Экзамен / Билеты по диск. мат
. .doc1.1. Цепи Маркова. Матрица перехода, ассоциированные орграфы, классификация состояний.
1.2. Формулы включений и исключений, их применение.
2.1. Точный алгоритм решения задачи коммивояжера (например, метод Беллмана).
2.2. Алгебры, решетки, определения и примеры.
3.1. Теорема Холла и ее приложения: трассировка, составление графиков дежурств по заявкам.
3.2. Матрицы смежности, достижимости, связности графов и оргафов.
4.1. Отношение эквивалентности и разбиение множества.
4.2. Связность, компоненты связности. Выделение компонент связности.
5.1. Не точный (эвристический) алгоритм решения задачи коммивояжера (например, «жадный» метод).
5.2. Поиск минимальных путей в нагруженном орграфе (алгоритм Флойда).
6.1. Множества, определение и операции над ними.
6.2. Поиск минимальных путей (маршрутов) в ненагруженном орграфе (графе).
7.1. Рефлексивность, симметричность и транзитивность отношений. Специальные бинарные отношения. Алгебраические операции. Таблицы Кэли.
7.2. Эйлеровы цепи и циклы в графах и орграфах. Эйлеровы и полуэйлеровы графы и орграфы.
8.1. Счетные множества и континуум. Теорема Кантора.
8.2. Гамильтоновы цепи и циклы. Гамильтоновы и полугамильтоновы графы и орграфы.
9.1. Две леммы Капланского и задача Люка.
9.2. Остовное дерево графа. Алгоритмы построения минимальных остовных деревьев нагруженных и ненагруженных графов.
10.1. Изоморфизм групп. Определения, свойства и примеры.
10.2. Двудольные графы. Теорема о длине циклов в двудольном графе.
11.1. Обратное и инверсное отношения. Логические операции над отношениями. Композиция отношений. Матрицы конечных отношений и операции над ними.
11.2. Деревья, лес. Способы задания дерева. Код дерева. Соотношения между ребрами и вершинами в дереве, полном графе, полном двудольном графе, полном орграфе.
-
Взаимно-однозначное отображение множеств, пример.
-
Расстояние Хемминга. Аксиомы расстояний Хемминга. Коды, обнаруживающие и исправляющие ошибку. Минимальное расстояние между кодовыми словами.
13.1. Функции, их инъективность и сюръективность. Биекции, свойства биекций, примеры биекций.
13.2. Планарность графов. Теорема Куратовского.
14.1. Отношения порядка (полного и частичного, строгого и не строгого, линейного). Диаграммы Хассе, примеры.
14.2. Грани графа. Теорема Эйлера.
15.1. Изоморфизм и гомеоморфизм графов. Полные орграфы, турниры. Дополнение графа. Самодополнительные графы.
15.2. Порядок элемента в группе. Циклические группы. Определение, примеры и свойства.
16.1. Степени вершин в графе и в орграфе, их сумма. Регулярные графы. Платоновы графы. Получение степеней вершин из матриц смежности графов и орграфов.
16.2. Матричное кодирование.
17.1. Алгоритм Уоршелла построения матрицы связности.
17.2. Латинские свойства. Латинские матрицы. Метод латинской композиции. Пример.
18.1. Классы эквивалентности. Теорема: класс эквивалентности порождается любым своим элементом. Разбиения и классы эквивалентности.
18.2. Размещения и сочетания с повторениями и без них.
19.1. Теорема Кэли об изоморфизме любой группы некой подгруппе симметрической группы.
19.2. Контуры в орграфе, необходимое и достаточное условие их существования.
20.1. Кодирование и декодирование по методу Хемминг, примеры.
20.2. Групповые коды и минимальное расстояние между их кодовыми словами.
21.1. Теорема Лагранжа: порядок группы делится на порядок своей подгруппы.
21.2. Полиномиальная формула, полиномиальные коэффициенты, пример.
22.1. Нормальные делители, два их определения. Примеры различных делителей.
22.2. Теорема Дирака для гамильтоновых графов.
23.1. Алгебры с одной операцией: группы, полугруппы, моноиды. Примеры и свойства.
23.2. Цикломатическое число графа, его определение и чему оно равно. Примеры.
24.1. Группы подстановок. Определение, примеры и свойства.
24.2. Коды Хаффмена. Определение и пример.
25.1. Смежные классы по подгруппе (левые и правые).
25.2. Производящие функции: числа Фибоначчи.
26.1. Алгебры с двумя операциями: кольца и поля. Примеры и свойства.
26.2. Подстановки, произведение подстановок. Теорема: подстановка – это произведение независимых циклов.
27.1. Разбиения, число разбиений, пример.
27.2. Кольцо классов вычетов по модулю. Поля Галуа. Примеры.
28.1. Производящие функции числа Каталана.
28.2. Раскрашивание графов. Хроматическое число. Хроматические многочлены.
Литература
-
519.1 Н73 Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов – С.-П.:Питер, 2002
-
519.1 Н58 Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики – М.: Изд-во МАИ, 1992
-
51 К89 Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера – М.: Энергоатомиздат, 1988