1.1 Цепи Маркова. Матрица перехода, ассоциированные орграфы, классификация состояний.

Рассмотрим одномерное блуждание. Берем известную задачу о пьянице стоящем между двумя кабаками.вероятность того что от пойдет извизва того что останется на месте. . вершины пересечения извза одну минуту .

Если в орграфе дуги заменить на ребра то получится ассоциированный с орграфом граф.

Ассоциированный орграф цепи Маркова:Извможно попасть когда существует орцепь из в. Наименьшее возможное попадание равно длине кратчайшей из цепей.

Цепь Маркова в которой из каждого состояния можно попасть в каждое называется не приводимой. Цепь не приводима если ее орграф сильно связан.

Состояния бывают возвратные и не возвратные, периодичные и не периодичные. В возвратное состояние мы возвращаемся не зависимо от продолжительности процесса. В невозвратное попадаем несколько раз и больше не попадаем.возвратная тогда когда существуют орцепи извведет к существованию обратной цепи.

имеет период если вможно вернуться по истечению времени кратного.имеет периодкогда длина замкнутой орцепи проходящей через-ю вершину кратно. Состояние эргодическое – возвратное и не периодично.

1.2. Формулы включений и исключений, их применение.

пуст мн-во..

непуст мн-во .

непуст мн-во,;;.

;,,.

Второй вид формулы

Берем мн-во Х и n его подмножеств. ;,;,..Пример: Даны числа от 100 до 200. Св-ва: делятся на 3,4,5. Сколько чисел не обладает ни одним из этих св-в?

Решение: .

Сколько существует беспорядков.

Беспорядок – каждый предмет не на своем месте. ,.

Имеем n-св-в --тый предмет не на-том месте.,.

2.1. Точный алгоритм решения задачи коммивояжера (например, метод Беллмана).

На рисунке выбираем частичное паросочетание. ,,. Чередующаяся цепьимеет нечетную длину и начинается и заканчивается в непарной вершине.Паросочетание максимально тогда когда не существует чередующейся цепи относительно его.

2.2. Алгебры, решетки, определения и примеры.

Алгебра – множество с определенными на нем операциями. Пр:

Решетка – частично упорядоченное множество с 2-мя операциями. -верхняя грань.нижняя грань Пр: 1) определены наZ, <. Тогда верхняя грань –max(a,b) нижняя граньmin(a,b). (2)N,a<bесли .-наименьшее общее кратное (a,b).наибольший общий делитель (a,b).

3.1. Теорема Холла и ее приложения: трассировка, составление графиков дежурств по заявкам.

Теорема Холла.

Берем двудольный граф и меньшую долю вершин. Двудольный граф имеет совершенное паросочетание если каждой вершине с меньшей долей вершин можно поставить соответствие вершины с большей долей вершин с которой она имеет ребро. В частичном паресочетании некоторые вершины меньшей доли не получают пару.

Совершенное паросочетание существует тогда когда любые вершин с меньшей доли имеют ребра в совокупности по меньшей мере свершинами большей доли.

Док-во: необходимость следует из того что если условие теоремы Холла не выполняется для каких то вершин то мы не можем наити пару для этих вершин. Достаточность - беремзначитнаходим такую вершину в меньшей доли чтобы. Наличие такой вершины гарантирует нам теорема Холла.

3.2. Матрицы смежности, достижимости, связности графов и оргафов.

Матрицы смежности – квадратная матрица А размером .еслиисмежные,в противном случае.Матрица смежности графов симметрична.

Матрица смежности орграфов не обязана быть симметрична.

Матрицы связности S- квадратная матрица в которойеслидостижима из,в противном случае. (рис.).

Связностьдостижима из вершинесли (1)(2)Существует путь их соединяющий. Сильно связный если каждая пара вершин соединена оргпутем в обе стороны. Односторонне связанный если каждую пару вершин связывает оргпуть по крайней мере в одну сторону. Слабосвязный если ассоциированный с ним граф связен и при этом орграф не является ни сильным, ни односторонним. Матрицы сильной связности (орграфов).Квадратная матрица иеслидостижима из.еслиипринадлежат одной компоненте сильной связности.Из матрицы выделяем компоненты сильной связности.III.

Каждый минимальный путь состоит из под путей (рис.)

4.1. Отношение эквивалентности и разбиение множества.

Множество Если между ними можно установить взаимно однозначные соответствия,,

Разбиение множества - это представление его в виде объединения произвольного количества попарно непересекающихся подмножеств.

4.2. Связность, компоненты связности. Выделение компонент связности.

Связность – вершина Vдостижима изwеслиV=wили существует маршрутV~w. Связность если каждую пару вершин можно соединить ребрами. У несвязного графа число компонентов связности.

1);

2);при

3) ;.

Выделение компонент связности – берем первую вершину из Sматрицы.IIIIII

Операция удаления вершины состоит из удаления вершины вместе с ребрами. Вершина удаление которой увеличивает число компонентов связности называется разделяющей.

(рис.)

5.1. Не точный (эвристический) алгоритм решения задачи коммивояжера (например, «жадный» метод).

На каждом этапе берем вершину с минимальной степенью и в пару ей вершинустепени найденную пару удаляем вместе с ребрами из 2-го графа и повторяем процедуру.

5.2. Поиск минимальных путей в нагруженном орграфе (алгоритм Флойда).

(Длина дуг).(рис.)Матрица- аналог массива-матрица длин минимальных путей. Соответственно существует аналог массива-матрица номеров предпоследних вершин минимальных путей. .

6.1. Множества, определение и операции над ними.

Множество – совокупность различных между собой объектов. Множество А есть подмножество В (обозначается ) если всякий Эл-т А является Эл-том В. Еслиитоэто строгое подмножество. Число Эл-тов в конечном множестве А называется мощностью А (обозначается). Пустое множество – это подмножество любого множества.- универсальное множество, все мно-ва содержатся в нем.

Операции над множествами: 1) объединение множеств А и В (обозначается ) есть множество состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В. Символически записывают.

2) Пересечение множеств А и В (обозначается ) называется множество, состоящее из всех тех и только тех Эл-тов, которые принадлежат и А и В.

3)Разность множеств А и В (обозначается ) есть множество всех тех и не только тех Эл-тов А, которые не содержатся в В:,

4) Инверсия

5) - это множество всех подмножеств А.

6.2. Поиск минимальных путей (маршрутов) в ненагруженном орграфе (графе).

Элемент матрицыравен числу всех маршрутов длиныизввершины.

Каждый минимальный путь состоит из под путей (рис.) ;;Для каждого этапа строим матрицу-матрица длин минимальных путей.;;На каждом этапе строится матрица-матрица номеров предпоследних вершин минимальных путей.;;Строим минимальный путь из 3 в 2 длина3..

7.1. Рефлексивность, симметричность и транзитивность отношений. Специальные бинарные отношения. Алгебраические операции. Таблицы Кэли.

Бинарное отношение – это мн-во упорядоченных пар. .

-отношение (прямое произведение), где,.,,,.

Все теоретико-множественные операции выполняются кроме: ,,композиция отношении

- рефлексивно еслиДля конечногоу матрицы главная диагональ содержит только единицы.

Конечное рефлексивное отношение.

- симметричнопричемне симметричны.

Матрица конечного симметричного отношения тоже симметрична.

- транзитивнаПр: и, т.еи

Таблицы Кэли - это такие таблицы, которые строятся по определённому правилу. В таблице Кэли в каждой строке и столбце нет одинаковых Эл-тов.

7.2. Эйлеровы цепи и циклы в графах и орграфах. Эйлеровы и полуэйлеровы графы и орграфы.

В Эйлеровых цепях и циклах каждое ребро содержится ровно один раз. Длина их равна-число ребер. Пример: (рис.) Эйлеров цикл.

;. В полуэйлеровом графе есть цепь но нет цикла. (рис.). Для того чтоб связный псевдограф был эйлеровым надо чтоб степени его вершин были четными. Чтоб полуэилеровым надо иметь 2 вершины нечетной степени. Для того чтоб орграф был эйлеровым надо чтоб в каждой вершине степень исхода равнялась степени захода.

(рис.) ;.