24.1. Группы подстановок. Определение, примеры и свойства.

Группы всех биекции конечного множества мощности n в себя называется симметричной группой степени n. Каждая биекция называется подстановкой. Пр: подстановки.

24.2. Коды Хаффмена. Определение и пример.

Есть алфавит и вероятность появления каждого символа в тексте. На каждом этапе берутся 2 минимальных элементов вероятности и складываются.I;II;и т.д; Код Хаффмена имеет минимальную среднюю длину – берется вероятность и умножается на длину. Пр:

Пример2: I;II ;III,;

25.1. Смежные классы по подгруппе (левые и правые).

Левое подгруппа -

Правая подгруппа - .Левое разбиение может не совпасть с правым.

25.2. Производящие функции: числа Фибоначчи.

. ..

.,.

Производящая функция для Фибоначчи: .-формула. Находим ..,.Используя метод неопределенных коэффициентов. ..,...

26.1. Алгебры с двумя операциями: кольца и поля. Примеры и свойства.

Одна операция условно сложение вторая умножение.

Кольцо – относительно сложения это коммутативная группа. Относительно умножения это полугруппа и выполняется закон дистрибутивности.

Пример: дано множество гдеи

(1.)Не выводит из (2.) ассоциативность=(3)(4) Обратные(5) коммутативность

(1) Не выводит из(2) ассоциативность=(3) Дистрибутивность

=.(4) Коммутативность.

Если ито-делители нуля

Поле. В поле нет делителей нуля. Поле по сложению это коммутативная группа. По умножению без нуля тоже коммутативная группа.

Пример:

Обратные по умножению ,,

26.2. Подстановки, произведение подстановок. Теорема: подстановка – это произведение независимых циклов.

Операция произведение подстановок некоммутативная *=.Каждая подстановка может быть записана как произведение независимых циклов. Пр: .Пр: .

27.1. Разбиения, число разбиений, пример.

, .,. Каждый элемент попадает только в одно множествопустое мн-во при..Пр: 10 элементов Сколько способов разбить на 3 подмножества?,,..

Полиномиальная формула: ..

27.2. Кольцо классов вычетов по модулю. Поля Галуа. Примеры.

Сравнимость чисел и классы вычетов:

Выпишем все числа от 1 до 8 и вычеркнем все числа не взаимно простые с 8. Количество оставшихся чисел равно j(m= 8) = 4, а сами эти числа (1, 3, 5, 7). Множество этих чисел обладает свойством замкнутости относительно операции умножения по модулюm= 8. Действительно, перемножая любые пары чисел из множества (1, 3, 5, 7) и находя наименьший положительный остаток по модулюm= 8, будем получать всегда одно из этих же чисел. Каждое из этих чисел порождает бесконечный счетный класс чисел: 1+8·t; 3+8·t; 5+8·t; 7+8·t, гдеt– любое целое.

Более того, множество классов с порождающими элементами в виде этих чисел обладает свойством замкнутости, а именно: при любых целых tпроизведение представителей классов (1+8·t; 3+8·t; 5+8·t; 7+8·t) дает в результате представителя одного из этих же классов. Можно показать, что классы вычетов, получаемые в соответствии с функцией Эйлера, всегда образуют абелеву группу по умножению. А это, в частности, означает, что для любого представителя из этих классов можно найти обратный элемент из представителей этих же классов.

Поле – это множествоэлементов, на котором определеныоперации сложения и умножения, обладающие свойствами коммуникативности, ассоциативности и дистрибутивности, при этом относительно этих двух операций существуют нейтральные элементы и

существует обратный элемент относительно операции сложения,

существует обратный элемент относительно операции умножения.

Пусть – неприводимый многочлен над полем , для негоF существует конечное расширение поля F, содержащее все корни многочлена

– поле разложения.

Группа – это непустое множество Gс алгебраической операцией * на нем, для которой выполняются аксиомы:

1. Операция * ассоциативна

2. Вединичный элемент такой, что:

a * e =e * a =a .

3.

Если дополнительно группа удовлетворяет аксиоме:

4.

То это абелева (коммуникативная) группа.

Кольцом называется множество R с двумя бинарными операциями (+,*) такими, что:

1. R – абелева группа относительно операции +.

2. Операция умножения ассоциативна:

3. Выполняется закон дистрибутивности :a(b +c) =cb +ac .

Кольцо классов вычетов называется полем Галуа порядкаи обозначается(где –простое). В поле Галуа определены операции +,−,*, / .

28.1. Производящие функции числа Каталана.

. ..

Число бинарных делении все с вершинами: ,,,.

. ,.

28.2. Раскрашивание графов. Хроматическое число. Хроматические многочлены.

Раскраска элементов графа в цветов это разбиение элементов графа наклассов. Раскраска называется правильной если любая пара смежных элементов окрашена в разные цвета. Множество вершин покрашенных в один и тот же цвет называется одноцветным классом. Задача раскраски заключается в нахождении минимального числа цветов, достаточного для правильной раскраски. Граф называетсяраскрашенным если существует его правильная вершиннаяраскраска. Хроматическим числом числографа называется минимальное числодля которого граф-раскрашиваемый. Графназывается хроматическим еслии дихроматическим если