Sb_zadach
.pdf01 Дифференцирование функций нескольких переменных
Частные производные:
|
n = 2 |
1 (3037) |
|
2 (3051) |
|
3 (3043) |
|
4 (3070) |
В точке |
5 (3082) |
n = 3 |
Дифференциалы:
6 (3111) |
в точке |
7 (3105) |
n = 2 |
8 (3103) |
|
9 (3109) |
n = 3 |
10 (3115) |
Приложение |
Домашнее задание
Теория: Частные производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование сложных функций.
Практика: 3042, 3044, 3062, 3081, 3102, 3110, 3104
1
02 Дифференцирование сложных функций нескольких переменных
Частные производные высших порядков m:
|
n = 2 |
1 (3181) |
m = 2 |
2 (3194) |
m = 3 |
3 (3201) |
m = 2 |
Дифференциалы высших порядков m:
4 (3219) |
m = 2 |
5 (3226) |
n = 3 |
6 (3225) |
m = 3 |
Дифференцирование сложных функций
7 (3124) |
n = 2 m = 1 |
8(3126)
9(3128) n = 3 m = 2
10(3137)
11(3129)
12(3133)
Домашнее задание
Теория: Поле комплексных чисел.
Практика: 3182, 3220, 3222, |
3125, 3127, 3130, 3131 |
2
03Поле комплексных чисел
1)Изобразить на комплексной плоскости числа:
|
а) i, |
|
б) 2i, |
|
|
в) 3 + i, |
|
|
г) 5 + 2i. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) |
Записать числа в тригонометрической и показательной формах: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а) |
i, |
б) 1 i √ |
|
, в) 1 + i √ |
|
|
, г) z = cos |
|
+ i cos |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Вывод формулы для . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
Записать комплексное число в алгебраической форме |
|||||||||||||||||||||
|
z = 4(cos + i sin |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
Выполнить действия с комплексными числами: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
а) |
(2 + 3i) + (3 – i); |
|
|
б) |
(2 + 3i)(3 – i); |
в) |
– |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5) |
Для чисел |
z1 = 3 + 2i, |
z2 = 2 + 2i |
|
|
найдите |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
а) |
z |
1 |
̅ |
|
|
б) |
̅ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
Найдите значения числовых выражений: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
; |
|
|
б) |
|
√ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7) |
Найдите корни: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а) |
√ |
|
; |
|
|
б) |
√ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8)Решите квадратное уравнение
+4z + 6 = 0.
Домашнее задание
Теория: Понятие и свойства неопределенного интеграла. Методы вычисления.
Практика:
1. |
Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной |
||||||||||||||||||||||||
|
z = 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
формах: а) |
|
б) |
z = |
|
√ + i √ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2i, |
|
|
= 3 3√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
̅ б) ̅ . |
|||||
2. |
Для чисел |
z |
1 |
= 2√ |
|
z |
2 |
|
i |
найдите: |
а) z |
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ; |
|
|
|||||
3. |
Найдите |
( |
|
√ |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
√ |
√ , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4. |
Найдите квадратный корень из числа: |
а) |
|
б) √ . |
|||||||||||||||||||||
5. |
Решите уравнение |
|
– 1 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 Неопределенный интеграл
Квазитабличные:
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 (1676) |
|
|
xdx |
||||||
2 (1682) |
|
|
|
dh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2gh |
|||||||
|
|
|
|||||||
Метод разложения: |
|||||||||
|
|
1 z |
|
2 |
|
||||
3 (1688) |
|
z |
|
dz |
|||||
4 (1697) |
ctg2 x dx |
||||||||
5 (1699) |
|
(1 2x2 )dx |
|
||||||
|
x2 (1 x2 ) |
||||||||
|
|
||||||||
Непосредственное интегрирование:
6(1703)
7(1705)
8(1712)
9(1707)
10(1719)
11(1718)
12(1723)
13(1745)
14(1912)
sin x d (sin x)
d (1 x2 )
1 x2
2x
x2 1dx
(2xdx3)2
sin3 x cos x dx
(6x 5)dx
2
3x2 5x 6
ln xdxx
ctgx dx
e
xx dx
Интегрирование по частям, замена переменной.
4
1683, 1689, 1696, 1700, 1710, 1713, 1724, 1915
2 Неопределенный интеграл (Замена)
Все в сборе:
1 (1767) |
|
x3dx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
1 x8 |
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||
2 (1919) |
|
|
|
|
dx |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e x (3 e x ) |
|||||||||
|
|||||||||
С остатком: |
|
|
|||||||
3 (1871) |
|
|
4x 3 |
dx |
|||||
|
|
||||||||
|
(x 2)3 |
||||||||
4 (1889) |
|
|
|
|
x5dx |
|
|
||
|
(x2 4) |
2 |
|
||||||
( ) (Остается невыраженным dx) Выделение полного квадрата:
5(1800)
6(1801)
7(1806)
dx
(x 1)2 4 dx
x2 2x 3 dx
8 6x 9x2
Сочетание двух методов:
8(1921)
9(1944)
10(1945)
11(1925)
2x 3 dx
1 x2
(x 2)dx
x2 2x 2 (x 3)dx
3 2x x2 ln x dx
x(1 ln 2 x)
Выход на следующую тему:
12 (1884) |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
e x |
|
||
|
|
|||
Интегрирование по частям.
5
1776, 1815, 1925, 1887, 1888, 1826, 1808
3. Интегрирование по частям
1(1833)
2(1835)
3(1850)
4(1837)
5ln x dx
6(1838)
7(1860)
8(1863)
9(1836)
Интегрирование рациональных дробей
1851, 1853, 1855, 1846, 1862, 1843
6
4. Интегрирование рациональных дробей
Только выделение целой части
1 (1790) |
|
x4dx |
|
x2 1 |
|||
|
Готовое разложение (или тождества СУ)
2 (2012) |
|
xdx |
||
|
|
|
||
( x 1)(2x 1) |
||||
|
||||
3 (2022) |
|
( x2 3x 2)dx |
||
|
x( x2 2x 1) |
|||
|
||||
Вынесение, группировка, использование корней
4(2025)
5(2040)
6(2024) !
x3 1 dx
x3 x2
( x4 1)dx x3 x2 x 1
x2 dx
x3 5x2 8x 4
Квадратичные множители (только запись)
7(2043)
8(2050)
dx
( x 1)2 ( x2 1)
(5x2 12)dx ( x2 6x 13)2
Квадратичные множители (вычисление)
9 (2039) |
|
(2x2 |
3x 3)dx |
|
( x 1)( x2 2x 5) |
||||
|
||||
Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций
2014, 2016, 2026, 2031, 2042, 2045 6. Контрольная работа
7
7. Определенный интеграл
Формула Ньютона-Лейбница:
1(2232)
2(0000)
3(2237)
4(2248)
Замена переменной:
5(2275)
6(2289)
Пересчет границ
7(2280)
8(2282)
9(2309)
Интегрирование по частям
10(2260)
11(2261)
Домашнее задание
Теория: Несобственные интегралы.
Практика: 2250, 2257, 2264, 2276, 2288.
8
8. Несобственные интегралы
Интегралы I рода
1 (2366) по определению
2(2367)
3(2368)
4(2370)
5(2371)
6(2378-)
7(2372-)
Признаки сходимости
8 (2386) |
2 признака |
9(2387)
10(2392)
Интегралы II рода
11(2394)
12(2396)
13(2399)
14(2395)
Признаки сходимости
15(2412)
16(2413)
Домашнее задание
Теория: Геометрические приложения определенного интеграла.
Практика: 2376, 2369, 2398, 2388, 2389, 2408.
9
|
|
9. Приложения определенного интеграла |
|
Площадь плоской фигуры |
|
1 |
(2482а) |
[2, 4], в декартовых координатах |
2 |
(2458) |
|
3 |
(2455) |
! |
4 |
(2490) |
параметрически, циклоида |
5 |
(2502) |
в полярных координатах, лемниската |
Длина кривой
6 (2521) в декартовых координатах
7 (2491 длину) параметрически, астроида
Домашнее задание
Теория: Диф-ные уравнения с разделяющимися переменными.
Практика: 2460, 2496, 2522, 2490 (длину).
10