8.1. Счетные множества и континуум. Теорема Кантора.

Теорема Кантора. Множество всех действительных чисел интервала (0;1) не является счетным.(континуум - множество, равномощное множеству вещественных чисел. Например, совокупность всех точек отрезка на прямой или множество всех иррациональных чисел.)

Счетные множество – множество натуральных чисел NМощность. Конечное множество создается списком. 1)Задаем перечислением свойств 2)Порождающие процедуры. Объединение конечного числа счетных мн-в счетное. Объединение счетного числа конечных множеств тоже счетное. Объединение счетного числа счетных мн-в тоже счетное.

8.2. Гамильтоновы цепи и циклы. Гамильтоновы и полугамильтоновы графы и орграфы.

Гамильтоновы цепи и циклы-содержат все вершины ровно по одному разу. (рис.)Гамильтонов

(рис.) Полугамильонов

(рис.)Не Гамильтонов.

Длина Гамильтонова цикла равна, а Гамильтоновой цепи. В Гамильтоновом графе нет точек сочленения. Чтобы наити цикл Гамильтона достаточно нарисовать одно дерево а для цепи нужнодеревьев для каждой вершины.

Теорема Дирана: то граф Гамильтонов.

9.1. Две леммы Капланского и задача Люка.

Первая лемма:Из n объектов на прямой выбираются k не соседних. Число таких наборовпри.:ABCDEFG;I-ACE,ACF,ACG,ADF,ADG,AEG. II-BDF,BDG,BEG,CEG. Разбиваем эти наборы на 2 подмножества I-содержит первый эл-т II- не содержит..Подставляем: .

Второй способ доказательства: ;для них существуетпозиция.

Вторая лемма: Из n объектов на окружности выбирают крайние соседние.. Задача Люка: (рис.) имеется стол, сколько есть способов рассадить гостей так чтобы муж и жена не оказались рядом.

1-е св-во ,2-е св-во,n-е св-во .или,.(2-я лемма)

9.2. Остовное дерево графа. Алгоритмы построения минимальных остовных деревьев нагруженных и ненагруженных графов.

Остовное дерево графа –дерево содержащее все его вершины и некоторые ребра. Остовных деревьев может быть несколько.

Теорема: число ребер в графе . Минимальная оценка: строим деревья по ним видим чтоотсюда.

Максимальная оценка: вершин и ;,,,.Док-во: для,,; ,,.каждая компонента полный граф. .-Изолированная вершина. - полный граф. Следствие: любой граф с вершинами исвязен.

10.1. Изоморфизм групп. Определения, свойства и примеры.

Группы изоморфны – если существует биекция переводящая одну группу в другую, сохраняющая групповую операцию, т.е. Пр: (1) группаизоморфна группе самосовмещения треугольника. (2) циклическая группа по 4-ре – изоморфна группе классов вычетов по модулю 4-ре при сложении.

Итак если существует изоморфизм А на В, то существует изоморфизм В на А.Мощности основных множеств изоморфных алгебр равны. Если А=В то изоморфизм называется изоморфизмом на себя, если то изоморфизм называется изоморфизмом в себя. Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр.

Группы одного порядка могут быть и не изоморфны. Все циклические группы порядка т.еизоморфны группе поворотов на угол.

Свойства: (1) единица изоморфна сама себе. (2) Обратный элемент переходит в обратныйто. (3)Обратное изображение тоже изоморфизм.

10.2. Двудольные графы. Теорема о длине циклов в двудольном графе.

Двудольные графы – ребра только между долями. (рис.) .,.

Теорема: Граф является двудольным если и только если длины всех простых циклов четны. Док-во: 1)Взяли граф и заметили что если и есть цикл то только четной длины.2)Берем граф в котором все циклы имеют четную длину.-четное расстояние от;.-нечетное расстояние от;ипредположим чтоисоединены ребром и каждый соединен са он стогда ;,,