![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •Рабочая программа по дисциплине
- •Список рекомендуемой литературы Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Рейтинговая система оценки успеваемости
- •5. Контрольные работы
- •6. Индивидуальные задания
- •Входной и выходной токи связаны с токами невырожденных контуров выражениями
- •Подпрограмма удаления из матрицы м
- •Определение ачх коэффициента передачи по напряжению
- •Входное и выходное напряжения связаны с напряжениями главных сечений выражениями
- •Расчет ачх и фчх избирательного rc-усилителя
- •Так как при нумерации главных сечений сначала следуют невырожденные сечения, а затем вырожденные, матрица главных сечений имеет вид:
- •Входной и выходной токи связаны с компонентами вектора токов z-ребер выражениями:
- •Входной и выходной токи связаны с токами независимых контуров выражениями
- •Система координат представляет собой совокупность независимых сечений. Выберем каноническую систему сечений, обозначенную на рис. 6.21.
- •Система координат представляет собой совокупность независимых контуров. Выберем каноническую систему контуров, обозначенную на рис. 6.27. Матрица независимых контуров имеет размерность :
- •Расчет ачх и фчх избирательного rc-усилителя
- •Матрица проводимостей пассивной части схемы
- •В результате система вк-уравнений может быть преобразована:
- •7. Коллоквиум
- •Вопросы коллоквиума
- •8. Экзамен
- •Эквивалентные схемы активных электронных компонентов
В результате система вк-уравнений может быть преобразована:
,
откуда
,
(6.58)
где
- вектор узловых напряжений, равных
напряжениям ветвей нормального дерева
(
)
и контурных токов, равных токам хорд
(
);
- вектор задающих токов и задающих
э.д.с..
Принимая
во внимание распределение дуг графа на
подмножества и порядок записи
топологических матриц, вектор
напряжений ветвей дерева, вектор
токов хорд и вектор
задающих токов и напряжений можно
представить в виде:
,
,
,
тогда
Из-за
наличия нулевых строк и столбцов в
компонентной матрице
ранг матрицы
меньше ее порядка. После исключения
нулевых столбцов из матрицы
систему ВК-уравнений (6.58) можно записать
,
(6.59)
где
,
.
С
учетом принятого распределения дуг
полюсного графа на подмножества матрица
эквивалентных параметров
имеет вид:
Из
сопоставления матриц
,
и векторов
,
,
следует, что в системе ВК-уравнений
(6.59) уравненияE-дуг
и J-дуг
представляют собой тождества, и,
следовательно, могут быть исключены
путем удаления из матриц соответствующих
строк.
После
удаления строк для разделения переменных
состояния и алгебраических переменных
из столбцов матриц
и
,
соответствующих переменным состояния
формируют матрицы
,
,
из
столбцов матрицы
,
соответствующих алгебраическим
переменным, формируют матрицу
,
из
столбцов матриц
и
,
соответствующих задающим токам и э.д.с.
независимых источников, формируют
матрицы
,
.
В результате система ВК-уравнений (6.59) принимает вид:
или
,
(6.60)
где
;
- вектор переменных состояния;
- вектор алгебраических переменных;
- вектор задающих токов и э.д.с. независимых
источников.
Если
матрица
неособенная (
),
то из системы уравнений (6.60) следует:
.
(6.61)
Выделяя в выражении (6.61) подматрицы, соответствующие переменным состояния и алгебраическим переменным, получаем уравнение
,
которое разделяется на уравнение состояния в операторной форме
и алгебраическое уравнение
.
Переходя от операторной формы записи уравнений к временной, получаем
,
.
В
системе ВК-уравнений рассматриваемой
схемы избирательного усилителя вектор
напряжений ветвей дерева содержит
компонентов
,
вектор
токов хорд –
компонентов
,
а
вектор
задающих токов и напряжений ветвей и
вектор
напряжений ветвей дерева и контурных
токов –
компонентов:
,
Матрицы
и
имеют размерность
,
,
матрица
-
,
матрицы
и
-
,
.
При
этом поскольку
,
то
.
Используя
матрицы
,
,
,
и
,
получаем
,
(6.62)
где
,
,
.
Поскольку
,
то из (6.62) следует
,
(6.63)
.
(6.64)
Матрица
состояния
имеет
порядок и образована из первых
строк матрицы
.
Матрица
управления
имеет размерность
и образована из первых
строк матрицы
.
Матрица
имеет размерность
и образована из последних
строк матрицы
.
Матрица
имеет размерность
и образована из последних
строк матрицы
.
В
качестве переменных реакции схемы
заданы входной ток
,
выходной ток
и выходное напряжение
,
поэтому вектор выходных переменных
математической модели в базисе переменных
состояния содержит
компонента:
.
Из
схемы замещения избирательного усилителя
следует, что
.
Учитывая положение переменной
в векторе переменных состояния
и используя уравнение состояния (6.63),
находим:
,
(6.65)
где
- вектор размерности
,
выделяющий составляющую
из вектора переменных состояния.
Для
переменной
справедливо
,
поэтому, принимая во внимание положение
в векторе алгебраических переменных и
применяя алгебраическое матричное
уравнение (6.64), получим:
,
(6.66)
где
- вектор размерности
,
выделяющий составляющую
из вектора алгебраических переменных.
Поскольку
,
то, используя (6.66), определяем:
.
(6.67)
Записывая уравнения (6.65), (6.66) и (6.67) в матричной форме, получаем матричное выходное уравнение в базисе переменных состояния:
или
,
где
- матрица выхода;
- матрица входа.
Матрица
выхода
имеет размерность
,
а матрица входа
- размерность
.
Таким образом, сформированная математическая модель схемы избирательного усилителя в базисе переменных состояний в обобщенной матричной форме имеет вид:
,
(6.68)
.
Для
получения комплексных частотных схемных
функций, соответствующих заданным
переменным реакции схемы представим
систему уравнений (6.68) в операторной
форме, применяя преобразование Фурье:
,
(6.69)
.
(6.70)
Определяя
из уравнения (6.69) вектор
и подставляя его в уравнение (6.70), найдем
,
где
- матричная комплексная частотная
функция.
Матричная
комплексная частотная функция в общем
случае представляет собой комплексную
матрицу, которая имеет размерность
:
,
где
- комплексная частотная функция для
переменной реакции
при переменной воздействия
.
При использовании комплексных частотных функций расчет амплитудно-частотных и фазо-частотных характеристик осуществляется по выражениям
,
.
Для
схемы избирательного усилителя рис.
6.29 матричная комплексная частотная
функция имеет размерность
,
причем:
,
где
- комплексная частотная функция для
переменной реакции
;
- комплексная частотная функция для
переменной реакции
;
- комплексная частотная функция для
переменной реакции
.
Аналитическое решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка (6.63) имеет вид:
,
(6.71)
где
- вектор начальных условий переменных
состояния в момент времени
;
- экспоненциальная матрица (матричная
экспонента).
При
выражение (6.71) приводится к виду
,
а
при нулевых начальных условиях ()
.
(6.72)
Подставляя (6.72) в выходное уравнение, получим
,
(6.73)
где
- матричная переходная функция.
Матричная
переходная функция в общем случае
представляет собой матрицу, которая
имеет размерность
:
,
где
- переходная функция (характеристика)
для переменной реакции
при переменной воздействия
.
Матричная
экспонента
от квадратной матрицы
n-го
порядка представляет собой квадратную
матрицу n-го
порядка, определяемую рядом Тейлора:
,
где
- факториал числа
(по определению
);
-k-ая
степень матрицы
(по определению
- единичная матрицаn-го
порядка).
Для
практических расчетов матричной
экспоненты широко применяется формула
Сильвестра, которая в случае простого
спектра матрицы
(отсутствия кратных собственных чисел)
имеет вид:
,
где
- собственные числа матрицы
;
- единичная матрицаn-го
порядка.
Наиболее
простой вид матричная экспонента
принимает для диагональной матрицы
,
когда
,
то
есть матричная экспонента является
диагональной матрицей, по главной
диагонали которой расположены
экспоненциальные функции от элементов
(собственных чисел) матрицы
.
Для
упрощения расчета переходных характеристик
матричную экспоненту в выражении (6.73)
целесообразно привести к наиболее
простому, то есть диагональному, виду.
Если собственные числа матрицы состояния
различны, то ее можно представить в виде
,
где
- диагональная матрица собственных
чисел матрицы
;
-
неособенная матрица, столбцы которой
представляют собой собственные векторы
матрицы
.
Исходя из определения матричной
экспоненты, можно доказать что
.
Тогда общее выражение для матричной переходной функции примет вид:
.
Для
схемы избирательного усилителя рис.
6.29 матричная переходная функция имеет
размерность
,
причем:
,
где
- переходная функция для переменной
реакции
;
- переходная функция для переменной
реакции
;
- переходная функция для переменной
реакции
.
Формирование и реализация математической модели избирательного усилителя в базисе переменных состояния в вычислительной системе MathCad
Численные значения параметров компонентов схемы
Параметры
полюсного графа
Топологические матрицы главных сечений
Топологические матрицы главных контуров
Компонентные
матрицы
Матрицы эквивалентных параметров
Матрично-векторные параметры модели в базисе переменных состояния
Матрично-векторные параметры выходного уравнения
Комплексные частотные функции и частотные характеристики
Графики АЧХ и ФЧХ для переменной реакции
Графики АЧХ и ФЧХ для переменной реакции
Графики АЧХ и ФЧХ для переменной реакции
Матричная переходная функция
Вектор установившихся значений переменных реакций
Переходные
функции для переменных реакции
Собственные
числа матрицы состояния А
Переходная характеристика для переменной реакции
Переходная характеристика для переменной реакции
в области малых времен
Переходная характеристика для переменной реакции
в области малых времен
Переходная характеристика для переменной реакции
в области больших времен
Переходная характеристика для переменной реакции
в области больших времен
6.3. Творческое задание. Анализ электронной схемы дискретного действия.
Творческое задание направлено на закрепление теоретического материала и приобретение практических навыков по тематическому разделу “Методы анализа дискретных электронных схем”. Варианты творческого индивидуального задания приведены в приложении Б.
Творческое задание предполагает решение одной из поставленных задач:
Рассчитать переходные и установившиеся процессы в заданной схеме методом припасовывания.
Рассчитать переходные и установившиеся процессы в заданной схеме методом разностных уравнений.
Используя метод осреднения пространства состояния, построить логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики заданной электронной схемы для малых отклонений от стационарного режима по следующим схемным функциям: передаточной функции по возмущению управляющего воздействия, передаточной функции по возмущению напряжения питания, выходному сопротивлению.