Lesn4_Rjady
.pdfГлава VI. Интегралы Фурье
Таким образом, верно равенство
|
|
|
|
|
|
|
S( ) S( ) . |
(4) |
|||
Из равенств (2) - (4) вытекают такие свойства спектра S( ). |
|||||
|
1 |
|
|
||
1. Число S(0) |
f (x)dx вещественно и пропорцио- |
2
нально "площади" сигнала f(x).
2. Амплитудный спектр является четным, так как
| S( ) | | S( ) | | S( ) | .
3. Фазовый спектр является нечетным, так как argS( ) argS( ) arg S( ) .
4. Амплитудный спектр интеграла Фурье в комплексной форме в 2 раза меньше, чем в вещественной. Действительно,
| S( ) | 12 | a( ) ib( ) | 12 A( ) .
5. а) Пусть функция f(x) четна. Тогда b( ) 0 и согласно равенству (3) получаем равенство
S( ) 12 a( ) .
Оно означает, что спектр S( ) является вещественным (и четным). Таким образом, если сигнал является четным, то спектр является вещественным (и четным).
Обратно, пусть спектр S( ) является вещественным. Из равенства (3) тогда вытекает равенство b( ) 0 . В этом случае
имеем: f (x) a( ) cos xd . Следовательно, сигнал f(x) явля-
0
ется четным.
Итак, сигнал f(x) является четным тогда и только тогда,
когда спектр S( ) является вещественным (и четным).
б) Пусть теперь функция f(x) нечетна. Тогда a( ) 0 и согласно равенству (3) получаем
120
§4. Спектральный анализ непериодического сигнала.
S( ) 12 b( )i .
Оно означает, что спектр S( ) является мнимым (и нечетным). Таким образом, если сигнал является нечетным, то спектр
является мнимым (и нечетным). Справедливо и обратное утверждение.
Пример.
Выполним спектральный анализ сигнала
0, |
|
|
x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) |
E |
, |
|
x 0; |
2 |
|
|||
|
|
x , |
|
|
Ee |
x 0. |
|||
|
|
|
|
(Параметры 0, E 0 характеризуют структуру сигнала).
Построим |
гра- |
|
|
|
y |
|
||
фик функции. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Проверим |
до- |
|
|
|
E |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
статочные |
условия |
|
|
|
|
|
|
|
представления |
функ- |
|
|
|
. |
|
||
ции f(x) интегралом |
|
|
|
2 |
|
|
||
Фурье. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Очевидно, на |
|
|
0 |
x |
||||
каждом |
конечном |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
промежутке функция кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Рассмотрим интеграл |
| |
f (x) | dx E e xdx . |
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Он сходится, так как сходится ряд |
e n (убывающая геометриче- |
n 0
ская прогрессия). Таким образом, функция f(x) абсолютно интегрируема на R , и ее можно представить интегралом Фурье.
Найдем сначала согласно (2) спектральную плотность функции:
|
|
|
|
|
|
|
|
S( ) 2 |
f (x)e i xdx 2 e xe i xdx |
2 e ( i )xdx = |
|||||
|
1 |
|
|
E |
|
E |
|
|
|
|
0 |
0 |
121
Глава VI. Интегралы Фурье
= |
E e ( i ) x |
|
|
|
E |
0 |
1 |
|
E |
. |
|||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ( i ) |
|
0 |
|
2 |
|
i |
|
2 ( i ) |
|
|||
Итак, S( ) |
E |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 ( i ) |
|
|
|
|
|
|
Представим теперь функцию f(x) интегралом Фурье (см. (1)):
f (x) 2 |
|
||
i ei x d . |
|||
|
E |
1 |
|
|
|
|
Найдем амплитудную и фазовую частотные характеристики сиг-
нала.
АЧХ:
| S( ) | |
E |
|
|
E |
|||
|
|
|
|
. |
|
||
2 | i | |
2 |
|
|
||||
2 2 |
|||||||
График |
функ- |
|
|
|
|
|
|
ции изображен на ри- |
|
|
|
|
|
y |
|
сунке. |
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
|S( )| , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
как всякий амплитудный спектр, четна.
ФЧХ:
( ) arg S( ) arg 2E
Итак,
( ) arctg .
График функции представлен на рисунке.
Функция ( ) , как любой фазовый спектр, нечетна.
|
|
|
0 |
|
|
||
1 |
arg |
1 |
|
|
arg( i ) arctg . |
||
i |
i |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
−2
Перейдем к рассмотрению еще одного свойства интегрального представления функции.
122
§5. Преобразование Фурье
§5. Преобразование Фурье
1. Понятие об интегральном преобразовании
Рассмотрим представление функции f(x) интегралом Фурье в комплексной форме (см. равенства (2) и (1) §4):
S( ) 1 f (x)e i xdx . (1)
2
f (x) S( )ei xd . (2)
Из этих равенств следует, что, зная одну из функций f(x) или S( ), можно найти другую функцию. Функция f(x) используется для временнóго описания сигнала, а функция S( ) - для частотного. В зависимости от ситуации всегда можно перейти от одного языка описания сигнала к другому языку.
Определение 1. Переход от функции f(x) к функции S( ) согласно равенству (1) называется прямым преобразованием Фурье (ППФ). Обратный переход - от функции S( ) к функции f(x) согласно равенству (2) - называется об-
ратным преобразованием Фурье (ОПФ).
В прикладных областях при исследовании физических процессов часто используется аналогичный прием.
Пусть физический процесс описывается функцией f(x). С помощью некоторого преобразования с функцией f(x) связывают другую функцию F(u). В некоторых случаях оказывается, что исследование физического процесса с помощью функции F(u) можно проводить более просто. При этом любое свойство, сформулированное на языке функции F(u), можно сформулировать и на языке функции f(x).
Переход от функции f(x) к функции F(u) называется преобразованием функции f(x). Этот же термин используется и для названия функции F(u) (хотя логически это не совсем коррект-
123
Глава VI. Интегралы Фурье
но).
На практике часто применяют интегральные преобразования, в которых используются вспомогательные функции, называемые ядром преобразования. Введем соответствующие понятия.
Определение 2. Пусть K(x, u) – некоторая функция двух аргументов. Для всякой функции f(x), заданной на промежутке (a; b), интеграл F(u) от параметра u, определяемый равенством
b |
|
F (u) f (x)K (x,u)dx , |
(3) |
a |
|
называется интегральным преобразованием функции f(x).
Функция K(x, u) называется ядром интегрального преобразования.
Как правило, интегральные преобразования классифицируются по виду ядра K(x, u).
Мы уже познакомились с преобразованием Фурье. Согласно равенству (1) оно является интегральным. Его ядро имеет вид
K(x, ) 21 e i x ,
где x, - вещественные переменные.
Позже мы рассмотрим преобразование Лапласа. Его ядро
K(x, p) e px ,
где x – вещественная, а p комплексная переменные.
Если не принимать во внимание коэффициент 21 , то мож-
но считать, что ядро преобразования Фурье является частным случаем ядра преобразования Лапласа, а именно, когда число p является чисто мнимым p = i . Поэтому основные свойства преобразования Фурье вытекают из соответствующих свойств преобразования Лапласа. Последние мы рассмотрим позже достаточно подробно.
124
§5. Преобразование Фурье
2. Косинус- и синус-преобразования Фурье
Пусть функция f(x) определена на промежутке [0; ) .
Представим ее интегралом Фурье в вещественной форме. Рассмотрим два случая.
оопределим функцию f (x) четным образом на промежуток ( ; ) . Получим четную функцию f (x) . Для нее выполняются равенства
|
|
|
|
|
|
a( ) |
2 |
f (x) cos xdx ; |
b( ) 0 . |
(*) |
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) a( ) cos xd ; |
|
(**) |
||
|
|
|
0 |
|
|
Учтем, что для спектра выполняется равенство
S( ) 12 a( ) ib( ) .
Отсюда, так как b( ) 0 , следует равенство |
a( ) 2S( ) . То- |
|||||||||||||
гда равенства (*) и (**) можно переписать так: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
f (x) cos xdx , |
f (x) 2 S( ) cos xd . |
||||||||||||
|
|
S( ) |
|
|||||||||||
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
Для спектра введем обозначение |
S( ) Sc ( ) . Коэффициенты |
|||||||||||||
|
1 |
и 2 распределим равномерно между функциями f (x) |
и S( ) . |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда функции примут вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sc ( ) |
|
2 |
|
f (x) cos xdx ; |
|
(4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f (x) |
2 |
|
|
Sc ( ) cos xd . |
|
(5) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Функция Sc ( ) называется прямым косинус-преобразова-
нием Фурье функции f (x), а функция f (x) - обратным косинус-
преобразованием Фурье.
125
Глава VI. Интегралы Фурье
оопределим функцию f (x) на промежуток ( ; )
нечетным образом. Тогда аналогично равенствам (4) и (5) получим равенства:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ss ( ) |
|
|
2 |
|
f (x)sin xdx ; |
(6) |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) |
2 |
|
|
Ss ( )sin xd . |
(7) |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
Функция Ss ( ) называется прямым синус-преобразовани- ем Фурье функции f (x), а функция f (x) - обратным синус-преоб- разованием Фурье.
Можно показать, что косинус- и синус-преобразования
Фурье обладают свойствами, аналогичными свойствам преобразования Фурье.
126
§1. Понятие оригинала и изображения
Лекция 16
Глава VII.
Элементы операционного исчисления
В данной главе рассматривается аппарат, называемый операционным исчислением, применяемый для решения дифференциальных уравнений, уравнений математической физики и др.
Зарождение операционного исчисления связано с работами английского инженера Хевисайда . Сам по себе этот факт говорит о том, насколько прикладной характер имеет данная теория.
В основе операционного исчисления лежит интегральное преобразование Лапласа. Оно является, в некотором смысле, обобщением преобразования Фурье. С рассмотрения этого преобразования Лапласа мы и начнем знакомство с операционным исчислением.
§1. Понятия оригинала и изображения
данном параграфе, как и далее, будем рассматривать комплекснозначные функции f : R C вещественной переменной t. Будем исследовать только те функции, которые удовлетворяют следующему условию.
Определение 1. Говорят, что функция f(t) имеет конечный показатель роста s, если выполняется условие:
s R M R t 0 |
| | f (t) | Mest . |
(*) |
Условие (*) означает, что на каждом конечном отрезке функция f(t) ограничена по модулю, а при t ее модуль
растет не быстрее, чем показательная функция est с некоторым кратным показателем st.
Хевисайд, О (1850 1925), английский инженер.
127
Глава VII. Элементы операционного исчисления
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = e st |
||||
|
|
Рассмотрим функцию |
f(t) = t |
n |
, |
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
где n N {0}. |
|
|
|
|
|
|
|
y = | f(t) | |
|||||
|
|
Сравним ее с функцией est, где |
1 |
||||||||||
s R +. |
Возьмем |
отношение |
|
||||||||||
|
|
||||||||||||
(t) |
t n |
. Исследуя функцию с по- |
O |
t |
|||||||||
est |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
мощью производной, можно показать, |
|
|
|||||||||||
что она принимает в точке |
|
t |
n |
|
наибольшее значение. Обозначим |
||||||||
|
s |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
его через |
M. Тогда для всякого |
t R + |
выполняется неравенство |
||||||||||
|
t n |
M и, следовательно, |
|
| f (t) | tn M est . |
|||||||||
|
est |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, любое число s R + является показателем роста функции f(t) = t n.
Пример 2. |
|
|
Рассмотрим функцию f(t) = tg t. |
|
|
На конечном промежутке [0; |
|
) функция не ограничена. |
|
2 |
|
Поэтому она не имеет конечного показателя роста. В таких случаях говорят, что функция имеет бесконечный показатель роста.
ассмотрим теперь основное понятие.
Определение 2. Функция f (t): R C называется оригиналом, если она удовлетворяет условиям:
1)f(t) = 0 для всякого t < 0;
2)функция кусочно-непрерывна на любом конечном промежутке;
3)функция f(t) имеет конечный показатель роста s.
Пример 3.
Рассмотрим функцию
1, |
t 0; |
(t) |
t 0. |
0, |
Она называется функцией Хевисайда.
y
1
O |
t |
128
§1. Понятие оригинала и изображения
Условия 1) и 2) из определения оригинала выполнены. Так как 1 = t0, то функция (t) имеет конечный показатель роста и, следовательно, является оригиналом.
Пример 4.
Рассмотрим функцию f(t) = tn.
Как уже было показано, функция имеет конечный показатель роста. Она непрерывна на любом конечном промежутке. Следовательно, обладает свойствами 2) и 3) оригинала. Однако она не обладает свойством 1) оригинала.
Замечание. Если функция f(t) обладает свойствами 2), 3) оригинала, то функция f(t) (t) является оригиналом.
В дальнейшем, для краткости записей, такие оригиналы будем обозначать через f(t). Например, будем кратко писать "оригинал tn " вместо "оригинал tn (t) ".
понятием оригинала тесно связано следующее понятие.
Определение 3. Пусть |
f(t) оригинал. Тогда функция F(p) |
||
|
комплексной переменной p, определяемая равенством |
||
|
|||
|
|
|
|
|
|
F ( p) f (t)e ptdt , |
(1) |
|
|
0 |
|
|
называется изображением оригинала f(t). |
|
|
|
Переход от оригинала f(t) к изображению F(p) |
по фор- |
|
|
муле (1) называется прямым преобразованием Лапласа. |
||
Обозначения: |
|
|
|
|
F(p) f(t); |
f(t) F(p) ; L[f(t)] = F(p). |
|
Замечание. Для оригинала f(t) прямое преобразование Фурье есть частный случай прямого преобразования Лапласа.
Действительно, положив |
в (1) p = i , |
получим прямое |
|
f (t)e i t dt S( ) функции f(t). |
|
преобразование Фурье F ( p) |
||
|
|
|
Рассмотрим, для каких оригиналов f(t) |
определено и ка- |
|
кими свойствами обладает изображение F(p). |
|
|
|
|
129 |