14.1. Отношения порядка (полного и частичного, строгого и не строгого, линейного). Диаграммы Хассе, примеры.

Любое отношение порядка всегда транзитивно и антисимметрично. Антисимметрично если (1)и(2)и.

Порядки: 1)Полный не строгий – N-натуральные числа,-рефлексивно

2) Полный строгий N-натуральные числа,- антирефлексивный, т.ечтоили

В частичном есть несравнимые Эл-ты. Берем все подмножества множества Х. ,.т.е

3)Частичный не строгий

4) Частичный строгий

Полный строгий порядок называется линейным.

14.2. Грани графа. Теорема Эйлера.

Для планарного графа существует понятие грани графа. У планарного графа всегда существует бесконечная грань. В качестве бесконечной можно взять любую достаточно перерисовать граф.

Теорема Эйлера: для связного плоского графа: . Док-во индукции по- делаем 1 шаг индукции:(граф связен ) и. Индуктивное предположение – пусть теорема верна для графа сребрами и добавим графу новое ребротак чтоб он оставался плоским. Вершину. Соединим вершины.

Для несвязных графов если теоремаполучается за счет применения теоремы Эйлера к каждой компоненте связности. Бесконечную грань считаем 1 раз.

Следствия: для связного планарного графа с вершинами число ребер не превышает. Каждая грань ограничена минимум 3 ребрами.и.

Следствие:ине планарные. Док-во: пустьпланарен тогдат.ечего не может быть т.к.

Каждая грань ограничена минимум 4 ребрами т.к цикл в двудольном графе четное;,чего не может быть.

Теорема: в любом планарном графе существует вершина степени которого не больше 5. Док-во: от противного – если степень каждой вершины не менее 6 тогда каждая вершина .;.

Толщина графа – это наименьшее число планарных графов, объединение которых дает граф. Толщина графа мера его не планарности. ;. Оценка снизу для толщины графа получается из теоремы Эйлера.. Толщина графа.;. На каждой плате все вершины графа а ребра разбросаны по всем вершинам.,.

15.1. Изоморфизм и гомеоморфизм графов. Полные орграфы, турниры. Дополнение графа. Самодополнительные графы.

Графы изоморфны если существует биективное изображение.Отображение сохраняет смежность.. На практике изоморфный граф это тот же граф только по другому нарисованный (рис.). У изоморфных число вершин, ребер и набор степеней вершин совпадают, но не наоборот. (рис.)

Дополнение графов – вершины те же а ребра те которых не было в этом графе (рис.)

Самодополнительные графы – граф который совпадает со своим дополнением (рис.)

Турнир – каждая пара вершин соединена ровно 1-ой дугой. (рис.)

Полный орграф – каждая пара соединена как минимум одной дугой. (рис.)

15.2. Порядок элемента в группе. Циклические группы. Определение, примеры и свойства.

Циклические группы – состоят из всех степеней одного элемента. -циклическая группа порядка 4-ре. Всякая подгруппа циклической группы тоже циклична.-2-го порядка. Группы порядка 2 и 3 всегда цикличны.

В таблице Кэли в каждой строке и столбце нет одинаковых Эл-тов. В группе порядка 4-ре 2 вида 1-циклическая 2-нециклическая или четвертичная группа Клейна где каждый Эл-т обратен сам себе.

16.1. Степени вершин в графе и в орграфе, их сумма. Регулярные графы. Платоновы графы. Получение степеней вершин из матриц смежности графов и орграфов.

Степени вершин то сколько ребер выходит из вершины. Для каждого графа ,число вершин;число ребер.Для орграфа

Регулярный граф – у всех вершин совпадают степени. (рис.) все возможные ребра.,.

Платоновы графы – образованы правильными фигурами. Тетраэдр (рис.) Куб (рис.)не полный; Октаэдр (рис.) не полный; Додекаэдр (рис.) не полный.

Сумма элементов матрицы смежности в графе равна степени вершин.

У дуги в матрице смежности орграфа ровно 1 единица, а у каждого ребра 2 единицы.