Типовой расчёт (ВМС)

11

Задача • 7*.

Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка и частное решение,0 удовлетворяющее данным начальным условиям

y(0) = y0, y (0) = y1.

12

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Дифференциальные уравнения (ДУ) 1-го порядка

1.1.Что называется порядком ДУ? Что такое решение ДУ? Что такое интегральная кривая?

1.2.Каков геометрический смысл ДУ y0 = f(x; y) ? Какой угол на-

клона имеет интегральная кривая уравнения y0 = x2 ¡ 2y в точке (-1, 1) ?

1.3. Что такое изоклины ДУ y0 = f(x; y) ? Какой угол наклона име-

ют интегральные кривые уравнения y0 = y ¡ x2 в точках параболы

y = x2 + p3 ?

1.04. Как выделить области возрастания (убывания) решений ДУ y = f(x; y) ? Как найти их точки экстремума? Сделайте это для

уравнения y0 = y ¡ x2 + 2x ¡ 2.

1.05*.Как выделить области выпуклости вверх (вниз) решений ДУ y = f(x; y) ? Как найти их точки перегиба? Сделайте это для урав-

нения y0 = y ¡ x2 + 2x ¡ 2.

1.6. Что такое ДУ семейства кривых? Как найти ДУ семейства2êðè. - âûõ y = '(x; C) ? Сделайте это для семейства парабол y = Cx

1.7*.Что называется углом между гладкими кривыми? Что такое ортогональные траектории семейства кривых? Как получить из ДУ семейства кривых ДУ его ортогональных траекторий? Ответ обоснуйте. Найдите ДУ ортогональных траекторий для семейства парабол y = Cx2.

1.8.Как формулируется задача Коши для ДУ 1-го порядка? Каков ее геометрический смысл?

1.9.а) Сформулируйте теорему существования0 и единственности решения задачи Коши для ДУ y = f(x; y).

б)*К какому интегральному уравнению сводится задача Коши? Как строятся последовательные приближения?

1.10. а) Каков геометрический смысл метода ломаных Эйлера? Выпишите алгоритм метода Эйлера.

13

б) Что называется погрешностью метода Эйлера? Какова точность метода, каковы его достоинства и недостатки?

в) Как модифицировать метод Эйлера?

1.11. а) Каков общий вид ДУ с разделяющимися переменными? б) В чем состоит разделение переменных?

в)*При каких условиях задача Коши для ДУ с разделяющимися переменными имеет единственное решение?

1.12. Какие решения теряются при разделении переменных а) в уравнении xy0 = y(x2 + 1) ?

б) в уравнении xdy ¡ y(x2 + 1)dx = 0 ?

Ответ обоснуйте (опираясь на теорему существования и единственности).

1.13. Какие решения теряются при разделении переменных в урав- нении y0 = 2y1=2 ? Найдите все решения этого уравнения, изобразите

интегральные кривые.

1.14. Как выглядит однородное ДУ 1-го порядка? Как свести его к ДУ с 2ðàç2деляющимися переменными? Сделайте это для уравнения

y0 = x2¡y2 . x +y

1.15. а) Каков общий вид линейного ДУ 1-го порядка? б) Какие методы его решения Вы знаете?

в) При каких условиях задача Коши для линейного ДУ 1-го порядка имеет единственное решение?

1.16*.Даны два различных решения y1 è y2 линейного ДУ 1-ãî ïî- рядка. Как получить общее решение этого ДУ?

1.17. а) Каков общий вид уравнения Бернулли?

б) Какие методы решения уравнения Бернулли Вы знаете?

в)* При каких условиях задача Коши для него имеет единственное решение?

1.18. Приведите пример:

а) уравнения с разделяющимися переменными;

14

б) однородного ДУ; в) линейного ДУ 1-го порядка;

г) уравнения Бернулли.

1.19*. Приведите пример ДУ 1-го порядка, для которого задача Коши а) имеет не одно решение; б) не имеет решений; в) имеет решение только на конечном интервале.

1.20. Для каждого из приведенных ниже ДУ указать тип уравнения и метод его решения:

2. Дифференциальные уравнения n-го порядка

2.1. Как формулируется задача Коши для ДУ n-го порядка? Выде-

лить случай n = 2 и указать геометрический смысл задачи Коши в этом случае.

2.2. Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши для ДУ y(n) = f(x; y; y0; :::; y(n¡1)). Каков ее гео-

метрический смысл при n = 2?

2.3. Могут ли графики двух решений ДУ на плоскости (x; y) пересекаться в некоторой точке (x0; y0)

а) для уравнения y0 = x + y2 ? б) для уравнения y00 = x + y2 ?

2.4.Могут ли графики двух решений ДУ на плоскости (x; y) касаться друг друга в некоторой точке (x0; y0)

а) для уравнения y0 = x + y2 ? б) для уравнения y00 = x + y2 ? в) для уравнения y000 = x + y2 ?

2.5. Сколько существует решений уравнения y(n) = x+y2, удовлетво- ряющих условиям y(0) = 1; y0(0) = 2 ? Рассмотреть случаи n = 1; 2; 3.

15

2.6.Как понизить порядок ДУ F (x; y(k); :::; y(n)) = 0 ? Сделайте это для уравнения xy(5) ¡ y(3) = 0.

2.7.Как понизить порядок ДУ F (y; y0; :::; y(n)) = 0 ? Сделайте это для уравнения y00 + y02 = 2e¡y.

2.8.Как понизить порядок уравнения F (x; y; y0; :::; y(n)) = 0 , åñëè

известно, что F (y; y0; :::; y(n)) = dxd (x; y; y0; :::; y(n¡1)) ? Сделайте это для уравнения xy00 + y0 ¡ 2yy0 = 0.

заны между собой числа k è n ?

4.Доказать необходимое условие линейной зависимости системы функций: если система ff1(t); : : : ; fn(t)g линейно зависима на ин-

тервале (®; ¯), то определитель Вронского W [f1; : : : ; fn](t) = 0; 8t 2

(®; ¯).

5. Доказать свойства преобразования Лапласа:

а) теорему подобия; б) теоремы смещения;

в) теорему запаздывания.

6*.Вывести формулу для изображения периодического сигнала f(t)

7*.Вывести формулы для операторных сопротивлений:

à) z(p) = z1(p) + z2(p) при последовательном соединении участков цепи;

á) z(p) = z1(p)z2(p)

z1(p)+z2(p) при параллельном соединении участков цепи

ñоператорными сопротивлениями z1(p) è z2(p).

8.Пусть A(t); B(t) матричные функции скалярного аргумента.

Вывести формулы

à) (A(t)B(t))0 = A0(t)B(t) + A(t)B0(t); á) (A¡1(t))0 = ¡A¡1(t)A0(t)A¡1(t);

â)* (detA)0 = det(A01)+det(A02)+: : :+det(A0n), ãäå A0k матрица, по-

лученная из матрицы A заменой k-ой строки на производную

k-ой строки.

9*. Пусть x1(t); : : : ; xn(t) фундаментальная система решений (ФСР)

дифференциального уравнения (ДУ) x(n)+an¡1xn¡1+: : :+a0x = 0.

Используя результат задачи 8 в), доказатü, что определитель Вронского W (t) удовлетворяет уравнению dWdt + an¡1W = 0. Âû-

18

вести отсюда формулу Остроградского-Лиувилля

~x = A~x + f(t) линейная неоднородная система ДУ 1-го порядка с постоянной матрицей A. Доказать, что общее решение

неоднородной системы представляется в виде суммы частного решения неоднородной системы и общего решения однородной системы ~x_ = A~x.

x(n¡1) = yn¡1, это уравнение можно записать как систему ДУ 1-го порядка ~y_ = A~y, ãäå ~y = (y1; : : : ; yn)T . Выпишите матрицу

A по коэффициентам an¡1; : : : ; a0.

б) На примере ДУ 3-го порядка покажите, что характеристиче- ское уравнение для матрицы A совпадает с характеристиче-

матрицей A, Y (t) = C¡1X(t)C, ãäå C постоянная матри-

öà, detC =6 0. Показать, что Y (t) удовлетворяет уравнению Y_ = (C¡1AC)Y . Вывести отсюда, что eAt = Ce(C¡1AC)tC¡1.

в) Пусть A диагонализуемая матрица, ¸1; : : : ; ¸n ее собствен- ные значения, C матрица перехода к собственному базису.

19

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Задача • 1.

1. Методом подбора найти общее решение и решение задачи Коши: x(0) = 1; x0(0) = 0 для четных вариантов;

x(0) = 0; x0(0) = 1 для нечетных вариантов;

а) для уравнения x00 + ax0 + bx = f(t); б) для уравнения x00 + ®x0 + ¯x = g(t).

2.Методом подбора найти решение задачи •4 а) типового расчета •1 по ДУ.

Задача • 2.

Решить операторным методом:

а) задачу Коши для уравнения 1 б) из задачи •1; б) задачу •4 б) из типового расчета •1 по ДУ.

20

Задача • 3. 00 0

Найти общее решение уравнения x + ax + bx = f(t), используя метод вариации постоянных (метод Лагранжа).

Задача • 4.

В колебательный контур (см. рис. 1) подключен источник постоянного напряжения U(t) = E (t > 0) при нулевых начальных значе-

íèÿõ òîêà â öåïè i(t) и заряда конденсатора.

а) Для каких значений параметра A в контуре возникнут затухающие колебания тока i(t)? Выпишите их вид, укажите частоту и коэффициент затухания в зависимости от параметра A.