Otvety_MS_PDF

17. Дискретно-детерминированные модели (F- схемы). Дискретно-стохастические модели (P- схемы)

↑↑↑

F-схемы – это, по сути, автоматы. Автомат задаётся следующей схемой:

F=<X, Y, Z, z0, φ(x, z), ψ(x, z)>,

где X – множество входных значений, Y – множество выходных значений, Z – множество состояний автомата, z0 – начальное состояние, φ(x, z) – функция перехода, ψ(x, z) – функция выходов.

zk+1=φ(xk, zk)

yk=ψ(xk, zk)

Автоматы бывают конечные и бесконечные. Конечный автомат имеет конечные множества X, Y, Z. Автомат может иметь разное количество входов и выходов. В случае если входов и выходов у автомата по одному – такой автомат называется абстрактным.

Абстрактные автоматы бывают 1-го и 2-го рода.

Автомат 1-го рода также называется автоматом Мили и описывается так: z(t+1)=φ[z(t), x(t)], t=0,1,2…

y(t)=ψ[z(t), x(t)], t=0,1,2,…

Автомат 2-го рода описывается так:

z(t+1)=φ[z(t), x(t)], t=0,1,2… y(t)=ψ[z(t), x(t-1)], t=0,1,2,…

Частным случаем автомата 2-го рода является автомат Мура: z(t+1)=φ[z(t), x(t)], t=0,1,2…

y(t)=ψ(z(t)), t=0,1,2,…

У этого автомата функция выходов не зависит от входной переменной x(t).

Автоматы бывают с памятью (несколько состояний z) и без неё (одно состояние). Также автоматы делятся на синхронные и асинхронные.

Дискретно-детерминированные модели описываются уравнением автомата. Для задания модели нужно задать каждый из 6 элементов этого уравнения. Автоматы могут задаваться табличным, графическим и матричным способами.

Дискретно-стохастические модели – это вероятностные автоматы. В общем виде вероятностный автомат можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически.

Переходы в таких автоматах не заданы строго, а случайны. Такой автомат задаётся следующей формулой:

F=<X, Y, Z, B>,

где B – совокупность функций распределения для Y относительно X. Для каждого Z есть своя функция распределения, обычно представленная таблицей.

Частным случаем Р-автомата являются автоматы, у которых либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминировано. Если выходной сигнал Р-автомата определяется детерминировано, то такой автомат называется Y- детерминированным вероятностным автоматом. Аналогично, Z-детерминированным вероятностным автоматом называется Р-автомат, у которого выбор нового состояния является детерминированным.

21

18. Непрерывно-стохастические модели (Q -схемы). Сетевые модели (N- схемы). Комбинированные модели (A- схемы)

↑↑↑

Непрерывно-стохастические модели – это системы массового обслуживания. Эти системы обслуживают поток поступающих заявок несколькими каналами.

Общая схема СМО

Q-схема, описывающая процесс функционирования СМО любой сложности, однозначно задаётся в виде набора множеств:

Q = <W, U, Y, H, Z, R, A>

W – множество входящих потоков;

U – множество потоков обслуживания;

Y – множество выходных потоков;

Н – множество собственных параметров системы;

Z – множество состояний системы;

R – оператор сопряжения элементов в системе;

А – оператор алгоритмов обслуживания заявок.

Сетевые модели – это сети Петри (см. вопрос №13). Формально они задаются так:

N=<B, D, I, O>

B – множество позиций сети Петри. D – множество переходов сети Петри.

I – входная функция (прямая функция инцидентности).

O – выходная функция (обратная функция инцидентности). Комбинированные модели (обобщённые) или А-схемы – см. вопрос №14.

22

19. Имитационное моделирование (ИМ). Области использования и достоинства ИМ. Проблемы ИМ

↑↑↑

Имитационное моделирование (ИМ) — метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику.

Имитационное моделирование (частный случай математического) — это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью, с достаточной точностью описывающей реальную систему, с которой проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией (имитация — это постижение сути явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте). К видам имитационного моделирования можно отнести агентное моделирование, дискретно-событийное моделирование, системную динамику.

Имитационная модель — логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.

Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между её элементами или другими словами — разработке симулятора (англ. simulation modeling) исследуемой предметной области для проведения различных экспериментов.

Имитационное моделирование позволяет имитировать поведение системы во времени по алгоритму, отражающему суть процессов, протекающих в системе. Каждый этап алгоритма моделируется элементарным процессом, а вся модель представляет собой взаимосвязь этих простых процессов во времени. Причём плюсом является то, что временем в модели можно управлять.

Применение имитационного моделирования целесообразно если:

Не существует законченной математической постановки данной задачи, либо еще не разработаны аналитические методы решения сформулированной математической модели. К этой категории относятся многие модели массового обслуживания, связанные с рассмотрением очередей.

Аналитические методы имеются, но математические процедуры столь сложны и трудоемки, что имитационное моделирование дает более простой способ решения задачи.

Кроме оценки определенных параметров, желательно осуществить на имитационной модели наблюдение за ходом процесса в течение определенного

периода.

Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Также такие модели более адекватны реальности, гибкие, быстрые и дешёвые.

Одна из проблем ИМ состоит в нахождении «золотой середины» между упрощением и сложностью системы, что вынуждает проводить глубокий анализ моделируемого объекта перед созданием модели. Вторая проблема – качественное моделирование случайных воздействий внешней среды, от которых зависит поведение системы.

23

20. Теоретические основы метода статистического моделирования. Предельные теоремы Бернулли, Чебышева. Центральная предельная теорема

↑↑↑

Когда результаты, полученные при воспроизведении на имитационной модели процесса функционирования системы S, являются реализациями случайных величин и функция, тогда для нахождения характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение с последующей статистической обработкой информации и целесообразно в качестве метода реализации имитационной модели использовать метод статистического моделирования. Метод основан на теории вероятностей, в частности на предельных теоремах Бернулли, Чебышева, а также центральной предельной теореме.

При очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестаёт быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определённости. Это есть закон больших чисел. Различные формы закона больших чисел вместе с различными формами центрально предельной теоремы образуют совокупность предельных теорем теории вероятностей, лежащую в основе статистического моделирования.

Теорема Чебышева:

При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюдённых значений случайной величины сходится по вероятности к её математическому ожиданию.

где ε и δ – произвольно малые положительные числа.

Теорема Бернулли:

При неограниченном увеличении числа опытов n частота события А сходится по вероятности к его вероятности p.

где Р* - частота события.

Центральная предельная теорема:

Если X1, X2,…, Xn,… – независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией σ2, то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы

неограниченно приближается к нормальному.

24

21. Применение теории массового обслуживания при моделировании систем. Понятие системы массового обслуживания (СМО), классификация СМО, основные задачи теории СМО

↑↑↑

Применение теории массового обслуживания в моделировании сводится к использованию Q-схем. Также см. вопрос №7 и вопрос №10.

22. Основные понятия теории СМО. Потоки событий. Математическая модель потока событий. Математическая модель простейшего пуассоновского потока. Свойства простейшего пуассоновского потока: ординарность, отсутствие последействия, стационарность

↑↑↑

См. вопрос №7, вопрос №8, вопрос №10.

Математическая модель потока событий – это такая математическая модель, которая отражает все существенные свойства этого потока событий. В случае с простейшим пуассоновским потоком событий, его математическая модель выглядит так:

т.е. это формула Пуассона, где τ – это промежуток времени, k – это число заявок, пришедших за это время, а λ – плотность потока заявок.

25

23. Оценка точности и достоверности результатов моделирования

↑↑↑

Конечная цель моделирования – принятие решения, которое должно быть выработано на основе всестороннего анализа полученных результатов. Этот этап решающий – либо исследование продолжается, либо заканчивается. Возможно, ожидаемый результат известен, хотя бы предположительно. Тогда необходимо сравнить полученный и ожидаемый результаты. Это сравнение и позволит решить, насколько результаты моделирования точны и достоверны.

Основой для выработки решения служат результаты тестирования и экспериментов. Если результаты не соответствуют целям поставленной задачи, значит, допущены ошибки на предыдущих этапах. Если такие ошибки выявлены, требуется корректировка модели, т.е. возврат к одному из предыдущих этапов. Процесс повторяется до тех пор, пока результаты эксперимента не будут отвечать целям моделирования. И каждый раз оцениваются точность и достоверность результатов.

Обобщённо говоря, в каждом случае способы оценки будут зависеть от вида результатов и начальных предположений. Например, в численном представлении можно воспользоваться обычной теорией погрешностей для осуществления такой оценки. Главное – чтобы оценка отражала степень соответствия полученных результатов теоретическим.

26

24. Классификация языков и систем моделирования

↑↑↑

Классификацию языков моделирования см. в вопросе №38.

Язык моделирования представляется пользователем как часть системы моделирования. Система моделирования – это совокупность языковых и программных средств, которая включает:

собственно язык моделирования;

язык управления системой моделирования — язык команд интерактивного взаимодействия с пользователем;

управляющая программа — программные средства, обеспечивающие трансляцию модели и другие стандартные функции системы моделирования (продвижение модельного времени, генерацию случайных чисел, сбор статистической

информации, вывод результатов и т. д.).

Системы моделирования проблемно-ориентированные включают также средства разработки языков конечного пользователя.

Классификация зависит от конкретных примеров систем моделирования. Возможно, следующий рисунок подходит к этому вопросу:

27

25. Качественные методы моделирования систем

↑↑↑

В качественных методах моделирования систем основное внимание уделяется организации постановки задачи, новому этапу ее формализации, формированию вариантов, выбору подхода к оценке вариантов, использованию опыта человека, его предпочтений, которые не всегда могут быть выражены в количественных оценках. К ним относятся метод сценариев, метод структуризации, метод дерева целей, морфологический метод, деловые игры, метод мозгового штурма, метод Делфи, метод синектики.

Метод сценариев. Метод подготовки и согласования представлений о проектируемой системе, изложенных в письменном виде. Сценарий требует не только содержательных рассуждений, помогающих не упустить детали, но и содержит, как правило, результаты количественного технико-экономического и/или статистического анализа с предварительными выводами. Группа экспертов, подготавливающая сценарий, пользуется обычно правом получения необходимых сведений от тех или иных организаций, необходимых консультаций. Роль специалистов при подготовке сценария – выявить общие закономерности развития системы; проанализировать внешние и внутренние факторы, влияющие на ее развитие и формулирование целей; провести анализ высказываний ведущих специалистов в периодической печати, научных публикациях и других источниках информации; создать вспомогательные информационные фонды, способствующие решению соответствующей проблемы.

Метод структуризации. Структурные представления разного рода позволяют разделить сложную проблему с большой неопределенностью на более мелкие, лучше поддающиеся анализу. В качестве особого метода структуризации можно выделить метод дерева целей.

Метод дерева целей. Он подразумевает использование иерархической структуры, получаемой путем расчленения общей цели на подцели, а их, в свою очередь, на более детальные составляющие, которые в конкретных приложениях называют подцелями нижележащих уровней, направлениями, задачами проблемами, а начиная с некоторого уровня – функциями.

Морфологический метод. Основная идея морфологического подхода – систематически находить наибольшее количество, а в пределе все возможные варианты реализации системы путем комбинирования основных выделенных структурных элементов или их признаков. При этом система или проблема может разбиваться на части разными способами и рассматриваться в различных аспектах.

Деловые игры. Деловыми играми называется имитационное моделирование реальных ситуаций, в процессе которого участники игры ведут себя так, будто они в реальности выполняют порученную им роль, причем сама реальность заменяется некоторой моделью.

Метод мозгового штурма. Техника мозгового штурма такова. Собирается группа лиц, отобранных для генерации альтернатив: главный принцип отбора – разнообразие профессий, квалификации, опыта – такой принцип поможет расширить фонд априорной информации, которой располагает группа. Сообщается, что приветствуются любые идеи, возникшие как индивидуально, так и по ассоциации при выслушивании предложений других участников, в том числе и лишь частично улучшающие чужие идеи. Категорически запрещается любая критика – это важнейшее условие мозгового штурма: сама возможность критики тормозит воображение. Каждый по очереди зачитывает свою

28

идею, остальные слушают и записывают на карточки новые мысли, возникшие под влиянием услышанного. Затем все карточки собираются, сортируются и анализируются, обычно другой группой экспертов. Общий «выход» такой группы, где идея одного может навести другого на что-то еще, часто оказывается больше, чем общее число идей, выдвинутых тем же количеством людей, но работающих в одиночку.

Метод Делфи. Является итеративной (повторяющейся) процедурой при проведении мозговой атаки, которая способствует снижению влияния психологических факторов и повышению объективности результатов. Основные средства повышения объективности результатов при применении метода «Делфи» – использование обратной связи, ознакомление экспертов с результатами предшествующего тура опроса и учет этих результатов при оценке значимости мнений экспертов.

Метод синектики. Предназначен для генерирования альтернатив путем ассоциативного мышления, поиска аналогий поставленной задаче. В противоположность мозговому штурму здесь целью является не количество альтернатив, а генерирование небольшого числа альтернатив (даже единственной альтернативы), разрешающих данную проблему.Суть метода синектики заключается в том, что формируется группа из 5-7 человек, отобранных по признакам гибкости мышления, практического опыта (предпочтение отдается людям, менявшим профессии и специальности), психологической совместимости, общительности. Группа ведет систематическое направленное обсуждение любых аналогий с подлежащей решению проблемой, спонтанно возникающих в ходе бесед.

29

26. Системная динамика как методология и инструмент исследования сложных процессов

↑↑↑

Имитационное динамическое моделирование (метод системной динамики) применяется для исследования сложных систем и является разновидностью имитационного моделирования.

Системная динамика – парадигма моделирования, где для исследуемой системы строятся графические диаграммы причинных связей и глобальных влияний одних параметров на другие во времени, а затем созданная на основе этих диаграмм модель имитируется на компьютере. По сути, такой вид моделирования более всех других парадигм помогает понять суть происходящего выявления причинно-следственных связей между объектами и явлениями. С помощью системной динамики строят модели бизнес-процессов, развития города, модели производства, динамики популяции, экологии и развития эпидемии и т.п.

Метод используется в качестве инструмента исследования информационных обратных связей в производственно-хозяйственной деятельности, для того чтобы выяснить, каким образом взаимодействуют организационная структура, усиления (в политиках) и задержки (в принятии решений и действиях), оказывая влияние на эффективность предприятия. Процессы, происходящие в реальном мире, в системной динамике представляются в терминах накопителей (фондов) и потоков между ними. Системнодинамическая модель описывает поведение системы и ее структуру как множество взаимодействующих обратных положительных и отрицательных связей и задержек. Математически такая модель выглядит как система дифференциальных уравнений.

Этот метод обладает рядом достоинств, существенных при моделировании сложных систем, т.к. позволяет:

строить модели отдельных подсистем моделируемой системы, которые могут быть объединены в единую модель, отражающую все аспекты функционирования и влияния подсистем на систему в целом;

формализовать слабоструктуризованное описание исследуемой системы в соответствии с объективно выявленными причинно-следственными связями;

использовать промежуточные результаты моделирования для повышения эффективности управления моделируемой системой;

прогнозировать результаты выполнения того или иного управленческого решения, выбирая по результатам прогноза лучшее.

Системо-динамическая модель состоит из набора абстрактных элементов, представляющих некие свойства моделируемой системы. Выделяются следующие типы элементов:

Уровни — характеризуют накопленные значения величин внутри системы. Это могут быть товары на складе, товары в пути, банковская наличность, производственные площади, численность работающих. Уровни применимы не только к физическим величинам. Например, уровень осведомленности существенен при принятии решения. Уровни удовлетворения, оптимизма и негативных ожиданий влияют на экономическое поведение. Уровни представляют собой значения переменных, накопленные в результате разности между входящими и исходящими потоками. На диаграммах изображаются прямоугольниками;

30