Типовой расчёт (ВМС)

Составители: И.В.Артамкин, Н.В.Белецкая, А.Ю.Воловиков, Ю.О.Головин

Редактор Ю.И.Худак

Контрольные задания содержат типовые расчеты по дифференциальным уравнениям, предназначенные для студентов 2 курса факультета ВМС (специальности 230105, 090106). Типовые расчеты выполняются студентами в письменном виде и сдаются преподавателю до начала зачетной сессии. Вопросы к зачету или экзамену могут быть уточнены и дополнены лектором.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

Рецензенты: И.А.Соловьев А.Л.Шелепин

Контрольные задания напечатаны в авторской редакции Подписано в печать .07.2007. Формат 60£84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 1,86. Усл. кр.-отт. 7,44. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 200 экз. C

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образованияМосковский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет) 119454, Москва, просп. Вернадского, 78

3

УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И СДАЧЕ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

1. Типовой расчет состоит из трех разделов:

-теоретические упражнения; -практические задания; -контрольные вопросы;

2.В начале раздела ¾Теоретические упражнения¿ приведена таблица распределения упражнений по вариантам. Указанные в ней упражнения выполняются студентом письменно, кроме того, студент должен быть готов к выполнению любого из остальных упражнений при сдаче типового расчета.

3.Все практические задания выполняются студентом письменно в соответствии с распределением их по вариантам.

4.При сдаче типового расчета студенту предлагаются некоторые контрольные вопросы из приведенного списка.

5.При сдаче типового расчета обязательным является знание основных определений и формулировок теорем по темам, вклю- ченным в этот типовой расчет.

6.По результатам сдачи типового расчета студенту выставляется оценка.

7.Знаком ¾*¿ помечены дополнительные теоретические упражнения, практические задания и контрольные вопросы. Они рассчи- таны на студентов, претендующих на отличную оценку и не являются обязательными для остальных студентов.

4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ •1

Типовой расчет •1 включает следующие темы:

1.Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

2.Дифференциальные уравнения n-го порядка.

½

5

Используя этот прием, свести к однородному уравнению:

Какую замену следует применить при 4 = 0, чтобы получить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными?

3. Пусть y1 - решение уравнения Рикатти

y0 + a(x)y + b(x)y2 = c(x):

Показать, что введение новой искомой функции z = y ¡ y1 ïðè-

водит к уравнению Бернулли. Используя этот прием, найти путем подбора частное решение y1 и свести к уравнению Бернулли:

à) x2y0 + xy + x2y2 = 4;

á) 3y0 + y2 + x22 = 0;

â) xy0 ¡ (2x + 1)y + y2 = ¡x2.

4. Пусть y1 =6 0 решение линейного дифференциального уравне-

Показать, что введение новой искомой функции u = yy

к линейному дифференциальному уравнению 1-го порядка1 приводитотноси-

тельно v = u0. Используя этот прием, понизить порядок уравнения (проверив, что y1

à) x2y00 ¡ 4xy0 + 6y = 0, y1 = x2; á) x2y00 + xy0 ¡ y = 0, y1 = x;

â) xy00 + 2y0 + xy = 0, y1 = sin x x .

5. Пусть дифференциальное уравнение F (x; y; y0; y00) = 0 однородно относительно y; y0; y00 (т.е. не меняется при замене y; y0; y00 íà ky; ky0; ky00). Показать, что для новой искомой функции z, такой, что y0 = zy, получится уравнение 1-го порядка.

Используя этот прием, понизить порядок уравнения:

6

à) xyy00 ¡xy02 = yy0; á) yy00 = y02 + 15y2px; â) (x2 + 1)(y02 ¡yy00) = xyy0.

7*. При каких неотрицательных a нарушается единственность решений уравнения y0 = jyj® и в каких точках?

Сколько решений уравнения проходит через эти точки?

7

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Задача • 2. Дано уравнение dxdt = A(t ¡ a)®x¯(x ¡ b):

1.Указать на плоскости (t; x) множества точек, где:

а) выполнены условия теоремы существования и единственности; б) решение возрастает (убывает); в) решение имеет максимум (минимум).

2.Найти общее решение.

3.Нарисовать эскиз интегральных кривых.

4.а) При каких значениях x0 решение задачи Коши с начальными данными x(¡2) = x0 существует на всем луче [¡2; +1) ?

б) Тот же вопрос для начальных данных: x(2) = x0.

8

Задача • 3.

Вариант 1. Сосуд емкостью 100 л наполнен рассолом, содержащим 10 кг растворенной соли. В одну минуту в него втекает 3 л воды и столько же смеси перекачивается в другой сосуд той же емкости, первоначально наполненный водой, из которого избыток жидкости выливается. В какой момент времени количество соли в обоих сосудах будет одинаково?

Вариант 2. Пуля входит в доску толщиной 10 см со скоростью 200 м/сек, а вылетает из доски, пробив ее, со скоростью 50 м/сек. Найти, сколько времени продолжалось движение пули через доску, если сопротивление доски движению пули пропорционально квадрату ее скорости.

Вариант 3. Известно, что скорость распада радия пропорциональна его наличному количеству и что половина его первоначального количества распадается в течение 1600 лет. Определить, какой процент данного количества радия распадается в течение 100 лет.

Вариант 4. В воде с температурой 20± в течение 10 мин. тело охлаждается от 100± äî 60±. За сколько времени тело охладится до 30±, если по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и охлаждающей среды?

Вариант 5. В резервуаре находится 60 л рассола, содержащего 5 кг растворенной соли. В каждую минуту в него вливается 3 л воды и вытекает 2 л рассола, причем концентрация соли поддерживается равномерной. Сколько соли останется в резервуаре через 40 мин?

Вариант 6. Моторная лодка движется со скоростью 18 км/час. Через 5 мин после выключения мотора ее скорость уменьшилась до 6 км/час. Найти расстояние, пройденное лодкой по инерции за 15 мин, если сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Вариант 7. В воздухе комнаты объемом 200 м3 содержится 0,15 %

9

углекислого газа (СО2). Вентиляция подает в минуту 20 м3 воздуха,

содержащего 0,04 % СО2. Через какое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится вдвое?

Вариант 8. Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины пропорционально количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной 35 см поглощает половину падающего на него света. Какую часть света поглотит слой толщиной в 2 м?

Вариант 9. Электрическая цепь состоит из последовательно вклю- ченных источника постоянного тока, дающего напряжение V , ñî-

противления R, самоиндукции L и выключателя, который включа- ется при t = 0. Найти завимость тока от времени при t > 0.

Вариант 10. Электрическая цепь состоит из последовательно вклю- ченных источника постоянного тока, дающего напряжение V , ñî-

противления R, конденсатора емкости C и выключателя, который включается при t = 0. Конденсатор до замыкания цепи не заряжен. Найти зависимость тока от времени при t > 0.

Вариант 11. Последовательно включены сопротивление R è êîí-

денсатор емкости C, заряд которого при t = 0 равен q0. Öåïü çàìû- кается при t = 0. Найти силу тока в цепи при t > 0.

Вариант 12. Найти атмосферное давление на высоте h, если на поверхности Земли давление равно 1 кг/см2 и плотность воздуха

0,0012 ã/ñì3. Использовать закон Бойля-Мариотта, согласно которому плотность пропорциональна давлению.

Вариант 131. За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака диаметром 2R = 1; 8 м и высотой H = 2; 45 м через отверстие

в дне диаметром 2r = 6 см? Ось цилиндра вертикальна.

Вариант 14. Воронка имеет форму конуса радиуса R = 6 см и высоты H = 10 см, обращенного вершиной вниз. За какое время

1pВ задачах вариантов 13-14 принять, что жидкость вытекает из сосуда со скоростью, равной 0; 6 2gh, ãäå g = 10 ì/ñåê2 - ускорение свободного падения, h - высота жидкости над отверстием.

10

вытечет вся вода из воронки через круглое отверстие диаметра 0,5 см, сделанное в вершине конуса?

Задача • 4.

а) Найти общее решение линейного уравнения 1-го порядка двумя способами.

б) Найти частное решение, удовлетворяющее условию y(0) = y0.