Lesn4_Rjady
.pdfГлава IV. Ряды Лорана
Доказательство. |
|
Пусть точка z0 |
|
является полюсом порядка |
||||||||||||||||||||||||
m |
функции |
f(z). Тогда по теореме 3 |
для некоторой функции |
|||||||||||||||||||||||||
(z), аналитической |
в точке |
|
z0, |
выполняется |
условие (3): |
|||||||||||||||||||||||
f (z) |
|
|
|
1 |
|
|
(z) , |
(z0) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(z z |
0 |
)m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложим (z) |
в окрестности точки |
z0 в ряд Тейлора |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z) cn (z z0 )n . Тогда c0 = |
(z0) 0 и |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
|
|
|
|
(z) = |
|
|
|
|
cn (z z0 )n = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
(z z0 ) |
m |
( z z0 ) |
m |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|||||||
|
c0 |
|
|
|
|
|
c1 |
|
... |
cm 1 |
c |
c |
|
|
(z z |
) c |
(z z )2 ... |
|||||||||||
( z z )m |
( z z )m 1 |
z z0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
m 1 |
|
|
0 |
|
m 2 |
0 |
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c0 |
|
|
|
|
c1 |
|
|
|
cm 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
c |
|
(z z0 )n . |
|||||||||||||
|
|
|
|
(z z )m |
( z z )m 1 |
z z0 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n m |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
Функция f(z) |
разложена в проколотой окрестности точки |
||||||||||||||||||||||||||
z0 |
в ряд Лорана вида (4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Для доказательства этой импликации достаточно прове- |
сти предыдущие рассуждения, с соответствующими поправками,
в обратном порядке. |
► |
4. Существенно особая точка функции |
|
Для характеризации существенно особых точек достаточно заметить только, что особая точка функции является существенно особой тогда и только тогда, когда она не является устранимой и полюсом.
Теорема 5. Особая точка z0 функции f(z) является существенно особой тогда и только тогда, когда в некоторой проколотой окрестности этой точки функция раскладывается в ряд Лорана, главная часть которого содержит бесконечное число слагаемых.
Доказательство вытекает непосредственно из теорем 1 и 4.
70
§3. Особые точки функции
Пример 4.
1
Рассмотрим функцию f (z) e z .
Очевидно, функция имеет изолированную особую точку z0 = 0. Разложим функцию в ряд Лорана в проколотой окрестности этой точки.
Для этого в стандартном разложении функции |
ez |
в ряд Маклорена за- |
|||||||||||||
меним переменную z на обратную величину 1z : |
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e z 1 1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
... |
1 |
|
1 |
... |
|||
2! |
|
|
|
n! |
|
||||||||||
z |
z |
2 |
3! |
z |
3 |
|
z |
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд Лорана имеет бесконечное число слагаемых в главной части. Следовательно, z0 = 0 является существенно особой точкой функции.
1
Отсюда, в частности, следует, что предел lim e z не существует!
z 0
Смысл термина "существенно особая точка", в какой-то степени, раскрывает следующее утверждение.
Теорема 6. (Сохоцкого ). Пусть z0 существенно особая точка |
|||||
|
функции f(z). Тогда для любого числа l C { } су- |
||||
|
ществует последовательность { zn } z0 |
при n , |
|||
|
для которой |
lim f (z |
n |
) l . |
|
|
|
n |
|
|
Доказательство опустим.
На этом мы закончим исследование конечных изолированных точек функции и перейдем к рассмотрению бесконечно удаленной точки .
5. Бесконечная особая точка функции
Прежде всего, заметим, что если функция f(z) аналитична в точке z0, то функция и непрерывна в этой точке. Согласно определению непрерывности это означает, что выполняется ра-
венство lim f (z) f (z0 ) . Следовательно, функция f(z) опреде-
z z0
лена в точке z0.
Сохоцкий, Юлиан (1842 - 1927), русский математик.
71
Глава IV. Ряды Лорана
В точке z0 = не определена никакая функция f(z) комплексной переменной. Поэтому для любой такой функции f(z) точка z0 = является особой.
Пусть особая точка |
z0 = функции f(z) является изоли- |
|
рованной. |
Тогда функция аналитична в некотором кольце |
|
R | z | , |
являющемся |
проколотой окрестностью точки z0. |
В этой окрестности функция раскладывается в ряд Лорана:
f (z) n 0
a n |
|
|
|
an zn. |
(5) |
||
zn |
|||
n 1 |
|
||
|
|
Заметим, что в разложении (5) первый ряд является правильной частью ряда Лорана, а второй (степенной ряд) является главной частью ряда Лорана.
Исследование особенности функции в точке z0 = можно выполнить, используя разложение (5), а можно свести к исследованию особенности в конечной точке.
Рассмотрим функцию f 1z . Очевидно, что она имеет в
точке |
z1 |
= 0 |
особенность. Так |
как |
выполняется |
равенство |
||||||||||
lim f |
1 |
|
lim f z , то особые точки |
z0 |
= для |
f(z) |
и z1 = 0 |
|||||||||
z |
0 |
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
f |
1z |
имеют один и тот же характер. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
В равенстве (5) заменим переменную z |
на 1 |
: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 1 |
a n zn |
|
|
. |
|
|
(6) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
z |
n 0 |
|
n 1 |
zn |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
f 1z |
в ряд Лорана. Это |
||||||||
|
|
Мы получили разложение функции |
|
|||||||||||||
разложение имеет место в области |
R | 1 |
| |
, то есть в проколо- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
той окрестности |
0 | z | |
1 |
точки |
z1 = 0. Главные части рядов |
||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
Лорана (5) и (6) имеет одинаковые коэффициенты, поэтому они имеют одинаковое количество слагаемых. Отсюда вытекает следующее утверждение.
72
§3. Особые точки функции
Замечание. Теоремы 1, 4 и 5 верны и для точки z0 = . Рассмотрим, например, первое утверждение. Точка z0 =
является устранимой особой точкой функции f(z) тогда и только
тогда, когда z1 = 0 является устранимой особой точкой функции |
|||||||||
f 1z . Второе условие равносильно тому, что ряд Лорана (6) |
|||||||||
функции f 1z |
не содержит главной части. А это условие равно- |
||||||||
сильно тому, |
что ряд Лорана (5) |
функции |
f(z) не содержит |
||||||
главной части. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим функцию f (z) ez . |
|
|
|
|
|||||
В любой проколотой окрестности R |z| |
точки z0 = имеет |
||||||||
место разложение функции f(z) в ряд Лорана |
|
||||||||
|
ez 1 z |
z2 |
|
z3 |
|
... |
zn |
... |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2! |
3! |
|
|
n! |
|
Ряд Лорана содержит бесконечное число слагаемых в главной части, поэтому точка z0 = является существенно особой.
Из данного примера вытекает, в частности, что предел lim ez z
не существует!
На этом мы закончим исследование особых точек функции комплексной переменной и перейдем к рассмотрению вычетов функции в ее особых точках.
73
Глава IV. Ряды Лорана
Лекция 9
§4. Вычеты функции
1. Определение и вычисление вычетов
Рассмотрим функцию f(z), аналитическую в некоторой проколотой окрестности U (z0 ) : 0 | z z0 | R конечной точки z0 . Возьмем в этой окрестности любой контур C, внутри которо-
го лежит точка z0 и рассмотрим интеграл |
f (z)dz . |
|
C |
Если функция f(z) аналитична и в точке z0, то согласно |
|
теореме Коши для односвязной области f (z)dz 0 . |
|
C |
|
Пусть теперь функция f(z) не аналитична в точке z0. Тогда |
|
z0 - изолированная особая точка функции |
f(z) и внутри контура |
C других особых точек функции нет. Назовем такой контур до-
статочно малым для точки z0 .
Из теоремы Коши для многосвязной области вытекает, что в этом случае интеграл f (z)dz не зависит от выбора контура
C
C, достаточно малого для точки z0 . Поэтому он является своеобразной численной мерой неаналитичности функции в точке z0.
Определение 1. Пусть z0 конечная изолированная особая точ-
|
ка функции |
f(z). Тогда интеграл |
|
1 |
|
f (z)dz |
по доста- |
|||||
|
|
|
||||||||||
2 i |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
точно малому для точки |
|
z0 контуру |
|
C называется выче- |
|||||||
|
том функции f(z) в точке z0. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Обозначение: |
Res f (z) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Res f (z) = |
1 |
|
|
f (z)dz . |
|
|
|
|
(1) |
||
2 i |
|
|
|
|
||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть функция f(z) раскладывается в проколотой окрест-
74
|
|
§4. Вычеты функции |
ности 0 | z z0 | R конечной точки z0 в ряд Лорана: |
||
|
|
|
f (z) |
an (z z0 )n . |
(2) |
|
n |
|
Вид особой точки |
z0 функции f(z) |
полностью характери- |
зуется данным разложением. Покажем, что и вычет Res f (z) од-
z0
нозначно определяется этим разложением.
Теорема 1. Пусть функция f(z) раскладывается в некоторой проколотой окрестности конечной изолированной особой точки z0 в ряд Лорана (2). Тогда выполняется равенство
Res f (z) a 1 . |
(3) |
z0 |
|
Доказательство. Согласно теореме Лорана коэффициенты разложения (2) вычисляются по формуле
an |
1 |
|
f (z)dz |
, |
||
2 i |
(z z |
0 |
)n 1 |
|||
|
|
C |
|
|
|
где C любая окружность с центром в точке z0, лежащая в кольце 0 | z z0 | R . Эта окружность является достаточно ма-
лым контуром для точки z0. Далее, при n = 1 |
получаем: |
||||
a 1 |
1 |
|
f (z)dz Re s f (z) . |
► |
|
2 i |
|||||
|
z0 |
|
|||
|
|
C |
|
Рассмотрим дополнительные способы нахождения вычетов для особых точек каждого вида.
2. Вычет в конечной устранимой особой точке
Вычет функции в конечной устранимой особой точке функции находится наиболее просто.
Следствие из теоремы 1. Если z0 конечная устранимая особая точка функции f(z), то
Res f (z) 0 . |
(4) |
z0 |
|
Доказательство вытекает из равенства (3) и того, что для
75
Глава IV. Ряды Лорана
устранимой особой точки в разложении (2) главная часть ряда Лорана отсутствует. Это означает, что все ее коэффициенты равны 0, в частности a 1 0 .
Пример 1.
Найдем вычет функции f (z) |
sin z |
в особой точке z0 = 0. |
z |
Как было установлено в примере 2 предыдущего параграфа, точка z0 = 0 является конечной устранимой особой точкой функции f(z).
Тогда согласно замечанию получаем Res f (z) 0 .
0
Перейдем к нахождению вычета в полюсе.
3. Вычет в конечном полюсе
Для нахождения вычета функции f(z) в конечном полюсе z0 можно пользоваться формулами (2) и (3). В том случае, когда для функции трудно получить разложение (2), можно использовать другие вычислительные формулы.
Теорема 2. Пусть z0 конечный полюс порядка m функции f(z). Тогда выполняется равенство
Res f (z) |
1 |
|
(z z |
|
)m f (z) |
(m 1) |
|
lim |
|
. |
(5) |
||||
|
0 |
||||||
|
|||||||
z0 |
(m 1)! z z0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
Доказательство. Пусть конечная точка z0 является полюсом порядка m функции f(z). Тогда по теореме 4 из §3 в некоторой
проколотой окрестности U (z0 ) этой точки функция раскладывается в ряд Лорана следующего вида
|
|
|
|
a m |
|
|
a (m 1) |
|
|
a 1 |
|
|
|
|
||||
|
f (z) |
|
|
|
... |
|
an (z z0 )n . |
|||||||||||
( z z )m |
( z z )m 1 |
z z0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Согласно теореме 1 в этом разложении a 1 |
Res f (z) . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
|
Преобразуем разложение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f (z) |
1 |
(a |
|
a |
|
|
|
(z z ) ... a |
|
(z z )m 1 |
a (z z )m ...) . |
|||||||
(z z )m |
m |
(m 1) |
1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76
§4. Вычеты функции
|
|
Обозначим через S(z) |
|
|
сумму степенного ряда, записанно- |
||||||||||||||||||||||||||||
го в скобках. |
|
Тогда |
f (z) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
S(z) |
и по теореме Тейлора |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(z z )m |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
1 |
|
|
S(m 1) (z ) . |
|
Перепишем |
|
первое |
равенство |
так |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
(m 1)! |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S(z) (z z )m f (z) . Оно имеет место для всякого z U (z ) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Так как функция S(m 1) (z) |
непрерывна в точке z0, то можем |
||||||||||||||||||||||||||||||
записать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Res f (z) a |
|
|
|
1 |
|
|
S(m 1) |
(z ) |
|
|
1 |
|
lim (z z |
)m f (z) (m 1) . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
z0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(m 1)! |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
(m 1)! z z0 |
0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Теорема 2 доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
► |
|||||||||||
Следствие 1. |
Если функция f(z) |
|
|
представлена в стандартном |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
виде относительно полюса z0 |
|
порядка m |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
1 |
|
|
|
(z) , |
|
|
|
|
|
|
(6 ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z z |
0 |
)m |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то имеет место равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Res f (z) |
|
|
|
|
1 |
|
|
(m 1) (z ) . |
|
|
|
(6) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
(m 1)! |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Действительно, подставив в правую часть равенства (5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
выражение (6 ) для функции f(z), получим |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Res f (z) |
|
|
1 |
|
|
|
lim (z) (m 1) . |
Отсюда, в силу непрерывности |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
z0 |
|
|
|
(m 1)! z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
производной (m 1) (z) |
вытекает равенство (6). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Найдем вычет Res |
sin 2z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ( z 3)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Точка z0 = 3 является конечной изолированной точкой функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||
f (z) |
sin 2z |
. Представим функцию в виде |
f (z) |
1 |
|
sin 2z . |
Здесь |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( z 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( z 3) |
|
||
функция (z) sin 2z |
аналитична в точке z0 = |
3 и (z0 ) sin 6 0 . Сле- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
довательно, функция f(z) |
|
имеет стандартный вид относительно полюса |
|||||||||||||||||||||||||||||||
z0 = 3 порядка |
m = 3. |
Тогда |
(m 1) |
(z) |
|
|
|
|
4sin 2z . Со- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(z) |
(sin 2z) |
гласно (6) получаем
77
Глава IV. Ряды Лорана
Res f (z) 1 ( 4) sin 2z0 2sin 6 . z0 2!
Для вычета функции в простом конечном полюсе можно
использовать еще одну вычислительную формулу. |
|
|||
В этом случае функцию f(z) |
можно представить в виде |
|||
|
f (z) |
(z) |
, |
(7 ) |
|
|
|||
|
(z) |
|
|
|
где функции (z) |
и (z) аналитичны в точке z0, |
(z0 ) 0 , а |
||
для (z) точка z0 |
является простым нулем. |
|
Действительно, если z0 - простой конечный полюс функ-
|
1 |
|
ции f(z), то ее стандартный вид таков |
f (z) |
|
z z0 |
(z) . В нем
функция (z) аналитична в точке |
z0 |
и (z0 ) 0 . Обозначив |
(z) z z0 , получим для функции |
f(z) |
равенство (7 ). Очевид- |
но, (z) аналитична в точке z0 и эта точка является простым нулем функции (z).
Далее, так как z0 - нуль первого порядка функции (z), то согласно следствию теоремы 1 из §3 предыдущей главы имеем:(z0 ) 0 , (z0 ) 0 . Так как z0 - полюс первого порядка (m = 1) функции f(z), то равенство (5) принимает простой вид
Res f (z) |
lim (z z0 ) f (z) . |
z0 |
z z0 |
Преобразуем это равенство, учитывая предыдущее условие и равенство (7 ):
Res f (z) |
lim |
(z z |
|
) |
(z) |
(z |
) lim |
|
z z0 |
|
|
|
(z0 ) |
. ► |
z |
|
|
0 |
|
( z) |
0 |
|
( z) ( z ) |
(z ) |
|
||||
0 |
z z0 |
|
|
|
|
z z0 |
|
0 |
|
0 |
|
Следствие 2. Если z0 - простой полюс функции f(z) и функция представлена в виде (7 ), то имеет место равенство
|
Res f (z) |
( z0 ) |
. |
(7) |
|
|
|
||||
|
z0 |
( z0 ) |
|
||
Пример 3. |
|
|
|
|
|
Найдем вычет Res |
z 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
sin z |
|
|
|
Точка z0 = 0 является конечной изолированной точкой функции
78
|
|
|
|
|
|
|
|
§4. Вычеты функции |
|||
f (z) |
z 1 |
. Представим функцию в виде |
f (z) |
|
( z) |
|
. Здесь функции |
||||
( z) |
|||||||||||
|
sin z |
|
|
|
|
|
|||||
(z) z 1 и (z) sin z |
аналитичны в точке z0 = 0 |
|
|||||||||
и (z) cos z . |
|||||||||||
Кроме того, (0) 1 0 , |
(0) 0 , (0) 1 0 . |
|
|||||||||
Таким образом, для функции f(z) выполнено условие (7 ). Тогда |
|||||||||||
согласно равенству (7) получаем Res f (z) |
|
(0) |
|
1 1 . |
|||||||
(0) |
|||||||||||
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Перейдем к существенно особой точке функции.
4. Вычет в конечной существенно особой точке
Нахождение вычета функции в конечной существенно особой точке проводится только на основе формулы (3).
Пример 4.
Найдем вычет Res e |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
данном |
случае |
|
|
f (z) e |
1 |
и |
не |
существует |
предела |
||||||||||||||||||
|
|
z |
||||||||||||||||||||||||||
lim f (z) lim e |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 = 0 |
|
||||
|
z |
(см. пример 4 из §3). Поэтому |
является |
|||||||||||||||||||||||||
z z0 |
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конечной существенно особой точкой функции f(z). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
В стандартном разложении функции |
(z) ez |
в ряд Маклорена |
||||||||||||||||||||||||||
в круге | z | заменим переменную z на величину |
1 |
: |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
e |
1z |
1 |
|
1 |
|
1 1 |
|
1 1 |
... ( 1) |
n |
1 1 |
|
... |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
z |
2! |
z |
2 |
3! |
z |
3 |
|
n! |
z |
n |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Это |
равенство |
|
имеет |
место |
|
при |
условии |
|
| 1 |
| |
, то есть |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
0 |z| . Следовательно, равенство является |
|
разложением функции |
||||||||||||||||||||||||||
f(z) в ряд Лорана в проколотой окрестности 0 |z| точки |
z0 = 0. В |
|||||||||||||||||||||||||||
этом ряду |
a 1 1 . Согласно теореме 1 |
тогда Res f (z) a 1 |
1 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь вычеты функции в бесконечно удаленной точке.
79