Типовой расчет для матана 2 курс 3 семестр
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a = P (x; y; z)→−i + |
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Задача 1. 7. Найти дивергенцию векторного поля →− |
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Q(x; y; z)−→ |
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−→ |
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j + R(x; y; z) k |
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№ |
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−→ |
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a |
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1 |
a = (arctg (xy) + 2yz )−→i |
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− |
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(3e |
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− |
xyz )−→ |
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−→ |
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−→ |
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y |
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3 |
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j |
+ x3 ln(8y) k |
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2 |
a = cos x |
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· |
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y z−→i |
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+ (2x ln (y + 2z) |
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− |
3x z )−→ |
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−→ |
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−→ |
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2 |
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j |
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+ 3xy tg z k |
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3 |
a |
= (7y z |
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− |
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ctg z)−→i |
+ 4 arccos y |
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· |
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z |
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−→ |
− |
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−→ |
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−→ |
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3 |
j |
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xeyz k |
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4 |
a = x y z −→i |
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+ (tg (x |
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− |
y) |
− |
8x )−→ |
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−→ |
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−→ |
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3 |
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3 |
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j |
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+ (cos y |
sin x |
z2) k |
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5 |
a = (2 ln x |
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− |
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3yz )→−i |
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+ (x |
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+ arcsin (y ))−→ |
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−→ |
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−→ |
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2 |
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j |
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+ y2ez k |
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6 |
a = (xy |
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− |
x z )−→i |
+ 3x |
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cos (z )−→ |
− |
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−→ |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−→ |
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3 |
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2 3 |
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8 |
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5 |
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j |
xy ln2 z k |
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7 |
a |
= (2 arcsin x + 8y z )−→i |
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− |
2y e |
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−→ |
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→− |
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−→ |
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3 |
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7 |
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3 |
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x2z2 |
j |
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2 |
tg(y + 3z) k |
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+ x |
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8 |
−→ |
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− 4z |
)−→i + z cos y−→ |
− |
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− |
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−→ |
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a = (e2xy |
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5 |
2 |
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2 |
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j |
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(xy |
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2 arctg (z3)) k |
x3ey5 k |
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a = (x2 |
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√ |
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7 |
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3 |
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j |
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||||||||||||||||||
9 |
−→ |
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− sin(y |
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))−→i + 2 ln (xy) · |
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−→ − |
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−→ |
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+ z |
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x |
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− z |
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a = (4x |
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8y z) i + (xz |
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3 tg |
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y) j + ( |
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z x + y)−→ |
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10 |
−→ |
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3 |
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− |
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4 |
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−→ |
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− |
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√ |
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−→ |
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− |
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4 |
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3 |
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4 |
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k |
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√5 |
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3 |
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2 |
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j |
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+ sin y(xy |
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z2) k |
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a = |
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2 |
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x |
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z |
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−→i |
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+ 2x arctg y→− |
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√→− |
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11 |
−→ |
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− |
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− |
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yz→− |
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||||||
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z ) i + (x |
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sin(y) |
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z)) j |
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a |
= (5e |
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2x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
−→ |
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x=y |
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− |
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6 |
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−→ |
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2 |
− |
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· |
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−→ |
− |
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k |
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4 |
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||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
a |
= (2 arctg (x ))−→i |
− |
|
2z cos y−→ |
|
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− |
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−→ |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−→ |
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3 |
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|
j + (3x3z2 |
|
|
ln (x5 + y3)) k |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
= arctg( |
|
|
|
|
yz) i |
|
|
|
(5 sin (y) |
|
z ) j |
+ (3x e + z |
|
ln z)−→ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
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|
−→ − |
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|
· |
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|
|
4 |
|
|
|
−→ |
|
|
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2 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
k |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
a = (x |
|
|
− |
|
3 cos(y + z ))−→i + (3 sin (xy) + 2xz )−→ |
|
|
|
|
−→ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−→ |
|
|
|
3 |
|
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|
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|
|
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|
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|
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2 |
|
|
|
|
2 |
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|
|
2 j + 4y3z2 k |
|
||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||
16 |
a = (2xz |
|
|
|
|
− |
|
3 tg |
|
|
y)−→i |
− |
3z arccos(2x + y)−→ |
|
|
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|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−→ |
|
|
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3 |
|
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2 |
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|
j |
|
|
+ xyez k |
|
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||||||||||||||||||||||
17 |
a = z arctg x−→i |
|
− |
|
5x cos y−→ |
|
|
|
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|
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|
|
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|
→− |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−→ |
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|
|
|
|
j |
|
+ 3x3 ln (yz) k |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||
18 |
a |
= (3 ln |
|
|
|
x |
− |
yz )−→i |
− |
2e |
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
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|
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|
|
→− |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
−→ |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
x3z3 |
j |
|
|
+ 2(xy + arcsin z) k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
19 |
a = (x z |
|
|
− |
cos y)−→i + (4x + 3e |
|
|
|
)→− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−→ |
|
|
|
2 |
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
yz j + (yz |
|
|
x2y5) k |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||
20 |
a |
= (3 arccos x |
− |
|
6y z )→−i |
+ 2y e |
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
−→ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−→ |
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
x3z2 |
j |
+ x ctg(2z) k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
a = P (x; y; z)−→i + |
||||
Задача 1. 8. Найти ротор векторного поля −→ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Q(x; y; z)−→ |
|
|
|
|
−→ |
|
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|
|||||
|
j + R(x; y; z) k |
|
|
|
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||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a |
= 2xz |
|
|
→−i |
|
− |
4 sin yz−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
−→ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j + xy k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
a = 6yz −→i + (x |
|
|
− |
y )−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
−→ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
j |
|
+ 3z3 arcsin y k |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
a = 3x sin z→−i + 4xyz−→ |
− |
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
z3 k |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
a |
= 5y |
|
−→i |
− |
xy ln z−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
−→ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
+ 2x2y k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
5 |
a = y tg x→−i |
− |
x z−→ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
−→ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
−→ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
j |
|
+ (z |
|
|
3) k |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
6 |
a = 4xy →−i + (3x |
|
− |
8z)−→ |
− |
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
−→ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
x4 arcsin z k |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
7 |
a |
= 3z sin x→−i |
− |
2y −→ |
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 j |
+ x2z k |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
8 |
a = 3x −→i + 6x ln z−→ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
−→ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
7x3y2 k |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
9 |
−→ |
|
|
|
+ z |
|
|
)−→i + 5y arccos z |
−→ |
− |
|
−→ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a = (y2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
x3z k |
|
|||||
|
10 |
a = 4x yz−→i |
|
− |
|
4x y−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
−→ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
j |
+ 2 arctg 3y k |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
11 |
a = 2x z −→i + e y−→ |
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−→ |
− |
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
j |
− |
z2 k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
12 |
−→ |
|
−→i + 3x |
|
arccos y→− |
− |
|
|
|
|
−→ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a = z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
2xyz k |
|
|
|||||||
|
13 |
a = 2x |
|
−→i |
− |
2yz−→ |
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
−→ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
+ 3xz2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
a = 4 yz i |
|
|
|
|
|
5y j + 3x y−→ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
14 |
−→ |
√ |
|
|
|
−→ |
|
− |
|
|
|
|
4 |
−→ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
15 |
a |
= 3xz−→i |
|
+ 2e z −→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
−→ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 j |
+ 4z2 k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
16 |
a |
= xz |
|
−→i |
− |
3y ln z−→ |
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
−→ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
+ xy k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
17 |
a |
= z −→i |
− |
|
2xy−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
j + 3x ln y k |
|
|||||||||||||||||||||||
|
−→ |
3 |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
j + 3x3ez |
k |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
a = (4 |
|
|
x |
|
|
|
|
5y)−→i |
|
|
|
|
|
2x cos z→− |
|
|
|
−→ |
|
||||||||||||||||||||||||
|
18 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
19 |
a = x arctg z→−i + (4x + 3z)→− |
|
|
−→ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−→ |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 j + x√4 z k − |
x2 k |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
||||
|
|
a = 6y z−→i |
|
|
|
|
|
2x z−→ |
|
|
|
|
|
|
|
→− |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
20 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1. 9. Вычислить криволинейный интеграл |
P (x; y)dx + |
||||||||||||||||||||||
Q(x; y)dy от т. А до т. В по кривой L. |
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
№ |
|
P (x; y)dx + Q(x; y)dy |
|
L |
|
|
A |
|
|
B |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
x3 + y)dx + (3y 2x2)dy |
|
y = 2x + 2 |
|
(1; |
4) |
(2; |
6) |
||||||||||||||
H |
(H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
(x2 + 2y)dx + (2x− |
|
3y3)dy |
|
y = 3 |
− |
x |
|
(0; 3) |
( 2; 5) |
|||||||||||||
3 |
H |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||
(y |
x2)dx + (x − 2y2)dy |
|
y = 2x2 |
|
|
(0; 0) |
(1; 2) |
||||||||||||||||
4 |
H |
(x2− |
|
2xy)dx + (y2 |
− |
2xy)dy |
|
y = x2 |
|
|
( 1; 1) |
(1; 1) |
|||||||||||
5 |
H |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|||
2xydx + x2dy |
|
|
|
|
|
|
|
y = 2x3 |
|
|
(1; |
2) |
(2; |
16) |
|||||||||
6 |
H |
(x2 + 2y)dx + (2x |
− |
|
|
y = x + 2 |
|
(0; 2) |
( 1; 1) |
||||||||||||||
3)dy |
|
|
|||||||||||||||||||||
7 |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||
(y + 3)dx + (2y2 + 3y)dy |
|
y = x |
− |
1 |
|
(2; 1) |
(3; 2) |
||||||||||||||||
8 |
H |
(x2 − 3y)dx + (x − 4y2)dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y = −2x |
|
(−2; 4) |
(1; −2) |
|||||||||||||||||||
9 |
H |
(2xy − x2)dx + (5y + 3x2)dy |
|
y = 2 − 3x |
|
(0; 2) |
( 1; 5) |
||||||||||||||||
10 |
H |
(x2 + y)dx + (x2 |
− |
y)dy |
|
y = x2 |
|
|
(1; 1) |
(−1; 1) |
|||||||||||||
11 |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||
(2x2 |
|
4xy)dx + (y2 − 3xy)dy |
|
y = 2x2 |
|
|
(2; |
2) |
(0; |
0) |
|||||||||||||
12 |
H |
(3x2 |
− 4x)dx + (2y2 |
+ 3xy)dy |
|
y = 2x2 |
|
|
(0; |
0) |
(3; |
9) |
|||||||||||
13 |
H |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(y |
x)dx |
− |
(x + 5)dy |
|
|
|
|
(2; |
8) |
(0; |
0) |
||||||||||||
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
(2x−2 − 3x)dx + (3x − 2y)dy |
|
y = 2x3 |
|
|
(0; 0) |
(2; 8) |
||||||||||||||||
15 |
H |
(2x + y2)dx + (y2 |
|
|
xy)dy |
|
y = 2 |
− |
x |
|
(0; |
2) |
(1; |
1) |
|||||||||
16 |
H (3x2 |
|
y2)dx + (2x− |
|
y2)dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
y = x + 1 |
|
(2; 3) |
(0; 1) |
|||||||||||||||||
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
(3xy |
− x2y)dx + (x + 3y2)dy |
|
y = x |
− |
2 |
|
(0; |
− |
2) |
(1; 1) |
||||||||||||
18 |
H |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(3y2 + 2xy)dx + (x2 − 5xy)dy |
|
y = 3x2 |
|
|
(1; |
3) |
(0; |
0) |
|||||||||||||||
19 |
H |
(y2 − x3)dx + (2x − 3y2)dy |
|
y = 3 − x |
|
(−2; 5) |
(1; 2) |
||||||||||||||||
20 |
H |
(x2 + 4xy)dx + (2x2 |
− |
4y)dy |
|
y = x |
− |
2 |
|
(1; |
− |
1) |
(0; |
− |
2) |
||||||||
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
14
H
Задача 1. 10. Вычислить криволинейный интеграл P (x; y)dx+ Q(x; y)dy по замкнутому контуру L, пробегаемому против часовой стрелки, двумя способами: непосредственно и по теореме Грина.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(H |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
P (x; y)dx + Q(x; y)dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
H |
x2 + 2y)dx + (2x |
|
|
3)dy |
x = 0; |
y = 1; |
y = x + 2 |
|
|
|
|||||||||
2 |
(2x2 |
3x)dx + (3x− |
2y)dy |
x = 1; |
y = 2; |
y = x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
H |
(x2 |
−3y)dx + (x |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− |
1)dy |
x = 2; |
y = |
− |
1; y = |
− |
1 |
− |
x |
|||||||||||
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
(y +−3)dx + (2y2 + 3y)dy |
x = 2; |
y = 2; |
y = x 1 |
|
|
||||||||||||||
5 |
H |
(2x + y2)dx + (y2 |
− |
y)dy |
x = 0; |
y = 1; |
y = 2 |
−x |
|
|
||||||||||
6 |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||
(2xy)dx + (y |
− |
5)dy |
|
x = 1; |
y = 3; |
y = x + 1 |
|
|
|
|||||||||||
7 |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2y 2)dx + (3x y2)dy |
x = 1; y = |
− |
2; y = x |
|
|
|
||||||||||||||
8 |
H (3x2− y)dx + (2x− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y)dy |
x = 2; |
y = 1; |
y = x + 1 |
|
|
|
|||||||||||||
9 |
H |
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y x)dx + (2x − 3y2)dy |
x = −2; y = −2; y = −x − 3 |
|||||||||||||||||||
10 |
H |
(3x−+ 4y)dx + (3x + y2)dy |
x = 0; |
y = 2; |
y = x + 1 |
|
|
|
||||||||||||
11 |
H |
(3xy)dx + (x + 3y)dy |
x = 0; |
y = |
− |
1; y = x |
|
− |
2 |
|
||||||||||
12 |
H |
(2x2 − 3x)dx + (3x − 2y)dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x = 1; |
y = 2; |
y = x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
13 |
H |
(3x2 + 2x)dx + (x |
− |
2y)dy |
x = 2; y = 1; y = 1 |
− |
x |
|
||||||||||||
14 |
H |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(3x + 4y)dx + (y2 + 3x)dy |
x = 3; |
y = 3; |
y = x + 1 |
|
|
|
||||||||||||||
15 |
H |
( 2x + y)dx + (3 + x)dy |
x = 2; |
y = |
− |
2; y = x |
|
− |
3 |
|
||||||||||
16 |
H |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x2 + 4x)dx + (2x 4y)dy |
x = 0; |
y = 1; y = |
− |
x |
|
− |
2 |
|||||||||||||
|
H (2x + 3y)dx + (y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
17 |
|
−2)dy |
x = 1; |
y = |
−2; y = x |
|
|
|
|
|
||||||||||
18 |
H (1 y)dx + (3y |
|
−y2)dy |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x = 2; y = 2; y = 3 |
− |
x |
|
||||||||||||||||
19 |
H |
(x − |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||
3y)dx + (3x |
− |
2y)dy |
x = 2; y = |
− |
1; y = x |
|
− |
1 |
||||||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
20 |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H (x2 + 3x)dx + (x + y)dy |
x = 1; |
y = 1; |
y = x + 1 |
|
|
|
||||||||||||||
15
−→
Задача 1. 11. Найти циркуляцию векторного поля a по замкнутому контуру Г, образованному при пересечении указанных поверхностей, двумя способами: непосредственно и по теореме Стокса.
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a = (x + y) i |
|
|
z j + xy k |
z = x2 + y2 + 5 |
|||||||||||||||||||||
|
− |
Г={ z = 6 |
||||||||||||||||||||||||
1 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
−→ |
|
|
|
−→ |
|||||||||||
|
a = 2xy i |
|
|
x j + 2y k |
|
|
|
|
x2 + y2 + z2 = 16 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Г={ z = √ |
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
−→ |
|
|
|
−→ |
− |
|
−→ |
|
|
|
−→ |
|
|
|
7 |
|
|
||||||||
|
a = (x |
|
|
y) i + z j |
|
|
xz k |
z = x2 + y2 + 3 |
||||||||||||||||||
|
− |
|
|
Г={ z = 7 |
||||||||||||||||||||||
3 |
−→ |
|
|
|
|
→− |
|
|
|
|
−→ − |
|
|
−→ |
||||||||||||
|
a = |
|
2y i + 3x j + (y |
|
|
z2) k |
x2 + y2 + z2 = 25 |
|||||||||||||||||||
|
− |
− |
Г={ z = 3 |
|||||||||||||||||||||||
4 |
−→ |
|
|
→− |
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
→− |
|||||||||||||
|
a = (xz |
|
|
y) i + j + z k |
|
|
z = x2 + y2 + 4 |
|||||||||||||||||||
|
− |
|
|
Г={ z = 8 |
||||||||||||||||||||||
5 |
−→ |
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
−→ |
|
|
−→ |
|
|||||||||||
|
a = (x + y) i + yz j |
|
|
x2 |
|
k |
x2 + y2 + z2 = 4 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
Г={ z = √ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
6 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
−→ |
− |
|
|
−→ |
3 |
|
|
||||||
|
a = 2y i |
|
|
5z j + xy k |
|
|
|
|
z = x2 + y2 + 1 |
|||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
Г={ z = 10 |
|||||||||||||||||||
−→ |
|
|
−→ − |
|
|
−→ |
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
||||||||||||
|
a = |
|
3z i + (2z |
|
|
x) j |
|
|
|
x2 k |
x2 + y2 + z2 = 25 |
|||||||||||||||
|
− |
− |
|
|
|
Г={ z = 4 |
||||||||||||||||||||
8 |
−→ |
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
|
→− − |
−→ |
||||||||||||||
|
a = 3x i + (2y |
|
|
|
x) j |
|
|
|
xz k |
z = x2 + y2 + 6 |
||||||||||||||||
|
− |
|
|
|
Г={ z = 7 |
|||||||||||||||||||||
9 |
−→ |
|
|
→− |
|
|
|
|
|
|
−→ − |
|
|
−→ |
||||||||||||
|
a = 4x i + (x |
|
|
|
y) j + (xy) k |
x2 + y2 + z2 = 16 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Г={ z = √ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
10 |
−→ |
|
|
→− |
|
|
|
|
− |
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
−→ |
12 |
|
||||||
16
11 |
−→ |
− |
|
|
−→ |
|
−→ |
|
|
−→ |
|
z = x2 + y2 + 5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Г={ z = 9 |
|||||||||||||
|
a = |
|
2xz i + x j + y2 |
k |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12 |
−→ |
|
|
− |
|
|
−→ |
|
−→ − |
|
−→ |
x2 + y2 + z2 = 9 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Г={ z = √8 |
|||||||||||||
|
a = (y |
|
xz) i + yz j |
|
|
2 k |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13 |
−→ |
|
|
−→ |
|
|
|
−→ |
|
|
|
−→ |
|
|
z = x2 + y2 + 7 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г={ z = 8 |
|||||||||
|
a = 4y i |
+ x j + xyz k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14 |
−→ |
|
|
−→ |
− |
|
−→ |
|
|
−→ |
|
|
x2 + y2 + z2 = 16 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Г={ z = √15 |
||||||||||||
|
a = xz i |
|
|
3x j + yz2 k |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15 |
−→ |
|
|
− |
|
−→ |
|
− |
|
−→ |
−→ |
z = x2 + y2 + 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
Г={ z = 6 |
||||||||||||||
|
a = (y |
|
z) i + (z |
|
x) j + yz k |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16 |
−→ |
− |
|
−→ − |
−→ |
|
|
−→ |
|
|
x2 + y2 + z2 = 25 |
||||||||
|
|
|
|
|
Г={ z = √21 |
||||||||||||||
|
a = |
|
2z i |
|
|
x j + xy k |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
17 |
−→ |
−→ − |
|
|
−→ |
|
|
|
−→ |
|
|
z = x2 + y2 + 4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Г={ z = 5 |
||||||||||||
|
a = z i |
|
5x j + xyz k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
18 |
−→ |
|
|
− |
|
|
→− − |
|
−→ |
|
|
|
|
−→ |
x2 + y2 + z2 = 36 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г={ z = √27 |
||||||||||
|
a = (x |
|
y) i |
|
2y j + (y + z) k |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
19 |
−→ |
|
|
−→ |
|
|
|
−→ |
|
|
− |
|
|
→− |
z = x2 + y2 + 3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г={ z = 12 |
||||||||||
|
a = xz i + 4x j + (y |
|
x2) k |
|
|
|
|
||||||||||||
20 |
−→ |
−→ |
|
|
|
−→ |
|
|
−→ |
|
|
|
x2 + y2 + z2 = 25 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Г={ z = √24 |
|||||||||||
|
a = y i + 2x j + yz2 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
−→
Задача 1. 12. Найти поток векторного поля a через полную поверхность пирамиды V , образованной плоскостью P и координатными плоскостями, двумя способами: непосредственно и по теореме Остроградского-Гаусса.
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
6z k |
2x + 2y z = 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
||||||||
|
a = 5x−→i + 3y→− |
− |
|
|
|
−→ |
|
|
|
− |
|
|||||||||
1 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j + 8z k |
|
3x 4z + 5z = 1 |
|||||||
|
a = |
− |
2x−→i + 2y−→ |
|
|
|
−→ |
− |
|
− |
|
|
||||||||
2 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
7z k |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2y 2z = 1 |
||||||||
|
a |
= 4x−→i |
− |
3y−→ |
− |
|
|
−→ |
|
|
|
− |
|
|||||||
3 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j + 2z k |
x + 4y 3z = 1 |
|||||||||
|
a |
= |
− |
x−→i |
− |
5y−→ |
|
|
|
−→ |
|
|
|
− |
|
|||||
4 |
−→ |
|
|
|
|
|
j |
|
|
z k |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 4y + 2z = 1 |
||||||||
|
a = 5x−→i + 4y→− |
− |
|
|
−→ |
|
− |
|
|
|
||||||||||
5 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j + 3z k |
4x + 3y 2z = 1 |
||||||||
|
a = |
− |
3x−→i + 2y−→ |
|
|
|
−→ |
|
|
|
− |
|
||||||||
6 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
10z k |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 4y 4z = 1 |
||||||||
|
a = 2x−→i + 2y→− |
− |
|
|
|
−→ |
|
|
|
− |
|
|||||||||
7 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3z k |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
3x 4y 5z = 1 |
|||||
|
a = |
− |
4x−→i + 6y−→ |
− |
−→ |
|
− |
|
− |
|
||||||||||
8 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j + 6z k |
x 2y 2z = 1 |
|||||||||
|
a |
= 6x−→i |
− |
8y−→ |
|
|
|
|
−→ |
|
− |
|
− |
|
||||||
9 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
z k |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 4y + 2z = 1 |
|||||||
|
a = |
− |
x−→i + 7y−→ |
|
|
|
→− |
|
− |
|
|
|
||||||||
10 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j + 3z k |
2x y 2z = 1 |
|||||||||
|
a |
= 5x−→i |
− |
9y−→ |
|
|
|
|
−→ |
|
− |
|
− |
|
||||||
11 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
j + 3z k |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x + 3y 4z = 1 |
|||||||||
|
a = |
− |
2x−→i + 5y−→ |
|
|
|
−→ |
|
|
|
− |
|
||||||||
12 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
j 4z k |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x + 2y 4z = 1 |
||||||||||
|
a |
= x→−i |
+ y−→ |
− |
|
|
−→ |
|
|
|
− |
|
||||||||
13 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z k |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
3x + 2y + 4z = 1 |
|||||||
|
a |
= 4x−→i |
− |
2y−→ |
− |
|
−→ |
|
|
|
|
|
||||||||
14 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 4y + 4z = 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j + 2z k |
|||||||||
|
a = |
− |
3x−→i + 7y−→ |
|
|
|
−→ |
|
− |
|
|
|
||||||||
15 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
j + 6z k |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4y + 3z = 1 |
|||||||||
|
a |
= 2x−→i |
− |
6y−→ |
|
|
|
|
−→ |
− |
|
|
|
|
||||||
16 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
j + 5z k |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2y + 2z = 1 |
|||||||||
|
a = |
− |
5x−→i + 6y−→ |
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
||||||||
17 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
j + 2z k |
|
3x + 4y + z = 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a |
= 3x−→i |
− |
2y−→ |
|
|
|
|
−→ |
− |
|
|
|
|
||||||
18 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
6z k |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 4y 2z = 1 |
||||||||
|
a = 4x−→i + 4y→− |
− |
|
|
|
−→ |
|
− |
|
− |
|
|||||||||
19 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
4z k |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x + 5y 3z = 1 |
|||||||
|
a |
= |
− |
x−→i + 3y−→ |
|
|
|
−→ |
|
|
|
− |
|
|||||||
20 |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
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18
−→
Задача 1. 13. Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность .
№ |
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a = 3xz i + 2yz j |
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7x2 k |
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x2 + y2 = 4 |
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−→ |
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−→ |
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−→ |
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−→ |
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: |
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0 6 z 6 4 |
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x2> 0 |
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+ y |
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= 1 |
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x |
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2 |
−→ |
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−→ |
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−→ |
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→− |
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0 6 z 6 5 |
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a = 2xz i |
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3yz j + z2 |
k |
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: |
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2> 0 |
2 |
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y |
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+ y |
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= 9 |
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x |
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3 |
−→ |
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−→ |
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−→ |
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−→ |
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: |
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0 6 z 6 2 |
|||
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a = 6xz i |
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4yz j + 5y2 k |
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2 |
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x2> 0 |
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+ y |
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= 16 |
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x |
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4 |
−→ |
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−→ |
−→ |
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−→ |
: |
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0 6 z 6 1 |
||||||
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|||||||||||||
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a = 3xz i + 5yz j + 4x2 |
k |
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2> 0 |
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y |
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+ y |
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= 9 |
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x |
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|||
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5 |
−→ |
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−→ |
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−→ |
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→− |
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: |
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0 6 z 6 4 |
|||
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a = 7xz i |
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yz j + 4y2 |
k |
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2 |
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x2> 0 |
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+ y |
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= 1 |
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x |
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6 |
−→ |
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−→ |
−→ |
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−→ |
: |
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0 6 z 6 3 |
||||||
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a = 3xz i + 4yz j |
|
z2 k |
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y > 0 |
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a = 4xz i |
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2yz j |
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− |
3x2 k |
: |
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x2 + y2 = 16 |
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−→ |
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−→ |
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−→ |
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−→ |
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7 |
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0 6 z 6 1 |
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x2> 0 |
2 |
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− |
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+ y |
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= 4 |
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x |
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|||
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8 |
−→ |
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−→ |
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−→ |
|
−→ |
: |
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0 6 z 6 2 |
|||||
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a = 7xz i |
|
|
3yz j |
|
|
3z2 k |
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2> 0 |
2 |
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y |
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|||
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+ y |
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= 9 |
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x |
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|||
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9 |
−→ |
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−→ |
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−→ |
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−→ |
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: 0 6 z 6 3 |
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a = 6xz i |
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5yz j |
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7xy k |
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x2> 0 |
2 |
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+ y |
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= 4 |
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x |
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|||
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10 |
−→ |
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−→ |
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−→ |
−→ |
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0 6 z 6 1=2 |
|||||
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a = 3xz i + 6yz j + 2y2 k |
: |
|
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2> 0 |
2 |
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||||||||
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y |
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− |
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+ y |
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= 16 |
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x |
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|||
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11 |
−→ |
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−→ |
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−→ |
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→− |
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0 6 z 6 1 |
|||
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a = xz i 4yz j + 2z2 k |
: |
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2 |
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x2> 0 |
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+ y |
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= 1 |
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x |
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|||
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12 |
−→ |
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−→ |
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−→ |
|
−→ |
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0 6 z 6 6 |
|||||
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: |
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a = 5xz i |
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2yz j + 7xy k |
y |
2> 0 |
2 |
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− |
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+ y |
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= 16 |
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x |
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|||
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13 |
−→ |
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−→ |
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−→ |
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−→ |
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0 6 z 6 1=4 |
||||
|
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||||||||||
|
a = 3xz i + yz j 4x2 k |
: |
|
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||||||||
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x > 0 |
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20
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a = 2xz i + 3yz j |
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− |
2z2 k |
: |
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x2 + y2 = 9 |
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−→ |
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−→ |
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−→ |
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|
−→ |
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14 |
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0 6 z 6 1=3 |
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y |
2> 0 |
2 |
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− |
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− |
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+ y |
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= 4 |
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x |
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|||
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15 |
−→ |
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−→ |
|
−→ |
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|
−→ |
: |
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0 6 z 6 2 |
||||
|
|
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|||||||||||
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a = 3xz i |
|
2yz j |
|
|
|
9x2 k |
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2 |
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||||
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x2> 0 |
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− |
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+ y |
|
= 1 |
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x |
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|||
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16 |
−→ |
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−→ |
|
−→ |
|
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|
|
−→ |
: |
|
0 6 z 6 4 |
||||
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a = 4xz i |
|
5yz j + 8y2 |
k |
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2> 0 |
2 |
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|||||||
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y |
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− |
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+ y |
|
= 9 |
|
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x |
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|||
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17 |
−→ |
|
−→ |
|
−→ |
|
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|
|
−→ |
: |
|
0 6 z 6 1 |
||||
|
|
|
|
|
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|||||||||||
|
a = 2xz i |
|
7yz j + 4z2 |
k |
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2 |
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|||||||
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x2> 0 |
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|||
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+ y |
|
= 4 |
|||
|
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x |
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|||
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18 |
−→ |
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−→ |
|
−→ |
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|
|
−→ |
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0 6 z 6 3 |
|||||
|
|
|
|
|
: |
||||||||||||
|
a = 3xz i + 4yz j |
|
|
9xy k |
|
y |
2> 0 |
2 |
|
||||||||
|
|
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− |
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+ y |
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= 1 |
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x |
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|||
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19 |
−→ |
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−→ |
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−→ |
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−→ |
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0 6 z 6 5 |
||||
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a = 4xz i |
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7yz j + 2z2 |
k |
: |
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2 |
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|||||||
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x2> 0 |
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− |
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+ y |
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= 16 |
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|
x |
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|||
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20 |
−→ |
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−→ |
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−→ |
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→− |
: |
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0 6 z 6 1=2 |
||||
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|||||||||||
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a = xz i + 3yz j 5y2 k |
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||||||||||
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y > 0 |
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