11.1.Обратное и инверсное отношения. Логические операции над отношениями. Композиция отношений. Матрицы конечных отношений и операции над ними.

инверсное отношение(берем матрицуи изменяем нули на единицы и наоборот - получаем)

Обратное отношение значит(берем матрицуи транспонируем - получаем)

Для получения композиции 2-х отношении матрицы надо перемножить.

Пара принадлежит отношению если при делении на 3 у них одинаковый остаток.

(Изыскать Логические операции над отношениями и отношениями!!!)

11.2. Деревья, лес. Способы задания дерева. Код дерева. Соотношения между ребрами и вершинами в дереве, полном графе, полном двудольном графе, полном орграфе.

Лес- граф без циклов. Дерево - связный лес. 5-ть эквивалентных утверждении: 1)граф-дерево (2)-связен и не имеет циклов. (3)-связен и число вершин на 1 больше ребер(4) Любые 2 вершиныможно соединить единственной простои цепью. (5)нет циклов но добавляя к нему единственное новое ребро получим в графе ровно 1 и притом простой цикл.

Дерево можно задать с помощью матрицы смежности. Дерево описывается его кодом. Длина кода ,в любом начальном отрезкене может быть меньше чем.

Теорема:Док-во: индукции по;индуктивное предположение чтоверно дляберем дерево сВершинами в каждом дереве существует как минимум 1 висячая вершина иначе это цикл.;

12.1.Взаимно-однозначное отображение множеств, пример.

Пример: Мн-во целых чисел счетное пронумеровали.,счетно.

1- <1,1> <1,2> <1,3>…

2-<2,1> <2,2> …

3- <3,1> …

……………..

1+1=2.1+2=3,,,

12.2. Расстояние Хемминга. Аксиомы расстояний Хемминга. Коды, обнаруживающие и исправляющие ошибку. Минимальное расстояние между кодовыми словами.

расстояние отдо- число не совпадающих позициии. Пр:,.Расстояние удовлетворяет 3-м асимптотам: 1. и 2.Симметрично: 3. Неравенство треугольника:

Теорема: Чтобы код позволял обнаруживать ошибки k(или менее) позиции необходимо и достаточно чтоб минимальное расстояние между кодовыми слова было больше или равно,. Искаженное кодовое слово никогда не совпадет с изначальным.

Теорема: Чтобы код позволял исправлять ошибки k(или менее) позиции необходимо и достаточно чтоб минимальное расстояние между кодовыми слова было больше или равно,. Пример:код; повтор + контрольная сумма.

Этот код либо обнаруживает ошибку в 2-х позициях либо исправляет в 1-ой.,.

13.1. Функции, их инъективность и сюръективность. Биекции, свойства биекций, примеры биекций.

Среди отношении существует функции. Бинарные отношение называются функцией если для ровно одно.Функция осуществляет отображение Х на У или устанавливает соотношение между х и у. У ф-ции в каждой строке ровно одна единица (матрица).

Ф-ция инъективна (однозначна) если для каждых ииз.

Ф-ция сюръективна если ,.

Биектина, если она инъективна и сюръективна одновременно. Биекция осуществляет взаимно однозначное соответствие ,,.

Пример: (рисунки)

Теорема: композиция 2-х функции есть функция ,то

Теорема: Композиция 2-х биекции тоже биекция.

Функция является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функциятакая, чтои

всегда но оно может не быть функцией.

13.2. Планарность графов. Теорема Куратовского.

Операция подразбиения ребра состоит из установления на его ребре новой вершины. Граф полученный из основного графа операцией подразбиения называется его подразбиением. Графы называются гомеоморфными если существуют их изоморфные подразбиения. (рис.) Гомеоморфные графы отличны друг от друга кол-вом вершин степени 2 а кол-во вершин других степеней должный совпасть. Плоский граф – все ребра которого пересекаются только в его вершинах.

Граф изоморфный плоскому называется планарным. Доказано что планарный граф можно изобразить на плоскости так чтоб все его ребра были прямыми. Не все графы планарны.

Теорема: графы ине планарные. Док-во: предположим чтопланарен тогда он содержит цикл длины 5 из этого (рис.) 2 ребра можно уложить внутри и еще 2 снаружи, остается одно ребро его нельзя уложить не задев другие. Дляаналогично (содержит цикл длины 6).

Каждый подграф планарного графа планарен и наоборот если подграф не планарен то и граф не планарен. Значит граф содержащии илив качестве подграфа – не планарен.

Теорема Куратовского: граф планарен тогда и только тогда когда он не содержит подграфов гомеоморфных или.

Для надо иметь не менее 5 вершин степени не менее 4. Для63.