DifYr
.pdf1.6.Уравнения вида y0 = f(x)
Задано дифференциальное уравнение
dy |
= f(x); |
(1.14) |
||
dx |
|
|||
|
|
где f : (a; b) -! R непрерывна на (a; b). Областью определения уравнения (1.14) является полоса
D = f(x; y) j a < x < b; -1 < y < 1g R2:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
В курсе интегрального исчисления показано, что все функции
y = F(x) + C; C 2 R; |
(1.15) |
Z
где F(x) = f(x) dx одна из первообразных для функ-
ции f на (a; b), являются решениями дифференциального уравнения (1.14) на интервале (a; b), при каждом фиксированном C 2 R.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Покажем, что соотношение (1.15) есть общее решение дифференциального уравнения (1.14) в области D.
Фиксируем произвольную точку (x0; y0) 2 D. Положим C = y0-F(x0). Тогда y = F(x)+C есть решение уравнения (1.14) на интервале (a; b), график которого проходит через выбранную точку (x0; y0) 2 D.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пусть y = '(x) решение уравнения (1.14) на интервале (a; b), график которого лежит в области D.
Возьмём произвольное x1 2 (a; b) и положим y1 = '(x1), т.е. точка (x1; y1) 2 graf '. Тогда через точку
(x1; y1) 2 graf ' D проходит интегральная кривая y = F(x) + C ; a < x < b, где C = y1 - F(x1). В силу теоремы 1 (Коши), для всех x 2 (a; b) имеем
'(x) = F(x) + C :
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Таким образом, выражение (1.15) есть общее решение уравнения (1.14) в области D. Задаваясь определённым численным значением C, мы получаем частное решение. Все частные решения являются непрерывными и дифференцируемыми функциями от x во всём интервале a < x < b.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Для выяснения смысла произвольной постоянной в формуле (1.15) целесообразно написать первообразную F функции f на интервале (a; b) в виде определённого
интеграла с переменным верхним пределом:
Zx
y = f(t) dt + C; |
(1.16) |
x0
где x0 – любая точка интервала (a; b).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Если дать переменному x значение x0, то мы получим:
y(x0) = C:
Обозначая значение искомой функции при x = x0 через
y0, получаем вместо формулы (1.16): |
|
Zx |
(1.17) |
y = y0 + f(t) dt: |
|
x0 |
|
Таким образом, частное решение вполне определится,
если задать начальное значение искомой функции, т. е. то значение, которое она должна принимать при неко-
тором определённом (начальном) значении x0 независимого переменного.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Итак:
через каждую точку полосы
D = f(x; y) j a < x < b; -1 < y < 1g R2
плоскости xOy проходит единственная интегральная кривая уравнения (1.14);
любая интегральная кривая уравнения (1.14) может
быть получена из одной определённой, например, из
Zx
y = F(x) = f(t) dt, путём переноса graf F парал-
x0
лельно оси Oy на (положительный или отрицательный) отрезок C = y0.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 1. Решить уравнение |
|
y0 = cos x: |
(1.18) |
Решение. Область определения уравнения (1.18) – всё пространство R2.
Правая часть уравнения (1.18) непрерывна на R2.
Определим тип уравнения.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Общее решение уравнения (1.18) в R2 имеет вид
Z
y = cos x dx + C = sin x + C:
y0 = cos x
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit