16.2. Матричное кодирование.

Некоторые коды можно записать более экономично ,порождающая матрица кода. Пр:(3,6) код. Складываем поразрядно.

17.1. Алгоритм Уоршелла построения матрицы связности.

(рис.) Возьмем .;;;;

17.2. Латинские свойства. Латинские матрицы. Метод латинской композиции. Пример.

Путь называется Латинским со свойством илиЛатинским путем если каждый его под путь обладает св-вомв этом случае само св-во тоже латинское. Пример: 1)Не проходить через заданную вершину(дугу) 2)Быть простой цепью. 3)не проходить через данную вершину более 2 раза.

Св-ва маршрутов проходить через каждое ребро (вершину) не более 1-го раза- латинское. Если св-во латинское можно применить метод композиции. Пример: Наити простые цепи длины 3. (рис.)

Все Эйлеровы циклы будут в диагонали Эл-тов.А цепи в не в диагонали Эл-тов. Гамильтоновы циклы в диагонали Эл-тов.А цепи в не диагонали Эл-тов.

18.1. Классы эквивалентности. Теорема: класс эквивалентности порождается любым своим элементом. Разбиения и классы эквивалентности.

Отношение эквивалентности – это транзитивное, рефлексивное, симметричное отношение. Если на мн-ве есть отношение эквивалентности то оно обязательно породит и классы эквивалентности. -класс эквивалентности.

Док-во: ,т.к-рефлексивно, т.е.ПустьииАналогично.

Разбиение мн-ва Х это объединение всех , апустое мн-во при.При разбиении каждый Эл-т мн-ва Х попадает в одно и только одно подмножество этого разбиения.

Если есть эквивалентность то есть и разбиение подмножеств являющихся классами эквивалентности.

Если есть разбиения то будет и эквивалентность.

Если 2 эл-та находятся в одном подмножестве разбиения то из них составленная пара принадлежит эквивалентности

18.2. Размещения и сочетания с повторениями и без них.

- выборка. Изnпредметов надо выбратьRпо определенным правилам – есть число размещении. Теорема: .

выб.	Упорядоченная	Неупорядоченная
С повторением	-размещение с повторением. .	-сочетание с повторением. .
Без повторения	-размещение....	-сочетание ....

- перестановки. Док-во:

Задача пересчета :

Задача перечисления. .

Для каждого сочетания существуют способов его упорядочивания..

.. Пример:..

..

19.1. Теорема Кэли об изоморфизме любой группы некой подгруппе симметрической группы.

Любая полугруппа изоморфно вложима в симметрическую полугруппу T (X) для подходящего множества X.

Доказательство. Пусть S - произвольная полугруппа. Если S имеет единицу 1,т. е. элемент, для которого выполняются равенства a1 = 1a = a (a S), то положим S1 = S. Пусть S не имеет единицы. Будем считать, что 1- это элемент, не лежащий в S. На множестве S1 = S {1} определим бинарную операцию, сохраняя операцию в S и полагая 1a = a1 = a для любого a S1. Очевидно, S1 - полугруппа относительно этой операции. Для произвольного элемента a S на множестве S1 определим преобразование λa, полагаяλa(x) = ax (xS1).

Преобразование называют левым сдвигом, соответствующим

элементу a.

Пусть a,b S и x S1. Тогда(x) = (ab)x=a(bx) =

a((x)) = ((x)) = ()(x). Следовательно, =, где - операция суперпозиции преобразований в T (S1). Отсюда, в частности, вытекает, что T = {: a S} - подполугруппа в T (S1).

Зададим теперь отображение ϕ из S в T (S1), полагая ϕ(a) =λa (a S). Для любых a, b S выполняется ϕ(ab) = = = ϕ(a) ϕ(b), т. е. ϕ - гомоморфизм. Если ϕ(a) = ϕ(b), то a = a1 = (1) = ϕ(a)(1) = ϕ(b)(1) = (1) = b1 = b, т. е. Φ инъективно.

Итак, ϕ - изоморфизм полугруппы S на подполугруппу T полугруппы T (S1).

Будем говорить, что полугруппа S2 является гомоморфным образом полугруппы S1, если существует гомоморфизм из S1 на S2.

19.2. Контуры в орграфе, необходимое и достаточное условие их существования

Путь в орграфе это последовательность в которой чередуются вершины и дуги их соединяющие. Путь может быть только один от начала дуги к ее концу. Если нет кратны дуг то путь можно составить из одних ребер. Незамкнутый путь в котором все дуги различны называется цепью. Цепь в которой все вершины различны называется простой цепью. Замкнутый путь в котором все дуги различны называется контуром. Контур в которой все вершины различны называется простым контуром. Петля это простой контур длины единица. Симметричная пара дуг образует простой контур длины 2.

Если полустепени исхода всех вершин орграфа больше нуля, то в орграфе существует хотя б один контур. Каждая пара вершин сильно связного орграфа входит в контур.

Берем любую вершину из нее исходит как минимум одна дуга по этой дуге попадаем в следующую вершину пути. Опять попадаем в новую вершину и так же выходим из нее по новой дуге. Т.к число вершин в орграфе конечно, то попадем в вершину в которой уже были и не обязательно что это будет вершина, из которой мы начали путь, и получим контур

20.1. Кодирование и декодирование по методу Хемминг, примеры.

Исправляющие однократную ошибкукоды.,.,.,,.

Схема кодирования – Пример:;Контрольные символы.Для вычисления контрольных символов берется матрицаВ каждом столбце 2-ое разлож номера;;;;.

Схема декодирования: , где- ошибканомер ошибочной позиции. Пример:;.

20.2. Групповые коды и минимальное расстояние между их кодовыми словами.

Код является групповым если его кодовые слова образуют группу. Исходные слова образуют группу по координатному сложению по modоперация. Пример:Группа! Матричные коды образуют группу:,,;В групповом коде минимальное расстояние между кодовыми словами есть вес ненулевого кодового слова.,,.

21.1. Теорема Лагранжа: порядок группы делится на порядок своей подгруппы.

Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит:

Пусть группа G конечна и H — её подгруппа. Тогда порядок G равен порядку H, умноженному на количество её левых или правых классов смежности.

Следствия

1.Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы H в G одинаково и называется индексом подгруппы H в G (обозначается [G:H]).

2.Порядок любой подгруппы конечной группы G делит порядок G.

3.Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы G делит порядок G. Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел.

4.Группа порядка p, где p — простое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок p, и значит, каждый из них порождает группу.)

Теорема Лагранжа.

Пусть Hподгруппа конечной группыG. Тогда порядокHявляется делителем порядкаG.

Доказательство.

По свойству орбит Gпредставляется в виде объединения непересекающихся смежных классов:. Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов,, откуда и вытекает теорема.

Замечание. Число sлевых (или правых) смежных классов называетсяиндексом подгруппы.

Следствие.

Две конечные подгруппы группы Gпорядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу.

В самом деле, если эти подгруппы, тоих общая подгруппа и по теореме Лагранжа- общий делитель порядковHиKто есть 1.

21.2. Полиномиальная формула, полиномиальные коэффициенты, пример.

.

Пример полиномиального распределения:

В многозадачной операционной системе процесс может находиться в одном из нескольких состояний (готов, выполняется, прерван, ожидает и др.) Если предположить, что вероятность нахождения процесса с заданным приоритетом в одном из состояний есть величина постоянная, то вероятность того, что при проведении n испытаний процесс будет находиться в состояниях A1, ..., Am соответственно x1, ..., xm раз будет распределена по полиномиальному закону.

Док-во: Рассмотрим один из возможных случаев, возникший в результате того, что процесс оказался в состояниях A1, ..., Am соответственно x1, ..., xm раз. Вероятность этого конкретного случая равна . Однако процесс может оказаться в состояниях A1, ..., Am соответственно x1, ..., xm раз несколькими способами. Число таких конкретных способов будет равно . Из этого следует, что вероятность возникновения любого из этих конкретных состояний, при которых процесс может оказаться в состояниях A1, ..., Am соответственно x1, ..., xm раз равна . Конечная формула совпадает с формулой плотности полиномиального распределения.

22.1. Нормальные делители, два их определения. Примеры различных делителей.

1) Если левое разбиение совпадает с правым то подгруппа называется нормальным делителем.

2) Подгруппа А будет нормальным делителем если и.Есликоммутативна то любая ее подгруппа будет нормальным делителем.

Примеры: (1)подгруппа индекса 2 всегда нормальный делитель.,

(2) Ненормальные делители

22.2. Теорема Дирака для гамильтоновых графов.

Теорема:

Если в простом графе с вершинамидля любой вершины, то графявляется гамильтоновым.

Доказательство:

Добавим к нашему графуновых вершин, соединяя каждую из них с каждой вершиной из. Будем предполагать, что— наименьшее число вершин, необходимых для того, чтобы полученный графстал гамильтоновым. Затем, считая, что, придем к противоречию.

Пусть гамильтонов цикл в графе, где— вершины из, а— одна из новых вершин. Тогдане является смежной с, так как в противном случае мы могли бы не использовать вершину, что противоречит минимальности. Более того, вершина, скажем,, смежная вершине, не может непосредственно следовать за вершиной, смежной вершине, потому что тогда мы могли бы заменитьна, перевернув часть цикла, заключенную междуи. Отсюда следует, что число вершин графа, не являющихся смежными с, не меньше числа вершин, смежных с (то есть равно, по меньшей мере, ); с другой стороны, очевидно, что число вершин графа , смежных сс другой стороны, очевидно, что число вершин графа, смежных с, тоже равно, по меньшей мере,. А так как ни одна вершина графане может быть одновременно смежной и не смежной вершине, то общее число вершин графа , равное, не меньше, чем. Это и есть искомое противоречие.

23.1. Алгебры с одной операцией: группы, полугруппы, моноиды. Примеры и свойства.

Полугруппа – это множество с заданной на нем ассоциативной бинарной операцией. Является ли полугруппой для этого (1) проверяем что операция не выходит. (2) что есть ассоциативность. Пр: -она не выходит. Операция дописывание. (ab)(cde)(mn)- она ассоциативна.

Если полугруппа содержит такой элемент е что для любого а ае=еа=а то е называется единицей. Полугруппа с единицей называется моноидом. Для него проверяем все тоже самое + еще присутствие единицы. Единица всегда единственна. (Пример!!!)

Элемент (М - моноид) называется обратимым еслиb-обратный элемент к а и наоброт. Обратный элемент всегда один. Элемент может быть обратный сам себе... Произведение 2-х обратимых элементов тоже обратимый элемент. Моноид все элементы которого обратимы называется группой. Проверка: (1)не выходит (2)ассоциативна (3)есть единица (4) находит обратный.

(Пример!!!)

23.2. Цикломатическое число графа, его определение и чему оно равно. Примеры.

это число ребер которые нужно удалить из графа чтоб превратить его в лес. Пример: (рис.) ;.