- •Глава 1
- •§ 1. Затраты алгоритма для данного входа, алгебраическая сложность
- •§ 1. Затраты алгоритма для данного входа
- •§ 1. Затраты алгоритма для данного входа
- •§ 1. Затраты алгоритма для данного входа
- •§ 1. Затраты алгоритма для данного входа
- •§ 2. Асимптотические оценки (формализм)
- •§ 2. Асимптотические оценки (формализм)
- •§ 2. Асимптотические оценки (формализм)
- •§ 3. Асимптотические оценки (два примера) 23
- •§ 3. Асимптотические оценки (два примера)
- •§ 3. Асимптотические оценки (два примера)
- •§ 3. Асимптотические оценки (два примера)
- •§ 3. Асимптотические оценки (два примера)
- •§ 4. Длина числа как возможный размер входа
- •§ 4. Длина числа как возможный размер входа
- •§ 4. Длина числа как возможный размер входа
- •§ 4. Длина числа как возможный размер входа
- •Глава 2
- •§ 5. Понятие сложности в среднем
- •§ 5. Понятие сложности в среднем
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 5. Понятие сложности в среднем
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 6. Сортировка и конечные вероятностные пространства.
- •§ 6. Сортировка и конечные вероятностные пространства 47
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 6. Сортировка и конечные вероятностные пространства 49
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 6. Сортировка и конечные вероятностные пространства 51
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 7. Пример медленного роста сложности в среднем
- •§ 7. Пример медленного роста сложности в среднем в сравнении со сложностью в худшем случае
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 7. Пример медленного роста сложности в среднем 55
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 7. Пример медленного роста сложности в среднем
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 8. Функция затрат рандомизированного алгоритма
- •§ 8. Функция затрат рандомизированного алгоритма
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 8. Функция затрат рандомизированного алгоритма
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •§ 8. Функция затрат рандомизированного алгоритма
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •Глава 2. Сложность в среднем
- •Глава 3
- •§ 9. Функции, убывающие по ходу выполнения алгоритма
- •§ 9. Функции, убывающие по ходу выполнения алгоритма 75
- •§ 9. Функции, убывающие по ходу выполнения алгоритма 77
- •§ 9. Функции, убывающие по ходу выполнения алгоритма 79
- •§ 9. Функции, убывающие по ходу выполнения алгоритма 81
- •§ 10. Качество оценок
- •§ 10. Качество оценок
- •§ 10. Качество оценок
- •§ 10. Качество оценок
- •§ 11. Завершимостъ работы алгоритма
- •§ 11. Завершимость работы алгоритма
- •§ 11. Завершимостъ работы алгоритма
- •§ 11. Завершимостъ работы алгоритма
- •§ 12. Вложенные циклы (дополнительные примеры)
- •§ 12. Вложенные циклы (дополнительные примеры)
- •§ 13. Нецелые размеры входа и непрерывные оценочные функции 97
- •§ 13. Нецелые размеры входа и непрерывные оценочные функции
- •§ 13. Нецелые размеры входа и непрерывные оценочные функции 99
- •Глава 4
- •§ 14. Понятие нижней границы сложности
- •§ 14. Понятие нижней границы сложности
- •§ 15. Оптимальные алгоритмы
- •§ 15. Оптимальные алгоритмы
- •§ 15. Оптимальные алгоритмы
- •§ 15. Оптимальные алгоритмы
- •§ 16. Асимптотические нижние границы. Алгоритм, оптимальный по порядку сложности
- •§ 16. Асимптотические нижние границы
- •§ 16. Асимптотические нижние границы
- •§ 17. Нижняя граница сложности в среднем
- •§ 17. Нижняя граница сложности в среднем
- •§ 17. Нижняя граница сложности в среднем
- •§ 17. Нижняя граница сложности в среднем
- •§ 17. Нижняя граница сложности в среднем 125
- •§ 18. Нижние границы сложности рандомизированных алгоритмов. Принцип Яо
- •§18. Нижние границы сложности рандомизированных алгоритмов 127
- •Глава 5
- •§ 19. Битовые операции
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 19. Битовые операции
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 20. Наивная арифметика: умножение
- •§ 20. Наивная арифметика: умножение
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 20. Наивная арифметика: умножение
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 21. Наивная арифметика: деление с остатком
- •§ 21. Наивная арифметика: деление с остатком
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 21. Наивная арифметика: деление с остатком
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 22. Модулярная арифметика
- •§ 22. Модулярная арифметика
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 22. Модулярная арифметика
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 22. Модулярная арифметика
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 23. Булева арифметика
- •§ 23. Булева арифметика
- •Глава 5. Битовая сложность
- •§ 23. Булева арифметика
- •Глава 5. Битовая сложность
- •Глава 5. Битовая сложность
- •Глава 6
- •§ 24. Простейшие рекуррентные уравнения
- •§ 24. Простейшие рекуррентные уравнения
- •§ 24. Простейшие рекуррентные уравнения
- •§ 25. Об одном классе нелинейных рекуррентных соотношений 163
- •§ 25. Об одном классе нелинейных рекуррентных соотношений
- •§ 25. Об одном классе нелинейных рекуррентных соотношений 165
- •§ 25. Об одном классе нелинейных рекуррентных соотношений 167
- •§26. Асимптотические оценки решений рекуррентных неравенств 169
- •§ 26. Асимптотические оценки решений рекуррентных неравенств
- •§ 26. Асимптотические оценки решений рекуррентных неравенств 171
- •§ 27. Добавление нулей
- •§ 27. Добавление нулей 173
- •§ 27. Добавление нулей 175
- •§ 27. Добавление нулей
- •§ 27. Добавление нулей 179
- •Глава 7 Сводимость
- •§ 28. Линейная сводимость
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 28. Линейная сводимость
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 28. Линейная сводимость
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 29. Линейная сводимость и нижние границы сложности
- •§ 29. Линейная сводимость и нижние границы сложности 191
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 29. Линейная сводимость и нижние границы сложности 193
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 30. Классы PиNp
- •§ 30. Классы р и np
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 30. Классы PuNp
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 30. Классы PuNp
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 31. Существование задач распознавания, не принадлежащих р 201
- •§ 31. Существование задач распознавания, не принадлежащих р. Связь моделей мт и рам
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 31. Существование задач распознавания, не принадлежащих р 203
- •Глава 7. Сводимость
- •§ 32. Полиномиальная сводимость. Np-полные задачи
- •§ 32. Полиномиальная сводимость. Np-полные задачи
- •Глава 7. Сводимость
- •Глава 7. Сводимость
- •Глава 7. Сводимость
- •Глава 7. Сводимость
- •Глава 1. Сложности алгоритмов как функции числовых аргументов. Сложность в худшем случае
- •119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83
§ 27. Добавление нулей
177
использовании простейшего алгоритма, основанного на определении произведения матриц):
Хг = (Аи + А22) (Вп + Ваг), *5 = (Ац + А12)В22, Х2 = (А21 + А22)В1Ъ Х6 = (А21 - Ап) (Вп + В12),
Х3 = АП(В12 -В22), Х7 = (А12 - А22)(В21 + В22),
Х4=А22(В21-Вп), далее используются только аддитивные операции:
Сп=Х1+Х4-Х5+Х7, c12 = x3+xs,
с21 = х2 + х4, с22 = х1 + х3-х2 + х6.
В правильности этого можно убедиться прямой проверкой.
Равенство п = 2к создает возможность для рекурсивного применения алгоритма. Алгоритм Штрассена будем обозначать начальными буквами St фамилии его автора.
В приведенных формулах использовано восемнадцать сложений матриц порядка Z. Сложение двух матриц порядка Z требует I2 сложений чисел. В предположении, что n = 2fc,fceN, имеем для общего числа операций—сложений и умножений чисел:
1, если п = 1,
Га(п) =
ГпЛ ГпЛ2 (27.12)
7rSt(JJ+18(Jj , еслип>1.
Если п е N+ произвольно, то вначале к матрицам А и В добавляются нулевые строки и столбцы (см. (27.2)) так, чтобы порядки матриц стали равными 2Г1о&п1, а затем применяется описанный рекурсивный алгоритм. Рассматривая равенство (27.12) как систему двух неравенств со знаками ^ и ^ и применяя теоремы 27.1 и 27.2, получаем следующий результат.
Сложность Га(п) по числу арифметических операций алгоритма Штрассена перемножения двух числовых матриц порядка п допускает оценку rst(n) = e(nl0&7), в то время как алгоритм, непосредственно следующий из определения произведения матриц, имеет сложность в(п3) (при этом log2 7 = 2,81...).
Что касается булевых матриц, то алгоритм Штрассена не может быть непосредственно применен для их умножения по той, например, причине, что этим алгоритмом используется вычитание, для которого нет аналога в булевой арифметике. Но матрицы А и В порядка п, состоящие из нулей и единиц, можно перемножить как
178 Глава 6. Рекуррентные соотношения и сложность алгоритмов
O(n1о&7),-смысл
целочисленные. Каждый элемент такого произведения не превосходит n, он равен нулю, если и только если соответствующий элемент произведения булевых матриц равен нулю. Для того, чтобы в процессе применения алгоритма Штрассена к целочисленным матрицам не возникало больших промежуточных значений, здесь можно все вычисления проводить по модулю n + 1, т. е. проводить вычисления не в кольце Z, а в кольце Zn+1. Если M{n)—некоторая верхняя граница для числа битовых операций, затрачиваемых при выполнении одной операции сложения, вычитания или умножения в Zn+1, то сложность модифицированного таким способом алгоритма Штрассена будет допускать оценку O{nъ^7M{n)). Наивное умножение в Zn+1 дает M(n) = O(log2 n). Таким образом, M{n) растет очень медленно в сравнении с остальными затратами. Так как log2 7 = 2,81..., мы можем использовать для сложности алгоритма Штрассена, модифицированного на булев случай, например, оценку O(n2'82) или оценку O(n1о&7), —смысл «O мягкого» объяснялся в конце § 22.
Применение алгоритма Штрассена и арифметики по модулю n + 1 дает алгоритм умножения двух булевых матриц порядка n, битовая сложность которого допускает оценки O{nъ^7) и O(n2'82).
Мы ограничились рассмотрением применения стратегии «разделяй и властвуй» для случая, когда в результате этапа разделения возникают две задачи, и каждый из размеров входа примерно вдвое меньше изначального размера. Иногда разделение приводит к трем и более задачам.
В 1963 г. А.Л.Тоом обобщил идею умножения Карацубы1. Пусть s — большее единицы целое. Предполагая, что битовая длина m каждого из сомножителей имеет вид sk, k е N, последовательность двоичных цифр каждого из сомножителей можно разбить на s групп по sk-1 цифр. Тоом показал, что умножение исходных чисел сводится к 2s - 1 умножениям чисел битовой длины sk-1 (в умножении Карацубы s = 2, 2s - 1 = 3), остальные затраты—сложения, сдвиги—будут ограничены функцией cm, где c — зависящая от выбора s константа. Здесь этап разделения приводит к 2s - 1 задачам. Для умножения То-ома (TM) неравенство
1, если
m
= 1,
(2s
-
1)T^
( —
) + cm,
если
m
> 1,
См. [36], [4].