имеем

В силу чётности функций cos x и sinxx, неравенства (3.3) имеют место и для всех x −π2 , 0! .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Покажем, далее, что для всех x R\{0} имеет место неравенство | sin x| < |x|. Действительно, если 0 < |x| < π2 , то доказываемое неравенство следует из (3.2). Если же |x| ≥ π2 > 1, то, учитывая, что x R : | sin x| ≤ 1, неравенство | sin x| < |x| также имеет место. Итак, мы доказали, что

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Так как, в силу (3.4), x R \ {0} : | sin x| < |x|, то положим δ = . Тогда

x ((0 < |x| < δ = ) = (| sin x| < ε)) .

Из выделенного синим цветом следует, по

определению 50, что (C) lim sin x = 0.

x→0

Заметим, что, если удалось найти одно δ, удовлетворяющее определению 50, то таких δ = δ(ε) бесконеч-

но много. При этом, для решения поставленной задачи, не обязательно выбирать максимально большую

Uδ(0).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 40. Показать, что

(C) lim cos x = 1.

x→0

Пример 41. Показать, что

x0 > 0 : (C) lim loga x = loga x0,

x→x0

где a > 0, a 6= 1.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 42. Показать, что

(C) lim ax = 1,

x→0

где a > 0, a 6= 1.

Пример 43. Показать, что

(C) lim arcsin x = 0.

x→0

Пример 44. Показать, что

(C) lim arctg x = 0.

x→0

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3.11. Предел отображения по Гейне.

Пусть A Rk, B Rm и A0 - множество всех предельных точек множества A.

Определение 54. (Гейне) Точка a Rm называется пределом отображения f : A → B

при x → x0 A0, если

(xn), xn A \ {x0} и xn → x0 : f(xn) → a.

Это определение предела отображения по Гейне. Предел отображения по Гейне обозна-

чим через (H) lim f(x).

x→x0

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 26. Пусть f : A → B, A Rk, B

Rm и x0 есть предельная точка множества A.

Тогда, если существует один из двух пределов:

- то существует и второй, и эти пределы равны.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. 1. Покажем, что

( (xn), xn A \ {x0}, и xn → x0 : f(xn) → a) .

Фиксируем произвольную (xn), xn A \ {x0}, и xn → x0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Фиксируем произвольное ε0 > 0.

Из выделенного синим цветом следует, по определению 19, что f(xn) → a.

Тогда, из выделенного красным цветом следу-

ет, по определению 54, что (H) lim f(x) = a.

x→x0

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit