Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TrAlg2s

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

216.89 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ\

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

II семестр

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Для студентов очного обучения факультетов Электроники, ИТ, РТС

МОСКВА 2014

Составители: В.П.Барашев, Е.О.Сивкова Редактор Н.С.Чекалкин

Контрольные задания содержат типовой расчет по алгебре и геометрии. Представлены все основные типы задач, связанных с разложением многочленов на множители, вычислениями с комплексными числами, алгеброй линейных операторов, а также задачи по теории линейных и евклидовых пространств и теории билинейных и квадратичных форм. Все перечисленные типы задач включены в программу I курса дневного отделения. Типовой рас- чет выполняется студентами в письменном виде и сдается преподавателю до начала зачетной сессии.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

Рецензенты: К.Ю.Осипенко, Д.Л.Кудрявцев

c МИРЭА, 2014

Контрольные задания напечатаны в авторской редакции Подписано в печать 00.00.2014. Формат 60 x 84 1/16.

Усл. печ. л. 2,09. Усл.кр.-отт. 8,37. Уч.изд.л. 2,25. Тираж 200 экз. С 16

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики \

119454, Москва, пр.Вернадского, 78

II семестр ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Задача 1.1. Найти рациональные корни и разложить многочлен

P (z) = az3 + bz2 + cz + d

а) на линейные множители;
б) на линейные и квадратичные множители с действительными
коэффициентами.											2
		a	b	c	d			a	b	c		-
	•	a	b	c	d		•	a	b	c		d

	1	9	−4	9	−4		2	10	−73	114		119
	3	9	−53	156	18		4	10	−57	112		39
	5	4	−11	26	−15		6	9	−23	28		−10
			Кафедра						−ÂÌ37 76			−8
	7	6	−23	44	8		8	9	−ÂÌ37 76			−8
	9	9	−20	49	−10		10	4	−13	8		15
	11	9	−11	139	119		12	10	−23	56		−15
	13	9	−43 145 −91				14	9	−41	65		−25
									МИРЭА
	15	6	−37 114 −18				16	9	−4 9 −4
	17	6	−19	10	25		18	6	−17	22		−10
	19	9	−34	109	26		20	10	−47 158 −91
	21	9	−4	9	−4		22	10	−73	114	119
	23	9	−53	156	18		24	10	−57	112	39
	25	4	−11	26	−15		26	9	−23	28		−10
			ÌÃÒÓ
	27	6	−23 44 8 28					9	−37	76		−8
	29	9	−20	49	−10	30		4	−13	8	15

Задача 1.2. Разложить многочлен

P (z) = z4 + az3 + bz2 + cz + d

а) на линейные множители; б) на линейные и квадратичные множители с действительными

коэффициентами, если известен один из его корней z0.

•	a	b	c	d		z0		2
1	−14	71	−106	−102	5 + 3i			2
1	−14	71	−106	−102	5 + 3i
2	−20	148	−480	551	5 + 2i

					ÂÌ

3	−22	199	−942	1886	МИРЭА
3	−22	199	−942	1886	4	−	5i	-
4	−16	89	−186	78	5 + i
5	−12	60	−216	391	1 + 4i
6	−16	109	−606	1628	1	−	6i
7	−24	234	−1080	1769	6 + 5i
8	−20	135	−314	50	7 + i
9	−8	27	−44	−26	2 + 3i
10	−14	83	−378	858	1	−	5i
11	−20	165	−758	1598	3	−	5i
12	−12	68	−192	175	3	−	4i
13	−22	175	−586	666	6 + i
14	−16	103	−266	82	5 + 4i
15	−18	119	−360	442	3	−	2i
16	−12	48	−60	−17	4 − i
Кафедра
17 −12 58 −108				25	4 + 3i
17 −12 58 −108				2623	5	−	6i
18	−24	244	−1284	2623	5	−	6i
19	−16	108	−472	899	2	−	5i
	ÌÃÒÓ
20	−18 143 −922			3050	1	−	7i
	−18 143 −922			−102		−
21	−14	71	−106	−102	5 + 3i
22	−20	148	−480	551	5 + 2i

Продолжение задачи 1.2

•

−22

199

−942

1886

− 5i

−16

−186

5 + i

−12

−216

391

+ 4i

−16

109

−606

1628

− 6i

−24

234

−1080

1769

+ 5i

−20

135

−314

7 + i

−8

−44

−26

+ 3i

ÂÌ

−14

− 3 3 z

)

МИРЭА

Задача 1.3.

Решить уравнение. Корни уравнения изобразить на

комплексной

плоскости.

Кафедра( 8 √ 4 )

•

z6 − 2z3 + 4 = 0

−

√

2 3 + 2i z

+ 2 + 2i 3 = 0

(

√

2 z

+ 9i = 0

2 + )

−

√

+ 9 = 0

ÌÃÒÓ8 √ 4

√

z6 + 2z3

+ 4 = 0

√

2i z

+ 2

√

+ 2 3

2i 3 = 0

(

√

−

) √

3−

+ 3 2 − 3i 2 z

− 9i = 0

+ 3 3 z

+ 9 = 0

z6 − 4z3 + 16 = 0

10 z − (4

+ 4i)z + 8 + 8i

= 0

		Продолжение задачи 1.3

•							(z						5		3 z						)
							(z						5		3 z						)
11		z	6			−			√								√					3		+ 25i = 0
			6						√								√					3
							5 2 + 5i 2 z
12								8		−				√					4		+ 25 = 0
12								8						√					4		+ 25 = 0

13		z				(			z6 + 4z3 + 16 = 0
		z				(								− )										−
14	z	8					√												4							√
		8					√												4							√
			+ 4 3 − 4i z																		+ 8 − 8i 3 = 0								-
																														2
15			6						√								√					3			25i = 0
			6						√								√					3
						+ 5 2 5i 2 z
16								8						√					4 + 25 = 0
16								8						√					4 + 25 = 0
						−																		ÂÌ


						−		8						√					4		)
						−			8					√						4						МИРЭА
							(z			+ 5 3 z
17									z6 − 6z3 + 36 = 0
18	z8 − 6√3 + 6i z4 + 18 + 18i√3 = 0
19		z	6		(		7√2 +)7i√2 z															3 + 49i = 0
	Кафедра8 √ 4
20							(z						7		3 z						+ 49 = 0
										−
21										z6 − 2z3 + 4 = 0
22	z	8	−				√												4							√
22	z		−				2 3 + 2i z														+ 2 + 2i 3 = 0
				6		(				√								√			2 z		3	+ 9i = 0
23		z						3							3i						2 z			+ 9i = 0
23		z						3				2 + )
																										√
	ÌÃÒÓ8 √ 4																									√
24							(z							3		3 z					+ 9 = 0
										−
25										z6 + 2z3 + 4 = 0
26	z	8					√												4							√
26	z		+ 2 3 − 2i z																		+ 2 − 2i 3 = 0
				6						√								√					3			9i = 0
				6						√								√					3
27		z				+ 3 2 3i 2 z
27		z				(								−	)									−
														−										−
28							(z														+ 9 = 0
28										+ 3					3 z						+ 9 = 0
										+ 3					3 z						)
29									z6 − 4z3 + 16 = 0
	z − (4										+ 4i)z + 8 + 8i																	= 0
30	z − (4									3	+ 4i)z + 8 + 8i																3	= 0

Задача 1.4. Представить комплексное число z в алгебраической, тригонометрической и показательной форме.

•																									z																				•																				z

						(								−												)														14										(											i√						)												21
																					i15							2ei =7												14												1									i√				3						e			i =7					21
1			(						−1 +√																	+ i											)								2		(									−																	−				)
1			(						−1 +√															3		+ i											)								2		(														1 + i19																)
						(													)																														(							−											)
								2 − 2i17																		5e−i =5															20										√										+ i√											ei =5								20
								2 − 2i17																		5e−i =5															20										√					6					+ i√									2		ei =5								20
																																																																										2
3			(						√					150									+ i√									50						)							4	(																2 + 2i21																)
									(										)																												(									−											)
											1						i23										e2i =5												10									√					18					+ i√								6							e−2i =5								10
5					(									−√											+ i										)										6	(																-																	)
																																																														2 + 2i25
																					3																																									2 + 2i25
							(				−															)																					(			МИРЭА
							(																			)																					(						−														)
				(						2 + 2i27																		e3i =5								)				15						(		√					15				+ i√									5							e−3i =5						)		15
7				(									√			6				+ i√										2						)									8	(										√						5		+ i29√											5				)
							(														− )																										(						−														)
										2 + 2i31																		e4i =5												40								√				21											i√					7					e−4i =5								20
9				(									√		2								i√								6					)									10	(			ÂÌ√−7 + i29√																										7				)
						(					−															)														14										(		1 i√															)												21
								−					1 + i31															2ei =7												14												1 i√													3				e−i =7										21
11			(											√			6						+ i√										2				)								12		(								√−						2		+ i35√											2			)
			(																							)																							(				−														)
					√			2				i33√														2			5e−i =5														20								√					6				+ i√										2		ei =5								20
13	(								√													+ i√																			)				14	(										√								+ i37√														)
13	(								√					150								+ i√										50									)				14	(										√						8		+ i37√											8			)
				(			(																			)										)										(	(			−																	)												)
									2				−√			2i39												e2i =5												10								√					18				+ i√									6							e−2i =5								10
15																				+ i√																									16									√										+ i41√
15																6				+ i√										2															16									√						12				+ i41√											12
				(																						)																					(			−																	)
					√							Кафедра43√ 3i =5 15																																				√																√									e−			3i =5					15
					√							Кафедра43√ 3i =5 15																																				√																√												3i =5					15
	(									2 + i																	2 e													)						(							15 + i 5																										)
17													√							+ i√																									18									√										+ i45√
17													√			6				+ i√										2															18									√						10				+ i45√											10
		(																			−					)																					(		−																		)
				√5			64 + i												47√5															4i =5										40				√				15												√			5						e−			4i =5					20
							64 + i																		ÌÃÒÓ64 e																											15							−					i			5						e−
19	(												√					i√																								)			20	(								103=5 + i45103=5																									)
19	(												√		2			i√													6											)			20	(								103=5 + i45103=5																									)

													Продолжение задачи 1.4

	•															z													•																z

						−		1 + i15 2ei =7																			14															i√								e		i =7					21
								1 + i15 2ei =7																			14										1					i√			3					e		i =7					21
	21	(									√						+ i						)						22			(							− −																)
				(																															(							1 + i19
															3																											1 + i19
									−				)																														)
					2 − 2i17 5e−i =5																							20								√						+ i√									ei =5							20
					2 − 2i17 5e−i =5																							20								√			6			+ i√						2			ei =5							20
	23	(				√								+ i√										)					24		(																									)
				(																														(					−				2 + 2i21
									150											50																							2 + 2i21
													)																																				)
		(												23 2i =5							)				10						(		√								+ i√									e				2i =5			)		10
														23 2i =5											10								√					18			+ i√					6				e				2i =5					10
	25						1 −√i									+ei													26																					−
						(																										(							−				2 + 2i25
													3																														2 + 2i25
													)																																				)			2
																																																-
		(				2 + 2i27 e3i =5																)				15					(		√								+ i√									e−3i =5							)		15
						2 + 2i27 e3i =5																				15							√					15			+ i√					5				e−3i =5									15
	27				(			√				+ i√																	28			(							√					+ i29√
	27							√			6	+ i√						2											28										√				5	+ i29√									5
													)																									−											)
						2 + 2i31 e4i =5																				40							√							i√										e−4i =5									20
						2 + 2i31 e4i =5																				40							√				21			i√							7			e−4i =5									20
	29	(			(			√									i√					)							30		(	(		ÂÌ√−7 + i29√																							)
	29	(						√		2							i√		6			)							30		(			ÂÌ√−7 + i29√																			7				)
													− )																									−											)
Задача 2.1. Векторы a, b, c, d заданы своими координатами в
каноническом базисе i, j,																						k пространства V3.
1) Показать, что векторы a,																												b, c образуют базис
пространства V3.																																			МИРЭА
																																			МИРЭА
2) Найти координаты вектора d в базисе a,																																						b, c (с помощью мат-
рицы перехода). Сделать проверку.

			•																										•

							a = (−1, 5, −3)																								a = (4, −1, −3)
			1			b = (3, 1, 2)																							2	b = (−6, 1, 4)
						Кафедраc = (3, 4, 1)																								c = (−1, 5, 1)
							d = (4, 15, −3)																								d = (−20, 14, 15)
							a = (−6, −4, 1)																								a = (−3, 4, 3)
			3				b = (−ÌÃÒÓ2, −1, 2) 4																							b = (−1, 2, 3)
							c = (3, 3, 3)																								c = (1, 0, −1))
							d = (5, 5, 6)																								d = (1, 0, −9)

		9

	Продолжение задачи 2.1

	a = (2, −5, 1)			a = (1, −4, −3)
5	b = (2, 3, −3)		6	b = (1, −1, 2)
	c = (−1, 4, −1)			c = (4, −6, −1)
	d = (6, −26, 8)			d = (11, −24, −11)
	a = (−3, 2, 3)			a = (4, 6, 7)
7	b = (5, −4, 2)		8	b = (3, 1, 2)
	c = (1, −2, 4)			c = (3, −2, 2)
	d = (23, −20, −1)			d = (9, −26, −7)
	a = (3, −2, 1)			a = (5, 3, 1)		2
9	b = (1, 2, 4)		10	b = (−1, 2, 3)		2
	c = (2, −4, −4)			c = (2, 2, 2)	-
	d = (−2, −12, −24)			d = (−3, 11, 17)
	a = (2, 1, 1)			a = (1, 3, 2)
11	b = (2, 2, −1)		12	b = (1, −2, 0)
	c = (1, −1, 3)			c = (−4, 3, 1)
	d = (3, −2, 7)			d =ÂÌ(−19, 8, 0)
	a = (4, 3, 2)			a = (0, 3, 1)
13	b = (3, −5, 1)		14	b = (1, −1, 2)
	c = (2, 1, 1)			c = (2, −1, 0)
	d = (19, −8, 8)			d = (8, −8, 3)
	ÌÃÒÓ			a = (2МИРЭА, −1, 4)
	a = (1, 4, 2)			a = (2МИРЭА, −1, 4)
15	b = (−5, 3, 1)	16		b = (1, −1, 2)
	c = (1, 2, 1)			c = (3, 2, 0)
	d = (7, 20, 10)			d = (2, 4, −2)
	Кафедра
17	a = (−1, 1, 2)			a = (1, −2, 0)
17	b = (3, 1, −1)	18		b = (−1, 1, 3)
	c = (1, 2, 2)			c = (1, 0, 4)
	d = (18, 11, 1)			d = (2, 2, 12)

	a = (5, 1, −2)			a = (2, −3, 1)
19	b = (−2, 3, 1)	20		b = (1, 1, 0)

		10

	Продолжение задачи 2.1

	c = (3, 2, −1)			c = (4, 1, 2)
	d = (5, 14, −1)			d = (4, 6, 1)
	a = (2, −1, 1)			a = (2, −2, 4)
21	b = (2, 1, −2)		22	b = (0, −1, 1)
	c = (4, 3, −2)			c = (3, 1, −2)
	d = (10, 11, −12)			d = (−3, 0, −7)
	a = (0, −2, 3)			a = (3, 1, −2)	2
23	b = (1, −1, 1)		24	b = (0, 1, 3)	2
23	b = (1, −1, 1)		24	b = (0, 1, 3)	-
	c = (4, 0, 3)			c = (2, 2, −1)
	d = (32, 6, 15)			d = (5, 8, 1)
25	a = (1, −1, −2)		26	a = (3, 0, 1)
25	b = (2, −1, 4)		26	b = (−2, 1, −1)
	c = (1, 0, 2)			c = (4, 2, 2)
	d = (11, −2, 22)			d = (−2, 7, 1)
	a = (−2, 1, −1)			a = (4, 2, −1)
	Кафедра			4 к построенному базису.
27	b = (3, 2, 1)		28	b =ÂÌ(2, −3, −1)
	c = (−2, 0, 1)			c = (1, 2, 1)
	d = (14, 6, 7)			d = (−6, 15, 8)
	a = (3, 2, −1)			a = (1, 3, 2)
29	b = (2, 0, 1)		30	b = (1, −3, 1)
	c = (−3, 1, −1)			c = (0, −2, 2)
	d = (−3, 10, −7)			d = (МИРЭА−1, 5, 4)
	d = (−3, 10, −7)			d = (МИРЭА−1, 5, 4)

Задача 2.2. Доказать, что векторы вида (x1, x2, x3, x4) образуют линейное подпространство в пространстве R4. Найти базис

и размерность этого подпространства. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства. Найти матрицу перехода

от канонического базиса пространства R

• âàð.	(x1, x2, x3, x4)
	ÌÃÒÓ
1	(2a, 3b − a, a, −b)
2	(5b, c − a, 2a + b, c)

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.2015191.08 Кб113TFKP_tipovoy_raschet_IV_sem_2015.pdf
#
17.09.2019234.5 Кб57TIPIS_Markin.doc
#
18.04.2019943.62 Кб48tp1-2-lkz(для студентов).doc
#
10.05.20152.52 Mб21tpr.doc
#
10.05.2015148.02 Кб17TrAlg1s.pdf
#
10.05.2015216.89 Кб20TrAlg2s.pdf
#
14.08.2019346.62 Кб15transportirovka-postradavshego.doc
#
10.05.2015171.63 Кб15TR_1sem.pdf
#
10.05.2015266.27 Кб40Tr_ma1s_pdf.pdf
#
10.05.2015716.58 Кб29Tr_ma4s.pdf
#
10.05.2015716.58 Кб26Tr_ma4s_0.pdf