Shpora_2_1

41. Методы получения точечных оценок параметров.

Метод Моментов. Выборочные

этом основан метод моментов, предложенный К. Пирсоном. Достоинством метода является его простота. Метод моментов

правдоподобия, предложенный Р.

параметров в силу естественности подхода, исходящего из максимальной правдоподобности имеющихся наблюдений. Оценки

несмещенными и асимптотически эффективными.

когда признак Х – дискретный;

что признак Х принял значение

когда признак Х – непрерывный;

42. Метод моментов. Непрерывное равномерное распред.

параметров a и b непрерывного равномерного распределения. Решение. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной равномерно распределенной на отрезке [a,b]

Решая полученную систему относительно неизвестных параметров a и b, получим, что их оценки вычисляются по формулам:

43. Метод моментов.

Биноминальное распределение.

…,n), m – количество испытаний в одном опыте.

Решение. Требуется оценить один параметр, следовательно, для этого достаточно иметь одно

во внимание, что математическое

получим уравнение, из которого найдем оценку вероятности:

Итак, точечной оценкой вероятности служит выборочная средняя, деленная на количество испытаний в одном опыте:

44. МАХ. Правдоподобие.

Нормальное распред.

Найти методом максимального правдоподобия оценки параметров m и нормального распределения

если в результате n испытаний величина Х приняла значения x1, x2,..., xn .

Решение.

Составим функцию правдоподобия

n (x m)2/2 2

1i

n(2 )n e i 1

Найдем частные производные по m и

Решение этой системы уравнений имеет вид

45. МАХ правдоподобие.

Геометрическое распред.

параметра p геометрического распределения

произведенных до появления события; р – вероятность появления

события в одном испытании. Решение.

Замечание. Если отыскивают оценки двух неизвестных параметров, то функция правдоподобия будет зависеть от двух переменных. Для отыскания ее максимума необходимо использовать необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных.

46. Оценки метода моментов параметров нормального распредел.

Мат. Ожид.

дисперсия

47. Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Уровень значимости.

является несмещенной, состоятельной и эффективной. Для получения

параметра.

т.е. доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью

используют следующие значения

точность оценки параметра .

Величина доверительного интервала зависит от объема выборки – уменьшается с увеличением числа наблюдений. С увеличением доверительной вероятности величина доверительного интервала увеличивается. Получение доверительного интервала меньшей величины при заданной надежности связано с увеличением объема выборки n.

Вероятность попадания параметра вне интервала - величина =1- называется уровнем значимости. Границы доверительного интервала ,

выбирают так, чтобы вероятности попадания параметра ниже нижней границы и выше верхней границы

функция распределения F(x) оценки

~ известна, то границы

n

доверительного интервала находятся из уравнений

F ( ) 2

F ( ) 1 2

Решения приведенных уравнений ,

являются квантилями функции

48. Основные распредел.

Пусть дана случайная независимая выборка, полученная из нормальной генеральной совокупности с законом

линейная комбинация нормально

обозначается Ф(х). Значения

и Z N(0,1).

Распределение Стьюдента.

Если случайная, независимая выборка, произведена из нормальной генеральной совокупности, дисперсия которой неизвестна, то случайная величина

распределение Стьюдента с n степенями свободы.

При малом n, t-распределение является более пологим по сравнению со стандартным нормальным распределением. С возрастанием объема выборки t- распределение приближается к нормальному.

- 2 – распределение.

Если случайная, независимая выборка, произведена из нормальной генеральной совокупности, дисперсия которой неизвестна, то случайная величина

имеет 2-распределение с (n-1) степенями свободы.

Распределение не симметрично и

подчиняется F-распределению с числом степеней свободы

Fn1n2

n1 и n2 .

49. Доверительный интервал для мат. ож.

при известной дисперс.

Пусть выборка получена из нормальной генеральной совокупности с параметрами

M[X] = m, D[X] = 2.

Доверительный интервал для математического ожидания при

интервал для параметра m с заданным уровнем значимости согласно статистике имеет вид:

50. Доверительный интервал для мат. ож.

при неизвестной дисперс.

Пусть выборка получена из нормальной генеральной совокупности с параметрами

M[X] = m, D[X] = 2.

t-распределения Стьюдента с (n- 1) степенью свободы уровня

Доверительный интервал для неизвестного параметра m с заданным уровнем значимости согласно статистике имеет вид:

51. Доверительный интервал для дисперсии

квантили 2- распределения с (n-

Доверительный интервал для неизвестного параметра 2 с заданным уровнем значимости согласно статистике имеет вид:

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения

52. Статистическая гипотеза.

Статистической гипотезой наз. любое предположение о законе распределения или параметрах закона распределения одной или нескольких случайных величин.

1)М(х)=10

2)Д(х)=Д(у)

3)х~N(m, )

Исходное предположение наз. 0-

исключающее 0-ю гипотезу наз.

Задача состоит в том, что бы на основании выборочных данных дать ответ на вопрос: согласуются ли данные эксперимента с выдвигаемыми гипотезами или они ей противоречат.

Проверка:

1)Формируется нулевая и альтернативная гипотезы.

2)Задается уровень значимости

и выбирается Ткр.

3)Определяется критическая область

4) Х1,…,Хn, Т-темп

Если Т К, то Н0 – отверг.

Если Т Д, то Н0 – прин.

53. Ошибка 1-го и 2-го рода. Статистический критерий. Ур. значимости и мощность.

Ошибка 1-го рода:

Отклонить Н0 когда она верна.

Ошибка 2-го рода:

Принять Н0 когда она не верна.

Возможные решения при проверке:

Статистический критерий:

Правило по которому решают принять \отклонить наз. критерием. Все выборочное пространство делится на: S- область отклонения (критическая)

когда будет принята Н1, тогда как и на самом деле в генеральной совокупности верна Н1, то вероятность такого решения

критерия.

54. Критическая и допустимые области. Общая схема проверки Н

альтернативная гипотеза Н1 и наоборот.

Проверка:

1)Формируется нулевая и альтернативная гипотезы.

2)Задается уровень значимости

и выбирается Ткр.

3)Определяется критическая область

Р(Т К|Н0)=

4) Х1,…,Хn, Т-т импирич Если Т К, то Н0 – отверг.

Если Т Д, то Н0 – прин.