- •Глава 1
- •§ 1. Затраты алгоритма для данного входа, алгебраическая сложность
- •§ 1. Затраты алгоритма для данного входа
- •§ 1. Затраты алгоритма для данного входа
- •§ 1. Затраты алгоритма для данного входа
- •§ 1. Затраты алгоритма для данного входа
- •§ 2. Асимптотические оценки (формализм)
- •§ 2. Асимптотические оценки (формализм)
- •§ 2. Асимптотические оценки (формализм)
- •§ 3. Асимптотические оценки (два примера) 23
- •§ 3. Асимптотические оценки (два примера)
- •§ 3. Асимптотические оценки (два примера)
- •§ 3. Асимптотические оценки (два примера)
- •§ 3. Асимптотические оценки (два примера)
- •§ 4. Длина числа как возможный размер входа
- •§ 4. Длина числа как возможный размер входа
- •§ 4. Длина числа как возможный размер входа
- •§ 4. Длина числа как возможный размер входа
- •Глава 2
- •§ 5. Понятие сложности в среднем
- •§ 5. Понятие сложности в среднем
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 5. Понятие сложности в среднем
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 6. Сортировка и конечные вероятностные пространства.
- •§ 6. Сортировка и конечные вероятностные пространства 47
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 6. Сортировка и конечные вероятностные пространства 49
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 6. Сортировка и конечные вероятностные пространства 51
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 7. Пример медленного роста сложности в среднем
- •§ 7. Пример медленного роста сложности в среднем в сравнении со сложностью в худшем случае
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 7. Пример медленного роста сложности в среднем 55
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 7. Пример медленного роста сложности в среднем
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 8. Функция затрат рандомизированного алгоритма
- •§ 8. Функция затрат рандомизированного алгоритма
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 8. Функция затрат рандомизированного алгоритма
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 8. Функция затрат рандомизированного алгоритма
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •Глава 3
- •§ 9. Функции, убывающие по ходу выполнения алгоритма
- •§ 9. Функции, убывающие по ходу выполнения алгоритма 75
- •§ 9. Функции, убывающие по ходу выполнения алгоритма 77
- •§ 9. Функции, убывающие по ходу выполнения алгоритма 79
- •§ 9. Функции, убывающие по ходу выполнения алгоритма 81
- •§ 10. Качество оценок
- •§ 10. Качество оценок
- •§ 10. Качество оценок
- •§ 10. Качество оценок
- •§ 11. Завершимостъ работы алгоритма
- •§ 11. Завершимость работы алгоритма
- •§ 11. Завершимостъ работы алгоритма
- •§ 11. Завершимостъ работы алгоритма
- •§ 12. Вложенные циклы (дополнительные примеры)
- •§ 12. Вложенные циклы (дополнительные примеры)
- •§ 13. Нецелые размеры входа и непрерывные оценочные функции 97
- •§ 13. Нецелые размеры входа и непрерывные оценочные функции
- •§ 13. Нецелые размеры входа и непрерывные оценочные функции 99
- •Глава 4
- •§ 14. Понятие нижней границы сложности
- •§ 14. Понятие нижней границы сложности
- •§ 15. Оптимальные алгоритмы
- •§ 15. Оптимальные алгоритмы
- •§ 15. Оптимальные алгоритмы
- •§ 15. Оптимальные алгоритмы
- •§ 16. Асимптотические нижние границы. Алгоритм, оптимальный по порядку сложности
- •§ 16. Асимптотические нижние границы
- •§ 16. Асимптотические нижние границы
- •§ 17. Нижняя граница сложности в среднем
- •§ 17. Нижняя граница сложности в среднем
- •§ 17. Нижняя граница сложности в среднем
- •§ 17. Нижняя граница сложности в среднем
- •§ 17. Нижняя граница сложности в среднем 125
- •§ 18. Нижние границы сложности рандомизированных алгоритмов. Принцип Яо
- •§18. Нижние границы сложности рандомизированных алгоритмов 127
- •Глава 5
- •§ 19. Битовые операции
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 19. Битовые операции
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 20. Наивная арифметика: умножение
- •§ 20. Наивная арифметика: умножение
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 20. Наивная арифметика: умножение
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 21. Наивная арифметика: деление с остатком
- •§ 21. Наивная арифметика: деление с остатком
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 21. Наивная арифметика: деление с остатком
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 22. Модулярная арифметика
- •§ 22. Модулярная арифметика
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 22. Модулярная арифметика
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 22. Модулярная арифметика
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 23. Булева арифметика
- •§ 23. Булева арифметика
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 23. Булева арифметика
- •Глава 5. Битовая сложность
- •Глава 5. Битовая сложность
- •Глава 6
- •§ 24. Простейшие рекуррентные уравнения
- •§ 24. Простейшие рекуррентные уравнения
- •§ 24. Простейшие рекуррентные уравнения
- •§ 25. Об одном классе нелинейных рекуррентных соотношений 163
- •§ 25. Об одном классе нелинейных рекуррентных соотношений
- •§ 25. Об одном классе нелинейных рекуррентных соотношений 165
- •§ 25. Об одном классе нелинейных рекуррентных соотношений 167
- •§26. Асимптотические оценки решений рекуррентных неравенств 169
- •§ 26. Асимптотические оценки решений рекуррентных неравенств
- •§ 26. Асимптотические оценки решений рекуррентных неравенств 171
- •§ 27. Добавление нулей
- •§ 27. Добавление нулей 173
- •§ 27. Добавление нулей 175
- •§ 27. Добавление нулей
- •§ 27. Добавление нулей 179
- •Глава 7 Сводимость
- •§ 28. Линейная сводимость
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 28. Линейная сводимость
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 28. Линейная сводимость
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 29. Линейная сводимость и нижние границы сложности
- •§ 29. Линейная сводимость и нижние границы сложности 191
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 29. Линейная сводимость и нижние границы сложности 193
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 30. Классы PиNp
- •§ 30. Классы р и np
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 30. Классы PuNp
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 30. Классы PuNp
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 31. Существование задач распознавания, не принадлежащих р 201
- •§ 31. Существование задач распознавания, не принадлежащих р. Связь моделей мт и рам
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 31. Существование задач распознавания, не принадлежащих р 203
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 32. Полиномиальная сводимость. Np-полные задачи
- •§ 32. Полиномиальная сводимость. Np-полные задачи
- •Глава 7. Сводимость
- •Глава 7. Сводимость
- •Глава 7. Сводимость
- •Глава 7. Сводимость
- •Глава 1. Сложности алгоритмов как функции числовых аргументов. Сложность в худшем случае
- •119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83
Глава 7. Сводимость
алгоритм Штрассена умножения матриц, модифицированный для булева случая (пример 27.2), имеет сложность O(n1о&7). Но для небольших значений n условия 1—3 здесь выполняться не будут. Однако соотношение (28.6) можно доказать при более слабых предположениях, чем использованные выше, и обсуждавшееся доказательство не потребует больших изменений. А именно, достаточно предположить, что B{n) удовлетворяет условиям 2—3 для n > n0, где n0 — некоторое натуральное число (см. задачу 143б). Получится оценка T{n) s= cB{n), где c зависит от B(n0), но эта зависимость не влияет на (28.6).
Для нахождения транзитивно-рефлексивного замыкания ориентированного графа с n вершинами существует алгоритм, сложность которого допускает оценку O(n2>82), или, более точно, оценку O(n1о&7).
Как показывает последний пример, если P ^ Q, то прогресс в умении быстро решать задачу Q может в некоторых случаях обеспечить прогресс и в умении быстро решать задачу P. Но это не всегда так. Допустим, что n является нижней границей сложности для алгоритмов решения задачи Q и в то же время для задачи P имеется алгоритм решения со сложностью, меньшей n. Согласно определению 28.1 мы имеем P ^ Q, но наличие этой линейной сводимости ничего не дает для продвижения в умении быстро решать задачу P.
Отношение линейной сводимости, очевидно, рефлексивно. Если не рассматривать упомянутых в определении 28.1 дополнительных условий, то это отношение будет транзитивным. В тех случаях, когда такие условия наложены, необходима осмотрительность: если для задач P, Q и R мы имеем P ^ Q при некоторых условиях на сложность алгоритмов решения Q, а также Q ^ R при соответствующих условиях на сложность алгоритмов решения R, то чтобы на основании этого утверждать, что P ^R, надо дополнительно установить, что сложности тех алгоритмов решения задачи Q, которые сопоставляются алгоритмам решения задачи R, удовлетворяют условиям, налагаемым на сложности алгоритмов решения задачи Q при доказательстве отношения P^Q. Это обстоятельство иногда безосновательно игнорируется.
§ 29. Линейная сводимость и нижние границы сложности
Нижеприведенная теорема является следствием определения 28.1.
Теорема 29.1. Пусть задачи P и Q таковы, что P s= Q. Пусть f(n) — асимптотическая нижняя граница сложности алгоритмов решения задачи P, и при этом соотношение P^Qустанавливается без
§ 29. Линейная сводимость и нижние границы сложности 191
наложения ограничений на сложность алгоритмов решения задачи Q. Тогда f(n) является асимптотической нижней границей сложности алгоритмов решения задачи Q.
Доказательство. Для каждого алгоритма AQ решения задачи Q найдется такой алгоритм AP решения задачи P, для которого TA (n) = = O(TAQ (n)), или, эквивалентно, TAQ (n) = П(TAP (n)). Но TAP (n) = = П(f(n)), следовательно, TAQ (n) = П(/(n)). П
Если при соблюдении условия этого предложения для какого-то алгоритма AQ решения задачи Q имеет место оценка TA (n) = = O(f(n)), то этот алгоритм будет оптимальным по порядку сложности и TA ( n) = в( f (n)). (При наличии ограничений на сложность
q
алгоритма AQ, когда фактически предполагается, что AQ принадлежит некоторому классу J2, речь должна бы идти об оптимальности по порядку сложности в классе 21; но если ограничения таковы, что в класс £2. попадают наиболее рациональные алгоритмы, то упоминание класса Ш не обязательно.)
Пример 29.1. Вновь рассмотрим задачу построения выпуклой оболочки конечного множества точек с помощью арифметических операций и сравнений. Многоугольник, являющийся выпуклой оболочкой, представляется массивом своих вершин в порядке их следования при обходе в некотором направлении, обычно против часовой стрелки, начиная с некоторой вершины. Мы покажем, что задача сортировки массивов вещественных чисел с помощью арифметических операций и сравнений линейно сводится к задаче построения выпуклой оболочки в этой постановке, считая, что в этих задачах затраты измеряются общим числом арифметических операций и сравнений. Но если порядок вершин выпуклой оболочки, которую надо построить, может быть произвольным, то задача меняется, и про нее мы ничего не утверждаем.
Пусть x1,x2,...,xn — данный массив попарно различных вещественных чисел. Решив задачу построения выпуклой оболочки множества точек с координатами
( x 1,x21),( x2,x 22),...,( xn,xn2)
(см. рис. 23), мы можем, двигаясь по вершинам построенного многоугольника, найти вершину с наименьшей абсциссой, а затем построить массив вершин в порядке возрастания абсцисс. Сложность этой дополнительной части работы допускает оценку O(n). Легко видеть, что сложность любого алгоритма построения выпуклой оболочки не
192